专题1.3 交集、并集重难点题型专训（2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题1.3 交集、并集重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 交集 题型二 交集的概念及运算 题型三 根据交集结果求集合或参数 题型四 并集 题型五 并集的概念及运算 题型六 根据并集结果求集合或参数 题型七 补集、全集 题型八 补集的概念及运算 题型九 根据补集运算确定集合或参数 题型十 集合的交并补 题型十一 交并补混合运算 题型十二 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型十三 Venn图 拓展训练一 集合的交并补基本运算 拓展训练二 交并补混合运算与Venn图应用 拓展训练三 交并补的的求参相关问题 知识点一：交集、并集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈A,且x∈B} 2．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈A,或x∈B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 4．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【即时训练】 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若集合，或，则 ， . 知识点二：区间 1．区间 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (2)区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] (3)特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【即时训练】 1．（2023·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 2．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）设，若，则实数 . 【经典例题一 交集】 【例1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，，．求：，，． 1．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）设集合，则集合（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足：①中考的物理成绩不低于80分；②中考的数学成绩不低于70分，如果满足条件①的同学组成的集合记为P，满足条件②的同学组成的集合记为 M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢? 【经典例题二 交集的概念及运算】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）如何理解“且”的含义？ （2）能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ （3）下列关系式成立吗？①；②；③； （4）与A有什么关系？与B呢？ （5）若，则与A有什么关系？ 1．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·模拟预测）已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集集合则 . 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？ （1）. （2）是立德中学今年在校的女同学｝，是立德中学今年在校的高一年级同学｝，是立德中学今年在校的高一年级女同学｝. 【经典例题三 根据交集结果求集合或参数】 【例1】（24-25高一下·内蒙古·期末）已知集合，且的元素个数为2，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2023高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合A={2，5，a＋1}，B={1，3，a}，且A∩B={2，3}． (1)求实数a的值及A∪B； (2)设全集U={x∈N|x≤6}，求（）∩（）． 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·三模）已知集合，，若，，则满足条件的集合共有（   ） A．2个 B．3.个 C．4个 D．5个 3．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 4．（2025高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，，. （1）求； （2）若，求实数a的取值范围. 【经典例题四 并集】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列每对集合的并集： (1)，； (2)， 1．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海金山·三模）已知集合，，则 ． 4．（24-25高一上·四川内江·阶段练习）已知全集为R，集合，，求； 【经典例题五 并集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·四川内江·阶段练习）设集合．求. 1．（24-25高二下·云南红河·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知集合，集合，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）并集的运算性质 4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【经典例题六 根据并集结果求集合或参数】 【例1】（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【例2】（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 1．（24-25高三上·山西·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·甘肃·期中）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 4．（2025高一上·重庆·期末）已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合． 【经典例题七 补集、全集】 【例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）的含义是什么？ 1．（24-25高一下·北京·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）设全集，则 ． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知全集，集合或，集合或，求,. 【经典例题八 补集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，． (1)求； (2)求． 1．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东滨州·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知全集，若集合，则 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若集合，当分别取下列集合时，求． (1)； (2)； (3)． 【经典例题九 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·山东·模拟预测）设全集，，，求的值． 1．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 3．（22-23高二下·山东滨州·阶段练习）设集合，，，则集合B＝ ． 4．（16-17高二下·山西朔州·期末）已知集合，，，求集合. 【经典例题十 集合的交并补】 【例1】（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，求： (1)； (2). 1．（24-25高二下·云南·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则 . 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知全集，集合，集合． (1)求； (2)求. 【经典例题十一 交并补混合运算】 【例1】（24-25高二下·河南商丘·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设全集为，集合，．求，，. 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·天津·期末）已知集合，， 则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知全集，，，则 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，. 【经典例题十二 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一上·四川宜宾·阶段练习）已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知全集，若，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则（    ） A．{2，3} B．{1，4，5} C．{1，2，3，4} D．{2，3，4} 3．（2024高一上·上海杨浦·阶段练习）设集合，.若，则实数的取值范围为 4．（22-23高一上·辽宁·期中）已知全集 ，且． (1)求集合M，N； (2)若集合，求实数m的值． 【经典例题十三 Venn图】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高三上·新疆喀什·阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中a，b，c的值. 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【拓展训练一 集合的交并补基本运算】 【例1】（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一上·福建漳州·阶段练习）已知集合，，求： (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高二下·广东汕头·期末）学校开运动会，设是参加100m跑的同学，是参加200m跑的同学，是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，则 ．若，则 ． 4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【拓展训练二 交并补混合运算与Venn图应用】 【例1】（25-26高一上·全国·课堂例题）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三下·全国·专题练习）全集，，，，，，则 . 4．（2025高二·全国·专题练习）设全集 ，集合，，，.求：. 【拓展训练三 交并补的的求参相关问题】 【例1】（2024高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 1．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 3．（2023高三·全国·专题练习）已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上） （1）， ； （2）， ； （3）， ； （4）， ． 4．（22-23高一上·吉林长春·期末）已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知非空集合互不相等，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（21-22高三上·北京海淀·期中）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 7．（24-25高二下·天津河东·期末）已知集合，， 则=（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，，若，则实数a满足（　　） A． B． C． D． 10．（2023高一上·山西·阶段练习）已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为A，集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 12．（24-25高三上·上海·期中）已知全集，集合，，则 . 13．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）设集合，若，则 = ． 14．（2024高一上·上海杨浦·期中）全集是不大于的素数，若，，，则集合 . 15．（2023高一上·北京·阶段练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是 . ①M没有最大元素，N有一个最小元素； ②M没有最大元素，N也没有最小元素； ③M有一个最大元素，N有一个最小元素； ④M有一个最大元素，N没有最小元素； 16．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 17．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 18．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 19．（2025高二·全国·专题练习）定义集合运算 ，其中 U 为全集.已知全集 ，集合 ，.求：的结果（其中 ）. 20．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 交集、并集重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 交集 题型二 交集的概念及运算 题型三 根据交集结果求集合或参数 题型四 并集 题型五 并集的概念及运算 题型六 根据并集结果求集合或参数 题型七 补集、全集 题型八 补集的概念及运算 题型九 根据补集运算确定集合或参数 题型十 集合的交并补 题型十一 交并补混合运算 题型十二 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型十三 Venn图 拓展训练一 集合的交并补基本运算 拓展训练二 交并补混合运算与Venn图应用 拓展训练三 交并补的的求参相关问题 知识点一：交集、并集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈A,且x∈B} 2．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈A,或x∈B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 4．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【即时训练】 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】． 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）若集合，或，则 ， . 【答案】 或 【分析】应用集合的交、并运算求集合即可. 【详解】因为，或， 所以，或. 故答案为：，或 知识点二：区间 1．区间 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (2)区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] (3)特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【即时训练】 1．（2023·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】根据补集的定义可得，即可求解. 【详解】由可得，若，则,故， 故选：B 2．（2024高一上·江苏连云港·阶段练习）设，若，则实数 . 【答案】3 【分析】由题意易知，由此即可解出答案. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：3. 【经典例题一 交集】 【例1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【详解】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，，．求：，，． 【答案】 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为 所以；；， 所以. 1．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）设集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】根据集合交集运算的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以{2,3}， 故答案为：. 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足：①中考的物理成绩不低于80分；②中考的数学成绩不低于70分，如果满足条件①的同学组成的集合记为P，满足条件②的同学组成的集合记为 M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢? 【答案】 【分析】根据题意即可得到三者之间的关系. 【详解】能成为科学兴趣小组成员的必须要同时满足条件①和②，是这两个条件的共同部分，由此得. 【经典例题二 交集的概念及运算】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合交集的概念直接进行运算. 【详解】因为，，所以， 故选：D 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）如何理解“且”的含义？ （2）能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ （3）下列关系式成立吗？①；②；③； （4）与A有什么关系？与B呢？ （5）若，则与A有什么关系？ 【答案】（1）答案见解析；（2）不能；（3）答案见解析；（4）； （5）； 【分析】（1）利用交集的概念求解即可.（2）利用交集的概念求解即可. （3）利用交集的概念求解即可.（4）利用交集的概念求解即可.（5）利用子集和交集的概念求解. 【详解】（1）交集中的元素既属于集合A，又属于集合B ，是由两个集合的公共元素组成的集合. （2）不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时. （3）成立；①；②；③； （4）；； （5）若，则 1．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定集合即可求出答案 【详解】由可得，所以， 则. 故选：C. 2．（2025·四川广安·模拟预测）已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解. 【详解】解方程得或， 所以集合，集合， 因此. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集集合则 . 【答案】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由可得：. 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？ （1）. （2）是立德中学今年在校的女同学｝，是立德中学今年在校的高一年级同学｝，是立德中学今年在校的高一年级女同学｝. 【答案】（1）集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. （2）集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】（1）集合交集的含义求解，知集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. （2）利用交集的含义求解，知集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. 【经典例题三 根据交集结果求集合或参数】 【例1】（24-25高一下·内蒙古·期末）已知集合，且的元素个数为2，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意得到，计算即可. 【详解】由题意得，得． 则的取值范围为. 故选：A 【例2】（2023高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合A={2，5，a＋1}，B={1，3，a}，且A∩B={2，3}． (1)求实数a的值及A∪B； (2)设全集U={x∈N|x≤6}，求（）∩（）． 【答案】(1)a=2，A∪B={1，2，3，5} (2){0，4，6} 【分析】（1）根据A∩B={2，3}，可得3∈A，即a＋1=3，得a=2，求得A={2，5，3}，B={1，3，2}，再求并集即可； （2）根据U={0，1，2，3，4，5，6}，由（1）得A={2，5，3}，B={1，3，2}，再求补集和交集的混合运算即可得解. 【详解】（1）∵A∩B={2，3}，∴3∈A，即a＋1=3，得a=2， 则A={2，5，3}，B={1，3，2}，A∪B={1，2，3，5}． （2）由题意可得U={0，1，2，3，4，5，6}， （）∩（）={0，1，4，6}∩{0，4，5，6={0，4，6}. 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得所满足的条件，即可求解. 【详解】因为，，集合中有且仅有2个元素， 则，所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．（2025·甘肃白银·三模）已知集合，，若，，则满足条件的集合共有（   ） A．2个 B．3.个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由集合间的基本关系求解即可. 【详解】因为集合，， 且，，所以满足， 则集合有，，，，共4个. 故选：C 3．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合题意确定集合非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 4．（2025高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，，. （1）求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据交集、补集的概念，由题中条件，直接计算，即可得出结果； （2）根据交集不为空集，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】（1）全集，集合，， 或， . （2），. 可得a在小于等于8的范围内， 即， 当可得，此时不满足题意， . 【点睛】本题主要考查求集合的交集和补集，以及由交集的结果求参数，属于基础题型. 【经典例题四 并集】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的概念即可得解. 【详解】已知集合，，则. 故选：D. 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列每对集合的并集： (1)，； (2)， 【答案】(1)； (2) 【分析】根据定义求并集即可. 【详解】（1）由并集定义可知：； （2）由并集定义可知：. 1．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可求解. 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的含义进行运算即可得答案. 【详解】∵， 由并集的含义得. 故选：B. 3．（2025·上海金山·三模）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】直接利用集合并集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以, 故答案为： 4．（24-25高一上·四川内江·阶段练习）已知全集为R，集合，，求； 【答案】 【分析】根据集合的并集定义运算求解即可. 【详解】集合，，所以． 【经典例题五 并集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义得. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·四川内江·阶段练习）设集合．求. 【答案】； 【分析】根据集合的交集和并集运算求解. 【详解】因为， 所以；． 1．（24-25高二下·云南红河·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的运算规则运算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知集合，集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集定义计算求解. 【详解】集合，集合， 则． 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）并集的运算性质 【答案】 = A A B 【分析】根据并集的性质即可求解. 【详解】 4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再由并集计算可得结果； （2）根据集合的包含关系解不等式可得的取值范围． 【详解】（1）因为，所以 又因， 所以 （2）因为，所以有， 解得， 所以的取值范围为． 【经典例题六 根据并集结果求集合或参数】 【例1】（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】解方程求出集合，根据即可确定参数的值. 【详解】由可得或， 则当时，；当时，； 因，且， 则或. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用交集运算求解即可； （2）由可得，进而求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又， 所以． （2）因为，所以=或． 因为， 所以， 解得， 故实数的取值范围为． 1．（24-25高三上·山西·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义以及并集的运算性质即可求得. 【详解】集合，，， 所以， 故实数的取值范围为. 故选：D 2．（23-24高三上·甘肃·期中）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据元素的互异性只需，结合并集的元素即可求解． 【详解】集合，，， 因为本身含有元素，所以根据元素的互异性即可， 故或2. 故选：D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据并集的定义结合已知条件求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 4．（2025高一上·重庆·期末）已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案. （2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意， 当时，， 所以. （2）由解得，， 若，则，，符合题意. 若，由于，所以. 综上所述，实数的取值集合为. 【经典例题七 补集、全集】 【例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的补运算求集合即可. 【详解】由，则. 故选：A 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）的含义是什么？ 【答案】答案见解析 【详解】的含义：包含的三层意思为①；②是一个集合，且；③是由U中所有不属于A的元素组成的集合． 1．（24-25高一下·北京·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】已知全集，则. 故选：A. 2．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出不等式后可得，再利用补集定义计算即可得. 【详解】由可得，则， 则. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）设全集，则 ． 【答案】 【分析】根据集合交集、补集运算求解即可. 【详解】， 所以，所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知全集，集合或，集合或，求,. 【答案】, 【分析】利用数轴分别表示集合，再根据补集定义即可求得结果. 【详解】由题意借助数轴，将集合用数轴表示如图所示：    可知， . 【经典例题八 补集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】由集合，得，而， 所以. 故选：B 【例2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据并集合的运算可得； （2）由补集的运算可得. 【详解】（1）由已知，， 得； （2）由，， 得或. 1．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合在全集中的补集，再求这个补集与集合的交集. 【详解】已知全集，集合， 那么， 因为，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·山东滨州·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】、利用补集、并集的定义求解即得. 【详解】全集，集合，则， 因为， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知全集，若集合，则 ． 【答案】 【分析】首先求出集合A中的不等式，然后根据补集的定义求出A的补集. 【详解】对于集合A，不等式为. 所以. 因为全集，所以集合的补集为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若集合，当分别取下列集合时，求． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或． 【分析】（1）（2）（3）由已知结合集合补集运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴或． （2）解：∵，， ∴或． （3）解：∵，， ∴或． 【经典例题九 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 【例2】（2023·山东·模拟预测）设全集，，，求的值． 【答案】6 【分析】由补集的概念列式求解． 【详解】解：∵全集，，， ∴∴． 1．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】因为，又，所以． 故选：B． 2．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 3．（22-23高二下·山东滨州·阶段练习）设集合，，，则集合B＝ ． 【答案】 【分析】首先由和求出全集，再根据，即可求出． 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：． 4．（16-17高二下·山西朔州·期末）已知集合，，，求集合. 【答案】或 【分析】由集合和先求出，再根据并集的定义即可求解. 【详解】解：因为，， 所以或， 又， 所以或. 【经典例题十 集合的交并补】 【例1】（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的概念和运算进行求解即可. 【详解】因为，所以. 因为集合， 所以. 故选：D. 【例2】（22-23高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，求： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据并集、补集的知识求得正确答案. （2）根据补集、交集的知识求得正确答案. 【详解】（1）由于， 所以或. （2）由于或， 所以. 1．（24-25高二下·云南·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集和并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，，则，故. 故选：C. 2．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算法则计算. 【详解】由已知，，所以, 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则 . 【答案】 【分析】根据题意画出韦恩图即可得知. 【详解】，，作出韦恩图，如图所示：    则. 故答案为： 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知全集，集合，集合． (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义，即可求解； （2）首先求，再求. 【详解】（1）由集合，集合， 可知，； （2）由，集合，知, 所以. 【经典例题十一 交并补混合运算】 【例1】（24-25高二下·河南商丘·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意先求出，再结合集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D． 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设全集为，集合，．求，，. 【答案】，, 【分析】根据集合间运算的定义分别可得解. 【详解】由已知，， 则，， 或， 所以. 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先求出，再根据交集的定义即可求得的答案. 【详解】依题意，所以，所以={2,4}． 故选：B． 2．（24-25高二下·天津·期末）已知集合，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意集合，， ，所以. 故选：D. 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知全集，，，则 【答案】 【分析】利用并集和补集的运算直接求解即可. 【详解】由题知，， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可. 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或 【经典例题十二 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交并补的计算方法即可判断求解. 【详解】由，可知集合B中不含元素1和2，必含有元素3； 又根据得. 故选：A. 【例2】（22-23高一上·四川宜宾·阶段练习）已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由得，，将2代入等式，解出a，b的值，得M，N； （2）由的结果列出方程组，解得m的值. 【详解】（1）因为，所以，且， 又因为，所以，得，， 因为，所以，得，， 综上，，. （2）由（1）得， 所以，得. 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知全集，若，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集及交集的运算结果求出. 【详解】全集，， 则， 所以. 故选：D 2．（22-23高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则（    ） A．{2，3} B．{1，4，5} C．{1，2，3，4} D．{2，3，4} 【答案】B 【分析】根据题意求出，进而由补集定义计算可得答案. 【详解】根据题意，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则{2，3}， 又由全集U={1，2，3，4，5}，则{1，4，5}. 故选：B. 3．（2024高一上·上海杨浦·阶段练习）设集合，.若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由得，，由此分类讨论即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴当，即时，，符合题意； 当，即时，由得，，解得， ∴实数的范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据集合的基本运算求参数的取值范围，解题的关键在于找到集合间的基本关系，解题时还应注意不要忽略空集的情况，属于基础题． 4．（22-23高一上·辽宁·期中）已知全集 ，且． (1)求集合M，N； (2)若集合，求实数m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用已知条件先求出的值，然后在求出集合M，N （2）由（1）先求出，再根据，求出实数m的值. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 所以 此时， （2）由（1） 所以 因为，所以， 当时，不满足题意舍去； 当时，满足题意 故集合时， 【经典例题十三 Venn图】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过识别Venn图得知阴影部分表示的是集合，然后根据交集的内涵进行判断即可. 【详解】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是， 因为， 所以． 故选：A. 【例2】（23-24高三上·新疆喀什·阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中a，b，c的值. 【答案】 【分析】根据韦恩图及已知条件列方程求参数即可. 【详解】由题设知：，可得. 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交并补的含义即可得到答案. 【详解】由题意.图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中表示的集合，利用集合间的运算可得结果. 【详解】集合，集合， 易知图中阴影部分表示的集合是， 故选：A 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 【答案】 【分析】根据韦恩图及集合交、补运算求集合即可. 【详解】由题图知：阴影部分为，而或， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可； （2）选择①②③，均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）由集合知，，解得或，所以， 当时，结合图知. （2）选择①②③，均可得. 当时，，解得; 当时，或，解得或，即. 综上所述，实数的取值范围是. 【拓展训练一 集合的交并补基本运算】 【例1】（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式得到集合，由集合的交集运算得到答案. 【详解】由得，所以， 又因为，所以， 故选：B. 【例2】（22-23高一上·福建漳州·阶段练习）已知集合，，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助交集定义计算可得答案； （2）借助并集定义计算可得答案； （3）借助补集定义先计算出，再利用交集定义计算可得答案. 【详解】（1）由，， 得. （2）由，， 得； （3）由，得或， 又，所以. 1．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，求出集合，再利用并集运算求出，得解. 【详解】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 2．（24-25高二下·广东汕头·期末）学校开运动会，设是参加100m跑的同学，是参加200m跑的同学，是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，结合各项集合运算即可得. 【详解】由题意，参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，故，而其它各项集合运算不能说明该规定. 故选：C 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，则 ．若，则 ． 【答案】 -2 3 【分析】利用，可求得，求得，结合，可求. 【详解】∵集合，，，∴， .又或，若，则. 故答案为：；. 4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或；或 (2) 【分析】（1）根据补集和交集的概念与运算即可求解； （2）根据集合间的包含关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）当时，可得, 则或； 又， 所以或； （2）由，需满足，解得； 综上可得，的取值范围为 【拓展训练二 交并补混合运算与Venn图应用】 【例1】（25-26高一上·全国·课堂例题）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【例2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1) (2) 【分析】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， ， 所以， ． （2）由题意得，，， 所以， =． 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集与交集，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3．（2025高三下·全国·专题练习）全集，，，，，，则 . 【答案】 【分析】通过Venn图即可求解； 【详解】根据题意作出Venn图，如图所示， 由图可得. 故答案为： 4．（2025高二·全国·专题练习）设全集 ，集合，，，.求：. 【答案】 【分析】由并集与补集定义计算求解． 【详解】因为全集 ，集合，，，. 所以， 所以. 【拓展训练三 交并补的的求参相关问题】 【例1】（2024高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系可得，再分与时解不等式可得. 【详解】由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选：C． 【例2】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 1．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 3．（2023高三·全国·专题练习）已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上） （1）， ； （2）， ； （3）， ； （4）， ． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系或运算结果，分别列不等式求对应条件下的取值范围． 【详解】因为为非空集合，所以， 又， 由，可得，所以实数的取值范围为． 由，可得，所以，所以实数的取值范围为． 由可得，故实数的取值范围为． 因为或，， 所以，实数的取值范围为． 故答案为：；；；. 4．（22-23高一上·吉林长春·期末）已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，集合，集合， 所以或，. （2）由（1）得或， 而且， 所以，解得，所以的取值范围是. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解. 【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合， 同样指图（2）中阴影部分构成的集合， ， 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列式运算得解. 【详解】因为，所以，即且，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B. 4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知非空集合互不相等，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集及并集得出，，进而即可运算判断. 【详解】因为，则，因为，则，所以，所以， 故选:C． 5．（21-22高三上·北京海淀·期中）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集与并集的定义可得，，即可得解. 【详解】由，，故， 又，则，，故或. 故选：C. 6．（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【分析】根据集合关系得到，且，再得到，且，，，，分类讨论得到的值. 【详解】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意． 故选：D． 7．（24-25高二下·天津河东·期末）已知集合，， 则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算以及补集运算，即可求得答案. 【详解】由题意可知，结合， 可得， 故选：B 8．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 9．（2025高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，，若，则实数a满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据集合的并集结果确定出集合的关系，然后根据方程根的个数进行分类讨论，由此求解出的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，满足，此时，所以； 当时，此时，即或， 若方程有两个相同的实数根，则，所以； 当时，，此时满足， 当时，，此时满足， 若有两个不同的实根，因为，所以，所以此时无解； 综上可知，的取值范围为， 故选：D. 10．（2023高一上·山西·阶段练习）已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为A，集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据题意可得，求出集合A，再讨论的取值范围，求出集合，由集合的运算结果即可求解. 【详解】由题意可得或， ， 当时，，满足； 当时，或， 若，则，解得； 当时，或， 若，则，解得， 综上所述，实数a的取值范围是或. 故选：C 【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数的取值范围、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 11．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 12．（24-25高三上·上海·期中）已知全集，集合，，则 . 【答案】 【分析】将集合化简，即可得到，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则或， 且，所以. 故答案为： 13．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）设集合，若，则 = ． 【答案】1 【分析】由题意转化为，分类讨论求解即可. 【详解】因为， 所以， 若，则，此时，不符合题意； 若，则，此时，符合题意. 综上，. 故答案为：1 14．（2024高一上·上海杨浦·期中）全集是不大于的素数，若，，，则集合 . 【答案】 【分析】本题首先可根据素数的定义得出，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果. 【详解】因为全集是不大于的素数，所以， 因为，所以， 因为，， 所以可绘出韦恩图，如图所示： 由韦恩图可知，， 故答案为：. 【点睛】本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于的自然数中，只能被和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题. 15．（2023高一上·北京·阶段练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是 . ①M没有最大元素，N有一个最小元素； ②M没有最大元素，N也没有最小元素； ③M有一个最大元素，N有一个最小元素； ④M有一个最大元素，N没有最小元素； 【答案】③ 【解析】根据新定义，并正确列举满足条件的集合，判断选项. 【详解】①若，，则集合没有最大值，中有最小元素0，故①正确； ②若，，则中没有最大元素，也没有最小元素，故②正确； ③假设③正确，则中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故③不正确； ④若，，集合有最大值，没有最小值，故④正确； 故答案为：③. 【点睛】本题是创新型题型，以新定义为背景，考查有理数集的交集和并集，属于中档题型，本题的关键是理解题中的新定义，并合理举例. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再根据集合关系讨论求参数即可； （2）由，分和两种情况讨论求参数即可； 【详解】（1）因为，所以． 当时，，解得； 当时，解得． 综上所述，的取值范围为． （2）由题意，需分和两种情形进行讨论： 当时，由（1）得； 当时，因为，所以解得，或无解． 综上所述，的取值范围为． 17．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算的定义即可求解， （2）分类讨论求解集合，即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，， 故， 由于，故， （2）当时，， 当时，， 若，则需满足或，解得 故 18．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或，且； (2). 【分析】（1）应用集合的交运算求得，再由补运算求，根据的关系求； （2）根据集合的包含关系有，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 所以或，且； （2）由，显然不是空集，且， 所以，可得. 19．（2025高二·全国·专题练习）定义集合运算 ，其中 U 为全集.已知全集 ，集合 ，.求：的结果（其中 ）. 【答案】 【分析】根据新定义，利用德摩根公式即可求解. 【详解】根据定义，. 由德摩根公式的推广形式得：， 因为， 所以 所以，. 因为，所以. 20．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再结合并集的定义即可求解； （2）分析可得，，进而得到，即可求出，进而根据真子集的定义写出所有的真子集即可. 【详解】（1）因为，， 则， 又，， 所以. （2）由题意，，，， 则，，即， 所以，此时， 所以集合的真子集为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$