第一章 空间向量与立体几何章末测试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意，是空间的一个基底， ，所以不共线， 因为不能构成空间的一个基底，则共面， 所以存在使得， 即 所以，解得． 故选：A． 2．已知，，若与共线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】因为，，与共线， 所以，解得，则. 故选：D. 3．如图，在空间平移到，连接对应顶点.是的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意可知 . 所以，故. 故选：B 4．已知空间中的点，则到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】，， ，又， 所以到直线AB的距离等于， 故选：B． 5．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 设， 则． 又，，，四点共面，所以，解得， 所以，，得． 故选：B 6．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得， 因为， 所以，， 因为, 所以 ， 所以，即的长为2， 故选：B 7．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 【答案】D 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，取的中点为，则平面即为平面, 故与平面相交，故A错误， , 则,, 由于， 故是平面的一个法向量，故平面，故D正确， 由正方体的性质可得与不平行，因此不垂直于平面，C错误， 由于，， 故与法向量不垂直，故与平面不平行，故B错误， 故选：D 8．球是边长为2的正方体的内切球，为球的球面上动点，为中点，，则点的轨迹周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的中点为，连接，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系： 因此有， ，，因为， 所以，所以，而， 而平面，，因此有平面， 所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线. 正方体的棱长为2，所以内切球的半径为， 设平面的法向量为，，， 所以有， 因此到平面的距离为：， 所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知，，且与夹角为钝角，则x的取值可以是（　　） A．-2 B．1 C． D．2 【答案】BD 【详解】由题意得，且与不共线，则， 即，解得，若与共线，则，即，得，与反向 需要舍去，所以的取值范围为且，所以B和D选项正确，A和C选项错误， 故选：BD. 10．已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【详解】由题意得，，故A正确； ，所以，，故B不正确； 由题意得，，，， 所以，， 设是平面的法向量，则, 令，则，，则，故C正确 ，则点到平面的距离为，故D不正确. 故选：AC 11．如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点，使平面 C．当点与点重合时，二面角的余弦值为 D．设直线与平面所成角为，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为三棱锥的体积， 易得平面平面，平面， 所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥体积为定值，故A正确． 对于B，如图所示，以为坐标原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，,，，，， 设，所以，， 设平面，，， 则，取，则，则， 要使平面，即，，此时，故B正确.    对于C，当点与点重合时，此时， 设平面，，， 则，取，则，则， 设平面，设二面角所成角为， 所以， 因为为锐二面角，，所以，故C不正确；      对于D，，， 设平面， 设直线与平面所成角为，， 所以， ， 因为在上单调递增， 所以当取得最大值时，取得最大值， 当时，，此时， 所以，所以D正确 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．平面的法向量为，，那么直线与平面的关系是 ． 【答案】或 【详解】由题意知，， 则， 故，则或， 故答案为：或 13．若，且共面，则 【答案】1 【详解】因为向量不共线，且共面，所以存在实数使得，即有 ，解得． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理的应用以及向量的运算． 14．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    【答案】 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F， 以E为坐标原点，EA、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ），D（00），B1（0）， 所以，（1），（1）， 因为，， 所以A1C1⊥DB1，A1B⊥DB1， 又A1B∩A1C1＝A1，A1B、A1C1⊂平面BA1C1， 所以DB1⊥平面BA1C1． 16．如图：三棱柱中，，是的中点． (1)在线段上是否存在一点，使得四边形为梯形?说明理由； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【答案】(1)存在，为中点. (2) 【详解】（1）为中点，四边形为梯形，理由如下： 为中点，连接， 又是的中点，则有且， 三棱柱中，且， 所以有且， 故为中点，四边形为梯形； （2）依题意，，， 则有，，， ， ，则，即， 解得. 17．如图，平面ABCD，，，，，. (1)求证：平面平面ADE； (2)若线段CF的长为1，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，，，. 是平面ADE的法向量，又，， 可得，.所以也是平面BCF的法向量，∴平面平面ADE； （2）依题意：，，. 设为平面BDE的法向量，则，令，得. 设为平面BDF的法向量，则，取，得， 由题意，，∴二面角的余弦值． 18．如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】存在， 【详解】因为，为中点，则， 又平面底面，平面底面，面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，又，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，    因为，，， 则， 所以，假设存在点，使得它到平面的距离为， 设平面的法向量为． 则，所以，得到， 取，则平面的一个法向量为． 设， 由，得，解得或（舍去）． 此时，，所以存在点满足题意，此时． 19．如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在，点在线段上且与点的距离为2 【详解】（1）依题意可得四边形是菱形， 又，连接，则是正三角形， 取的中点，连接，得，． 因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面， 又，平面，所以，， 所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．    由直四棱柱的棱长均为6，且， 则，所以， 从而点的坐标为． （2）由，则， 则结合（1）得，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 又， 所以点到平面的距离为． （3）设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即结合（2）得， 取，则，，所以， 又， 则， 化简得，解得或， 因为，所以，即． 故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 2．已知，，若与共线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在空间平移到，连接对应顶点.是的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C．1 D． 4．已知空间中的点，则到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D．2 5．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 8．球是边长为2的正方体的内切球，为球的球面上动点，为中点，，则点的轨迹周长为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知，，且与夹角为钝角，则x的取值可以是（　　） A．-2 B．1 C． D．2 10．已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 11．如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点，使平面 C．当点与点重合时，二面角的余弦值为 D．设直线与平面所成角为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．平面的法向量为，，那么直线与平面的关系是 ． 13．若，且共面，则 14．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 16．如图：三棱柱中，，是的中点． (1)在线段上是否存在一点，使得四边形为梯形?说明理由； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 17．如图，平面ABCD，，，，，. (1)求证：平面平面ADE； (2)若线段CF的长为1，求二面角的余弦值. 18．如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    19．如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$