专题01 空间向量及其运算 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题01 空间向量及线性运算、数量积运算 知识点一、空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点三、共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点四、空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 4．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 5．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 考点01 空间向量的概念辨析 1．在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 3．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 4．（多选）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 考点02 空间向量的线性运算 5．在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在四面体中，（    ） A． B． C． D． 8．（多选）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 9．光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则 ． 10．已知长方体，若为与的交点，则 . 考点03 空间向量共线问题 11．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 13．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 14．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 考点04 空间向量共面问题 15．已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 16．（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 17．为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 18．如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 19．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 20．如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 考点05 空间向量的数量积运算 21．如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 22．在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 23．如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 25．如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是 个. 考点06 利用空间向量的数量积证明垂直 26．若为非零向量，，则与一定（    ） A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面 27．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（    ） A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以 28．已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 29．在空间四面体中，，．求证：． 30．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    考点07 利用空间向量的数量积求长度/距离 31．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 32．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则 . 33．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 34．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 35．如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为 . 考点08 利用空间向量的数量积求夹角 36．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 37．已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 38．已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 39．． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 40．在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 考点09 利用空间向量的数量积求投影 41．在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影为 ，在上的投影之积为 ． 42．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 43．在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影数量为（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 44．如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 易错01 涉及数量积夹角时需注意共起点 1．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 2．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线 ． 刷基础 1．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 2．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：    （1）的共线向量（平行向量）为 ； （2）模为的向量是 ； （3）向量，， .（填“共面”或“不共面”） 4．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．若为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 6．如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 7．在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 8．如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 9．两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 10．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为 ． 11．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 12．如图，在三棱锥中，平面，，，．试确定在上的投影向量，并求． 刷能力 1．（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．在三棱锥中，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，很多人的童年都少不了折纸的乐趣，同时，折纸活动也蕴含着丰富的数学内容，例如：中，，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列数量积可能为零的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（     ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，正四棱锥的棱长均为1，且，记平面与直线的交点为，与直线的交点为，则（    ） A． B． C．当时， D． 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2024·25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2024·25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 6．（2024·25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 8．（2024·25高二上·山东菏泽·期末）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及线性运算、数量积运算 知识点一、空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点三、共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点四、空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 4．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 5．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 考点01 空间向量的概念辨析 1．在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示的长方体中， A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确； C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确， 故选：B      2．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 3．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 4．（多选）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 【答案】ABC 【详解】由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确； 与相等的向量有，，，共3个，故B正确； 向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确； 模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误． 故选：ABC 考点02 空间向量的线性运算 5．在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 6．（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 7．在四面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量的加法、减法法则，得， 故选：B. 8．（多选）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】在中，因为，所以，故，即. ， 故选：BD.    9．光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则 ． 【答案】 【详解】如图，延长，，，相交于一点，则，，， 所以，，， 所以. 故答案为： 10．已知长方体，若为与的交点，则 . 【答案】 【详解】解：如图，因为为与的交点，所以为的中点， 所以， 所以，. 故答案为： 考点03 空间向量共线问题 11．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 12．若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【详解】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 13．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【答案】0 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 14．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 考点04 空间向量共面问题 15．已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【答案】C 【详解】因为非零向量不共线，， 所以， 由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面． 故选：C. 16．（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 17．为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 18．如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 【答案】 2 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 19．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 20．如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，E为中点，. 又因为四点共面，设， 即 所以 ， 所以. 故选：A． 考点05 空间向量的数量积运算 21．如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【详解】 故选：D 22．在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， ． 故答案为：-12 23．如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 24．如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】解：由向量投影的概念，表示向量在上的投影， 因为垂直于平面,所以 因为（其中）， 所以. 故选：D. 25．如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是 个. 【答案】5 【详解】因为点满足且， 所以点在平面上， 因为， 所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 考点06 利用空间向量的数量积证明垂直 26．若为非零向量，，则与一定（    ） A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面 【答案】C 【详解】因为，所以，， 又因为 ，所以， 又因为，所以. 故选：C 27．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（    ） A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以 【答案】A 【详解】因为， 所以， 故选：A 28．已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以，即． （2）因为， 所以，， 所以． 所以，． 所以． 29．在空间四面体中，，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 30．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【答案】证明见解析 【详解】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即．    考点07 利用空间向量的数量积求长度/距离 31．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【答案】3 【详解】由. 故答案为：3 32．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则 . 【答案】 【详解】在正四棱台中，，，， 在侧面中，得， 由，所以， 设，则， 所以， 则 . 故答案为： 33．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【详解】如下图，， 所以 ， 所以. 故选：C. 34．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得，与的夹角为， 因为， 所以， 因，，， 故， 所以， 故选：B 35．如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为 . 【答案】或/或 【详解】 由已知，得或， 设，因为，而, 则 当时，可得，解得：； 当时，可得，解得. 综上可知，即公垂线段的长为或. 故答案为：或. 考点08 利用空间向量的数量积求夹角 36．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 37．已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 38．已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以，所以， 由三棱柱的结构特点可知，所以异面直线与的夹角即为（锐角）， 因为，所以， 所以， 所以异面直线与的夹角的余弦值为， 故答案为：. 39．． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 40．在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 考点09 利用空间向量的数量积求投影 41．在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影为 ，在上的投影之积为 ． 【答案】 -12 56 【详解】解： 易得， 所以在，，上的投影分别为-12，8，7， 其在，上的投影之积为． 故答案为：-12；56. 42．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 43．在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影数量为（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】A 【详解】因为向量，， 因此， ， 所以向量在上的投影数量为. 故答案为：A. 44．如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 【答案】 【详解】平面， 则， 向量在上的投影向量为 故答案为：. 易错01 涉及数量积夹角时需注意共起点 1．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 【答案】 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 2．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线 ． 【答案】 【详解】解：因为异面直线a，b所成的角为， 则与得夹角为或，则， 由， 得， 即， 所以， 即公垂线. 故答案为：. 刷基础 1．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 2．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点不共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由可得， 即，因为，所以四点共面. 故选：D 3．如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：    （1）的共线向量（平行向量）为 ； （2）模为的向量是 ； （3）向量，， .（填“共面”或“不共面”） 【答案】 ，，， ，，，，，，， 不共面 【详解】（1）的共线向量（平行向量）为，，，. （2）由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为， 故模为的向量有，，，，，，，. （3）因为，向量，，有一个公共点， 而点，，都在平面内，点在平面外， 所以向量，，不共面. 故答案为： ，，，； ，，，，，，，；不共面. 4．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 5．若为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 【答案】 【详解】由为空间中两两夹角都是的单位向量，得， 所以. 故答案为： 6．如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 【答案】 【详解】（1） . （2） 故答案为： 7．在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得 . 故答案为：. 8．如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 9．两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于,, 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 故, 故 ， 因此, 故选：A 10．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为． 由题意得，所以． 故答案为：. 11．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 12．如图，在三棱锥中，平面，，，．试确定在上的投影向量，并求． 【答案】， 【详解】 平面，， 因为． 又， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：． 刷能力 1．（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 2．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 3．设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 4．在三棱锥中，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设G到平面的距离为，设D到平面的距离为， 由于，故； 又，则， 故， 故， 故选：B 5．如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 6．（多选）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，很多人的童年都少不了折纸的乐趣，同时，折纸活动也蕴含着丰富的数学内容，例如：中，，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列数量积可能为零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意如图所示：    A中，由于，所以当平面平面时，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，此时，所以A正确； B中，因为，，， 可得，则在翻折过程中，会超过（原因：点翻折后，，） 故存在，因为，故直线与直线有可能垂直，此时，所以B正确； C中，在中，，所以为锐角，故不可能为0，所以C不正确； D中，易知，将三角形沿着翻折时， ，，三点共线，且四边形为矩形，所以， 此时，所以D正确． 故选：ABD． 7．（多选）已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，举反例：将一矩形ABCD沿对角线BD翻折，在翻折过程中，始终满足 ，但不一定成立，所以A错误； 对于B，取中点，连，因为，所以， 且平面，平面，平面，进而，故B正确； 对于C，过A作平面，垂足为，连， ，又，平面， 所以平面，平面，进而； 同理可证：，所以为△的垂心， 这样，又，所以平面，平面，可得：，故C正确； 对于D，由条件知，则 ∴， ，∴，即，所以D正确. 故选：BCD. 8．（多选）如图，正四棱锥的棱长均为1，且，记平面与直线的交点为，与直线的交点为，则（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可知，∽，所以，因此，故A正确； 对于B，由A可知，所以，又，，所以，故B错误； 对于C，如图，在中，在线段CD上截取，连接HM，则是等边三角形， 所以∽， 则，所以， 解得另一个根大于1，舍去，故C正确； 对于D，设， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 两式作差，得 ，容易发现，，，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 刷期中期末真题 1．（2024·25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 2．（2024·25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 3．（2024·25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 4．（2024·25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意点是的中点， 所以. 故选：B. 5．（2024·25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 6．（2024·25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 7．（2024·25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B 8．（2024·25高二上·山东菏泽·期末）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示： 取的中点M，连接， 则， 得为二面角的平面角，即， 取基底， 则， 因为， 所以 ． 故选：A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$