13.3.1 三角形的内角 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形的内角”，核心讲解三角形内角和定理（180°）及直角三角形两锐角互余。课堂导入通过生活情境中三类三角形争论内角和大小，结合小学度量拼剪旧知，引出推理证明需求，搭建从直观感知到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于采用合作探究多种证法（如作平行线辅助线转化为平角），融入中考真题（如方位角问题、直角三角形性质应用），并设分层作业。体现推理意识（严谨证明过程）、几何直观（辅助线转化思想）、应用意识（解决实际与中考问题）。结构化小结梳理知识与方法，学生能提升逻辑思维与应用能力，教师可直接使用以提高教学效率。

人教版（2024） 八年级上册 13.3.1 三角形的内角 第十三章·三角形 三角形的内角 知识目标 1.理解并准确阐述“三角形内角和定理”。 2.掌握直角三角形的特殊性质：两个锐角互余。 3.能运用代数表达式表示三角形内角的关系，解决未知角的度数问题。 能力目标 1.灵活运用三角形内角和定理及直角三角形的性质，正确计算未知角的度数，解决实际问题。 2.设计实验方案，如撕角拼合法、用量角器验证，自主完成对定理的实践验证，培养科学探究思维。 素质目标 1.渗透数学严谨性与美学价值，激发学生探索几何规律的兴趣；通过小组合作实践，增强团队协作意识与表达沟通能力。 2.培养质疑精神与创新意识，鼓励尝试多种方法验证结论 教学难点 教学重点 三角形内角和定理的理解、推导 会运用三角形内角和定理进行计算 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 生活中我们常常能看见这样的照片，他们中都有我们熟悉的图形——三角形。学习今天的内容，大家对三角形会有新的认识，下面让我们进入到今天的学习之旅吧！ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回顾：三角形按角分类 当三角形的最大角分别是钝角、直角、锐角时,对应的三角形分别为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形. 钝角三角形直角三角形锐角三角形. 钝角三角形 锐角三角形 直角三角形 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 我是直角三角形，我的内角和最大 我有一个钝角，比你的三个角都大，所以我的内角和才是最大的 我虽然是锐角三角形，但是我的个头最大，所以我的内角和才是最大的 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 复习旧知 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°。与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的。 当时我们是通过度量或拼剪的办法得出这一结论的，可是这种方法不能完全让人信服，所以我们需要寻求推理的方法去证明这一定理 480 720 600 60°＋48°＋72°＝180° 分析问题，寻找对应 探究：如何通过“数学证明”来解释三角形的内角和一定是180°呢？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 1 2 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等) ∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义）， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）. 分析问题，寻找对应 探究：如何通过“数学证明”来解释三角形的内角和一定是180°呢？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴∠B=∠2.(两直线平行,同位角相等) ∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等) ∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义）， ∴∠B+∠C+∠ACB=180°（等量代换）. C B A E D 1 2 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° 三角形的内角 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。 为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法。 在平面几何里，辅助线通常画成虚线。 ★思路总结 ★作辅助线 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 例1 解 C B D A 在△ABD中 ∵∠BAD+∠B+∠ADB=180°(三角形内角和定理) ∴∠ADB=180°－∠BAD－∠B =180°-75°-20° =85° ∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=40° 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 例2 北 A D 北 C B 东 E 分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求：∠ABC是多少度？∠ACB是多少度？ 例2 北 A D 北 C B 东 E 解 ∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°. ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC=∠ABE -∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°, 即从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°, 从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°. 分析问题，寻找对应 探究：直角三角形内角和 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 你能找出上图中所包含的直角三角形吗 ？ 三角形的内角 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90° 由三角形内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+∠B+90°=180° ∴∠A+∠B=90° 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余。 分析问题，寻找对应 探究：三角形用什么符号表示的？那么直角三角形又用什么符号表示呢？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 三角形ABC 表示为： 直角三角形可以用符号： 如图,直角三角形ABC表示为： △ABC Rt△ Rt△ABC 在Rt△ABC中， ∵∠A=90° ∴∠B+∠C=90° “直角三角形的两个锐角互余”其几何语言可表示为： 思考：若在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是否就是直角三角形呢？ 三角形的内角 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 ★证明：在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是直角三角形 已知：在△ABC中，∠A与∠B互余。 求证：该三角形为直角三角形 证明：∵∠A与∠B互余 ∴∠A+∠B=90° 由三角形内角和定理，可得 ∠A+∠B+∠C=180° ∴90°+∠C=180° ∴∠C=90° ∴△ABC为直角三角形 A B C 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E。 ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 例3 解 在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC 在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED ∵∠AEC=∠BED ∴∠CAE=∠DBE 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 若一个三角形的三个内角度数之比1:3:4，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 例4 解 ∵三角形三个内角度数的比为1：3：4， B 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（    ） A．48° B．58° C．62° D．68° 例5 解 ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90° ∵∠A=42° ∴∠B=48° A 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.如图,从A 处观测C处的仰角∠CAD=30°,从 B 处观测C处的仰角∠CBD=45°.从C 处观测A, B 两处的视角∠ACB 是多少度? 解:在△ACD中，因为∠CAD=30°，∠D=90°，所以∠ACD=180°-90°-30°=60°. 在BCD中，因为∠CBD=45°，∠D=90°，所以∠BCD=180°-90°-45°=45°. 所以∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°. 答:从C处观测A，B两处的视角∠ACB是15°. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图, 在△ABC中, ∠A=40°, 求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数. 解:在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 可得∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140° 在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180° 可得∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-40°=140° ∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280° 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, CD⊥AB, 垂足为 D. ∠ACD 与∠B 有什么关系?为什么? 解:∠ACD与∠B相等，理由如下: ∵∠ACB=90° ∴∠ACD+∠BCD=90° 又CD⊥AB ∴∠CDB=90° ∴∠B+∠BCD=90° ∴∠ACD=∠B 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.如图，在△ABC中，∠C=90°,点 D，E 分别在边AB，AC上，且∠1=∠2, △ADE是直角三角形吗?为什么? 解:在Rt△ABC中 ∠2+∠A=90° 在△ADE中 ∠A+∠1+∠ADE=180° ∵∠1=∠2 ∴∠2+∠A=90°=∠A+∠1 ∴90°+∠ADE=180° ∴∠ADE=90°得△ADE是直角三角形 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 5.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数． 解：在△DFB中， ∵∠DFB＝90°，∠D＝50°， ∠DFB＋∠D＋∠B＝180°， ∴∠B＝40°. 在△ABC中， ∵∠A＝46°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2025·北京·中考真题）如图，O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°，夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与O的切线FI所成的锐角)的大小为 . [分析]本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键，设FI与OG交于点K，先由三角形内角和定理求出∠OKF=43°，再根据平行线的性质求解即可， [详解]解:如图，设FI与OG交于点K， K 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2025·北京·中考真题）如图，O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°，夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与O的切线FI所成的锐角)的大小为 . [详解]解:如图，设FI与OG交于点K， ∵∠DOB=∠FOB=23.5°, ∴ZKOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°， 在ΔOFK中，∠FOK+∠OFK+2∠OKF=180°，∠OFK=90°, ∴∠OKF=43°， ∵FH//OG, ∴∠IFH=∠OKF=43°, 故答案为:43°. K 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，若DE//BC,FG//AC, ∠BDE=120°,∠DFG=115°，则∠C=. . [详解]解:∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°，∠DFG+∠BFG=180°， ∠ADE=60°，∠BFG=65°, ∵DE//BC,FG//AC， ∴∠B=∠ADE=60°，∠A=∠BFG=65°， ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C=180°-65°-60°=55°， 故答案为:55°. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线l1//l2于点 D, ∠1=50°, 则∠2 的度数是( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° [详解]解: ∵l1//l2，∠1=50° ∴∠ABC=∠1=50°, ∵AB⊥CD， ∴∠BDC = 90°, ∴∠2=180°-90°-50°=40°, 故 A 正确. 故选: A. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.（2024·四川凉山·中考真题）如图, △ABC中, ∠BCD=30°, ∠ACB =80°, CD是边AB上的高, AE是∠CAB的平分线, 则∠AEB的度数是 . [答案]100° [详解]解:∵∠BCD=30°,∠ACB=80°, ∴∠ACD=50°, ∵CD 是边AB上的高， ∴∠ADC=90°, ∴∠DAC=40°, ∵AE 是 ∠CAB的平分线， :∠CAE =∠DAC=20°, ∴∠AEB=∠CAE +∠ACB =20°+80°=100°. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 5.（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是 . [详解]解:∵等腰三角形的一个底角的度数为40°, ∴它的顶角度数为:180°-40°×2=100°. 故答案为:100°. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 我亲历了什么 我知道了什么 我会什么 三角形内角和定理 直角三角形的两个锐角互余 三角形内角和定理的推导 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 三角形的 内角和定理 证明 为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法。 内容 三角形内角和等于180 ° 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。 在平面几何里，辅助线通常画成虚线。 ★作辅助线 直角三角形的两个锐角互余。 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 课后作业 A层：P16：13.3习题：1、2、3. B层：P16：13.3习题：4、5. 下课 $$