2026年中考数学复习重点专题：二次函数

2026届中考数学重点专题：二次函数 一、选择题 1．（2025·杭州模拟） 将抛物线 向下平移 2 个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·临平二模） 已知二次函数 过点 ，， 三点. 记 ，，则下列判断正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．（2025·深圳三模）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）. 经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件.已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·杭州三模）二次函数的最小值是（　　） A． B．1 C． D．7 5．（2025·柯桥模拟） 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 6．抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论中，正确的是（　　） A．b=2 B．b+c>1 C．b2+4c D．c<0 7．已知二次函数的图象经过两点，则下列判断中，正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得 B．无论实数a取什么值，都有 C．可以找到一个实数a，使得 D．无论实数a取什么值，都有 8．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和具有性质P.下列选项中，函数和具有性质P的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 9．（2025·宁明模拟）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·叙州模拟）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，其中．下列四个结论：①；②；③；④，正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（2025·宽城模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是　 　． 12．（2025·定西模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是　 　 13．（2025·普陀二模）已知点（m，n）在直线y=x+b（b为常数）上，若mn的最小值为-1，则b=　 　。 14．（2025·江油模拟）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造　 　 15．（2025·邻水模拟）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则　 　． 16．（2025·成都模拟）若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则　 　；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4，　 　． 17．（2025·武冈模拟）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 　 　． 三、解答题 18．（2025·杭州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线：y=-x2+2tx+3经过点（3，0). （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（n>0）个单位，图象 恰好经过点（5，-2)，求n的值. 19．（2025·蓬江模拟）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数，且是整数）． （1）设该影院每天的利润为（单位：元），求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少 20．（2025·浙江模拟）二次函数的图像经过点（0，-3）. （1）求a的值. （2）当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为. ①若，求m的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 21．（2025·柯桥模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3． （1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标； （2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围； （3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），且a≠b，若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围． 22．（2025·杭州模拟）二次函数的图象经过点，点． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）若存在实数，使得，且，求的取值范围； （3）当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值． 23．（2025·东莞模拟）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，的面积最大?并求出此时P点的坐标和的最大面积； （3）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明． 24．（2025·宁明模拟）综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 k 【问题解决】 （1）k的值为 ． （2）在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接； （3）求出h与d的函数解析式； （4）小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】3 13．【答案】±2 14．【答案】48 15．【答案】3 16．【答案】； 17．【答案】3 18．【答案】（1）解：把 (3， 0) 代入 得：， ，， 对称轴为直线 ，当 时，， 顶点坐标为 (1， 4). （2）解：将点（5，-2)向左平移2个单位，向上平移n(n>0)个单位 得到的坐标为(3，-2+n)， 将点(3，-2+n)代入y=-x2+2x+3得：n=2. 19．【答案】（1）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （2）解：由（1）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值， 此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 20．【答案】（1）解：将 ， 代入 ， 得 ， 解得 （2）解：① 当 时，； 当 时，， ∴当m=1时，恰好有d1=9. 当 时，y 随 x 的增大而增大，且 ， 此时， 的值保持不变，始终等于 9， ∴ m 的取值范围是 . 注：可借助函数图象分析. ② 设 时的函数值为 ， 时的函数值为 ， 当 时，必有 ，此时 ； 当 时，必有 ，此时 ； 当 时，必有 ，此时 ； 当 时，必有 ，此时 ； 当 时，必有 ，且 ，此时 . 综上所述，不存在 21．【答案】（1）解：∵抛物线过点（2，﹣3）， ∴﹣3＝4﹣4m﹣3， ∴m＝1， ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）； （2）解：∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3， ∴对称轴为直线， ∵二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大， ∴m≤﹣2； （3）解：∵函数过（a，a），（b，b），且a≠b， ∴a2﹣2ma﹣3＝a，b2﹣2mb﹣3＝b， ∴a2﹣b2﹣2ma+2mb＝a﹣b， ∴（a﹣b）（a+b﹣2m﹣1）＝0， ∵a≠b， ∴a+b＝2m+1， ∵﹣1＜a+b＜1， ∴﹣1＜2m+1＜1， 解得﹣1＜m＜0． 22．【答案】（1）解：若， 则，顶点坐标； （2）解：把代入得：， 把代入得：． ， ， ， ， ； （3）解：∵二次函数的对称轴为， 当时，随着的值增大，的值先减小再增大， ∴点在抛物线对称轴的左侧， 点在抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即的最大值是， ， 解得：（舍去）． 若，即的最大值是， ， 解得：（舍去）． 综上，的值是或． 23．【答案】（1）解：设抛物线为 ∵抛物线经过点， ∴， ∴ ∴抛物线为； （2）解：如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q； 在中，令，解得：， ∴； 设直线的解析式为，把点A，C的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设P点的坐标为 则Q点的坐标为 ∴． ∵ ∴当时，的面积最大为； 此时，P点的坐标为． （3）解：相交． 证明如下：如图，设与相切于点E，连接，则， ∴， ∴抛物线的对称轴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得： ∵， ∴抛物线的对称轴与⊙C相交． 24．【答案】（1）22.5 （2）解：描点，用平滑的曲线依次连接如图所示． （3）解：依题意可知，抛物线的顶点坐标为 ∴设二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， （4）解：小王不能将这支箭射入圣火台，理由如下： ∵水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，垂直平分， ∴当时， ， 当时， ， ∵，， ∴箭的轨迹在点火台的上方， ∴小王不能将这支箭射入圣火台． 学科网（北京）股份有限公司 $$