13.3.2三角形的外角（教学课件）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、性质及外角和，通过知识回顾（内角和、直角三角形锐角互余）和角度计算问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生发现外角与不相邻内角的关系。 其亮点在于结合生活情境（零件检测例题）和多解法对比（延长线、连接辅助线等），培养数学思维中的推理能力和几何直观，分层练习覆盖基础与提升，易错题警示漏解问题，帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

人教版（2024）八年级数学上册 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.2三角形的外角 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.理解三角形的外角的概念，并能够在复杂图形中找出三角形的外角.（重点） 2.掌握三角形外角的性质，会利用三角形外角的性质进行角度的计算和证明．（难点） 新课导入 知识回顾 1．三角形的内角和是多少度？ 2．直角三角形的两个锐角______； 有两个角互余的三角形是 ． 答：三角形的内角和是180° 互余 直角三角形 知识点讲解 定义与概念 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. C B A D 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，你能求出∠ACD 的度数吗？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？ D A B C 70° 60° ∠ACD = 180° – ∠ACB =∠A +∠B = 60° + 70° = 130° 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 思 考 猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：____________________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. ∠A +∠B +∠ACB = 180°. 又∵ ∠ACD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠ACD (等量代换). 证明：由三角形的内角和等于180°，得 D A B C 总结归纳 推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A B C 外角 符号语言： ∵∠ACD是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠A +∠B. 推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 典型例题 例1.如图13.3-9，△ABC的外角∠CAE的平分线AD交BC的延长线于点D，∠B＝35 °，∠DAE＝60°，求∠ACD 的度数. 解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠ACD 转化为∠B＋∠BAC 进行求解. 经典例题 解：∵ AD 是∠CAE 的平分线，∠DAE＝60°， ∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°. ∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°. ∵∠ACD 是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠BAC＋∠B＝60°＋35°＝95°. 例2.[情境题·生活应用]一个零件的形状如图13.3-10所示，按规定∠A应等于90 °，∠B，∠D应分别是20°和30°. 李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 经典例题 思路导引： 解法一：如图13.3 -11，延长DC 交AB 于点M. ∵∠BCD 是△BCM的一个外角， ∴∠BCD＝∠B＋∠BMD. ∵∠BMD是△ADM的一个外角， ∴∠BMD＝∠A＋∠D. ∴∠BCD＝∠B＋∠A＋∠D＝20°＋90°＋30°＝140°≠142°. ∴这个零件不合格． 经典例题 例2.[情境题·生活应用]一个零件的形状如图13.3-10所示，按规定∠A应等于90 °，∠B，∠D应分别是20°和30°. 李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 解法二：如图13.3 -12，连接AC 并延长. ∵∠1是△ACD的一个外角， ∠2是△ACB的一个外角， ∴∠1＝∠D＋∠DAC，∠2＝∠B＋∠BAC. ∴ ∠BCD＝∠1＋∠2＝∠D＋∠B＋∠BAC＋ ∠DAC＝∠D＋∠B＋∠BAD＝30°＋20°＋90°＝140 °≠ 142°. ∴这个零件不合格． 例2.[情境题·生活应用]一个零件的形状如图13.3-10所示，按规定∠A应等于90 °，∠B，∠D应分别是20°和30°. 李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 经典例题 解法三：如图13.3-13，连接BD. ∵∠A＝90°，∴∠ADB＋∠ABD＝90°. ∵∠ADC＝30°，∠ABC＝20°， ∴∠CDB＋∠CBD＝90°－30°－20°＝40 °. ∴∠DCB＝180°－40°＝140°≠ 142°. ∴这个零件不合格． 例2.[情境题·生活应用]一个零件的形状如图13.3-10所示，按规定∠A应等于90 °，∠B，∠D应分别是20°和30°. 李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 经典例题 例3（课本例题） 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：解法1 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3). 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°. 你还有其他解法吗？ 经典例题 解：解法2 如图，∠BAE+∠1=180 °， ① ∠CBF +∠2=180 °，② ∠ACD +∠3=180 °，③ 又∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540°– 180°=360°. 经典例题 例3（课本例题） 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 总结归纳 三角形的外角和 三角形的每一个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，一个三角形共有六个外角.在每个顶点处各取个外角，则三角形的外角和为360°. 如图，∠1+∠2+∠3=360°. 课堂练习 知识点1 三角形的外角 1.如图，点,,在直线上，点在线段 上，则下列是 的外角的是( ) C A. B. C. D. 【解析】是 的外角.故选C. 基础题 21 知识点2 三角形的外角的性质 2.［2025浙江杭州期末］一副直角三角板按如图所示方式叠放 在一起，则图中 的度数是( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，由题意得 ，所以 ，故选D. 22 3.［2025河北石家庄期中］如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到① ②两个三角形纸片，则下列结论一定正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】根据图形可知不一定等于，不等于， 不一 定等于相当于的外角， ，故 选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意.故选D. 23 4.［2024天津西青区期中］如图，点是内一点，连接 , ， ， ， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】如图,延长交于是的一个外角， ， ，是 的一个外角, ，故选C. 24 5.如图，,,是的3个外角，则_____ . 360 【解析】 三角形每个顶点处的内角与其外角之和为 ，三角形的内角和为 ， .故答案为360. 25 6.如图，的内角与外角的平分线相交于点，则与 之间的 数量关系是__________. 【解析】是的一个外角,是 的平分 线,是的平分线, , ,故答案为 . 26 7.用两种方法证明“三角形的外角和等于 ”.如图， ,,是 的三个外角. 求证： . 证法,,是 的三个外角, ________, . ________, . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 27 【答案】证法,,是的三个外角， , , ， . ， .故答案为, , ; . 证法 平角等于 , , . 28 易错点忽视点的位置导致漏解 8.在中， ， ，平分交于点，点 为边上一点，，垂足为，则 的度数为___________. 或 【解析】如图.平分， .当点在线段 上时， ，， ， ；当点在线段上时，如点 ， ，故答案为 或 . 易错题 易错警示 点的位置需分两种情形：点在线段上或在线段 上,不要漏解. 29 提升题 9.［教材习题变式］［2025南昌期末］如图，是 的外角的 平分线，且交的延长线于点 . （1）若 ， ，求 的度数； 解：平分 ， . ， ， . ， . （2）求证： . 证明：平分 ， . ， ， . 10.在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题.在 中，与的平分线相交于点 . 【问题探究】（1）①如图①，若 ， ，则 ______； 拓展题 ②猜测与 之间的数量关系，并证明. 解： ，证明如下： ， . ，分别是和的平分线， ， . ， . 【问题延伸】（2）如图②，作的外角，的平分线相交于点 ，则 与 之间的数量关系为___________________. 31 课堂小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 ° 辅助线总结 ①求角的度数，通过三角形一顶点的平行线，利用平行线的性质解决 ②求角的度数，延长三角形一边或连接并延长，利用三角形外角性质解决 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第16页练习 ∠1 = 40° ∠2 = 140° ∠1 = 110° ∠2 = 70° ∠1 = 50° ∠2 = 140° 说出下列各图形中∠1 和∠2 的度数 （1） （2） （3） 课本练习 （4） （5） （6） ∠1 = 55° ∠2 = 70° ∠1 = 80° ∠2 = 40° ∠1 = 60° ∠2 = 30° 课本练习 感谢观看 $$