精品解析：湖北省荆门外国语学校2024-2025学年上学期上学期12月月考九年级数学试卷

九年级12月学业水平测试数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程x2﹣4＝0的根为（ ） A. x＝2 B. x＝ C. x1＝2，x2＝﹣2 D. x1＝，x2＝﹣ 3. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　） A. 竹篮打水 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 6. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 7. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ） A. B. C. D. 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的切线，点是切点，分别交于 两点，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：① ；②；③；④ ．其中正确结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值为_____． 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____________． 13. 如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为________． 14. 若抛物线与x轴有交点，则c的值可以是_____．（写出一个符合题意的整数）． 15. 如图，以为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连接交于点E，平分 交于点D，则_______度；当 时，的长为______． 三、解答题（共9题，共75分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 16. 已知关于x的一元二次方程，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①，；②，；③ ，． 17. 如图，是的弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求 的度数； （2）若，求的长． 18. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 19. 如图，点O､B的坐标分别为､，将 绕点O按逆时针方向旋转 得． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）求旋转过程中点B所经过路径的长度； （3）求线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． （1）求A､C两点的坐标； （2）直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小； （3）直线 与抛物线相交于M，N，若，求t的值． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作 ，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若， ，求的长． 22. 在乡村振兴活动中，某电商正在热销一种当地特色商品，其成本为50元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为80元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用400元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且x为整数）． （1）求y与x的函数关系式： （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 23. 在 中， ，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转 ，得到线段，过点作直线 ，过点作 ，垂足为点，直线交直线于点 ． （1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）如图，当点在线段上时，求证： ； （3）连接，的面积记为，的面积记为，当 时，请直接写出的值． 24. 已知抛物线 过点和两点，交x轴于另一点B． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分 时，求P点坐标； （3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点． ①直线EF的解析式是______； ②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级12月学业水平测试数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 2. 方程x2﹣4＝0的根为（ ） A. x＝2 B. x＝ C. x1＝2，x2＝﹣2 D. x1＝，x2＝﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】将方程移项直接开平方即可． 【详解】解：x2﹣4＝0， ， ∴x1＝2，x2＝﹣2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查运用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键． 3. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线的顶点坐标为， 把点向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到点的坐标为， 所以平移后的抛物线解析式为． 故选B． 4. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　） A. 竹篮打水 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．竹篮打水是不可能事件； B．守株待兔是随机事件； C．水涨船高是必然事件； D．水中捞月是不可能事件； 故选：B． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键． 首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故B正确，不符合题意； C、与不是对应角， 不成立，故C错误，符合题意； D、 与是对应线段， ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 7. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握求解的方法是解题的关键． 过点向下作于点，交于点，连接，根据垂径定理得出，根据计算，利用勾股定理计算，最后根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点向下作于点，交于点，连接， ∴ ，， ∵半径为，瓶内液体最大深度为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 9. 如图，是的切线，点是切点，分别交于 两点，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质和全等三角形的性质, 掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线性质，，再根据为切线可知，即可求解出 的度数． 【详解】解：如图，连接， 由切线性质得：，，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 则 的度数为． 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：① ；②；③；④ ．其中正确结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得：， ，， ，故①正确； 当时，，故②正确； 当时，， 由得：， 则，即 ，故④错误； ，， ，故③正确； 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求出、的值，再计算的值．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】解：点与点关于原点对称 ， 故答案为：． 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系．由根与系数的关系可得：，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：0． 13. 如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：设为①，为②，为③，画出树状图如下： 共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①，共4种， ∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 14. 若抛物线与x轴有交点，则c的值可以是_____．（写出一个符合题意的整数）． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．由抛物线与x轴有交点，可知有实数根，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】解∶∵抛物线与x轴有交点， ∴方程有实数根， ∴， ∴， ∴c的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 15. 如图，以为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连接交于点E，平分交于点D，则_______度；当 时，的长为______． 【答案】 ①. 135 ②. 【解析】 【分析】（1）点F是的中点，得到，平分，得到 ，根据圆周角定理即可解得． （2）连接，，求得，根据勾股定理可得，证明，求得，再证明，即可求得． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵平分， ∴ 根据图形可知： ， ∴， ∴， ∴． 连接， ∵， ∴， ∴， 设 ，则， 根据勾股定理可得 ∴ ∵点F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了勾股定理，三角形相似，圆周角定理，解题的关键是综合运用勾股定理，三角形相似，圆周角定理的相关知识． 三、解答题（共9题，共75分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 16. 已知关于x的一元二次方程，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①，；②，；③ ，． 【答案】选①，，；选②，，；选③，方程无实数解． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据公式法或因式分解法求解即可． 【详解】解：选①，；方程为， ， ∴， ∴，； 选②，；方程为， 因式分解得， ∴，， ∴，； 选③ ，；方程为， ， ∴方程无实数解． 17. 如图，是的弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求 的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了垂径定理和勾股定理． （1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到； （2）根据垂径定理得到 ，然后利用勾股定理计算出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设 ，则， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 18. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 19. 如图，点O､B的坐标分别为､，将 绕点O按逆时针方向旋转得． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）求旋转过程中点B所经过路径的长度； （3）求线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积 【答案】（1）图见详解， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，网格的性质，弧长公式和扇形面积公式，解题的关键是掌握旋转的性质， （1）根据旋转的性质画出旋转后的图形，结合网格的性质写出点坐标即可； （2）根据旋转的性质得到角度，结合网格得到半径，利用弧长公式求解即可； （3）根据旋转的性质得到角度，结合网格得到半径，利用扇形公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 则； 【小问2详解】 解：由图可知， 则旋转过程中点B所经过路径的长度； 【小问3详解】 解：由图可知， 则线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． （1）求A､C两点的坐标； （2）直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小； （3）直线 与抛物线相交于M，N，若，求t的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入抛物线解析可得．当时，得，解得，，从而，当时， ，即可求出点C的坐标； （2）由（1）得抛物线的解析式为，进而得抛物线的对称轴为，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）设M位于N的左边，根据抛物线的对称轴为，，可得，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，，， ∴，， ∴． 当时， ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小 【小问3详解】 解∶∵ ∴不妨设M位于N的左边，则， ∴ 把代入中，得． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作 ，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 于点， ∴ ， ∵是的半径，且 ， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质推出 ，结合 得到 ，从而根据切线判定定理完成证明． （2）先利用为直径得到，设 ，在 中用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；再通过矩形性质得到的长度，最后在 中用勾股定理计算 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，延长交于点， ∵是的直径， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ， ， ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， 解得， ∴ ， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理，结合等腰三角形与矩形的性质进行边角转化是解题的关键． 22. 在乡村振兴活动中，某电商正在热销一种当地特色商品，其成本为50元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为80元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用400元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且x为整数）． （1）求y与x的函数关系式： （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当售价为75元时，商家所获利润最大，最大利润是6250元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可； （2）分别求出当 时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当 时，设， 将和代入，可得 ， 解得， ∴； 当时，设， 将和代入，可得 ， 解得， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：当 时， 销售利润， 当 时，销售利润有最大值，为6250元； 当时， 销售利润， 该二次函数开口向上，对称轴为 ， ∴当 时，销售利润有最大值，为元； ∵， ∴当售价为75元时，商家所获利润最大，最大利润是6250元． 23. 在 中， ，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转 ，得到线段，过点作直线 ，过点作 ，垂足为点，直线交直线于点． （1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）如图，当点在线段上时，求证： ； （3）连接，的面积记为，的面积记为，当 时，请直接写出的值． 【答案】（1） ． （2） 证明： 为等腰直角三角形斜边上的中线， ． ， ． ， ， ． ， ． ， ． 在和 中， ． ． ． （3）或． 【解析】 【分析】（1）可先证 ，得到，根据锐角三角函数，可得到和的数量关系，进而得到线段与线段的数量关系． （2）可先证 ，得到 ，进而得到 ，问题即可得证． （3）分两种情况：①点D在线段上，过点作垂直于，交于点，过点作垂直于，交于点，设 ，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段的延长线上，过点作 垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,设 ，可证 ，进一步证得 是等腰直角三角形， ，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案 【小问1详解】 解： ． 理由如下： 如图，连接． 根据图形旋转的性质可知 ． 由题意可知，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形斜边上的中线， ，． 又， ． 在和中， ． ， ． ． ． ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点D在线段延长线上时，不满足条件 ，故分两种情况： ①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点． 设 ，则 ． 根据题意可知，四边形 和 为矩形， 为等腰直角三角形． ， ． 由（2）证明可知 ， ． ． ． 根据勾股定理可知 ， 的面积与的面积之比 ②点D在线段的延长线上，过点作 垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,由题意知，四边形 ， 是矩形， ∵ ∴ 即 又∵ ， ∴ ∴ 而 ∴ ∴ 是等腰直角三角形， 设 ，则 ， ∴ 中， 的面积与的面积之比 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 已知抛物线 过点和两点，交x轴于另一点B． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分 时，求P点坐标； （3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点． ①直线EF的解析式是______； ②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是______． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）过点B作 轴交DP延长线与点E，过D作轴交x轴于点F．证明，求得点的坐标，进而求得直线DE的解析式为，联立抛物线解析式即可求解； （3）①根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为； ②连接，交于点，则，过点作轴的垂线，交于点，当GM最大时，△GFE面积最大，设，则，根据以及二次函数的性质求得当时，△GFE面积最大，，根据①的方法求得的坐标，根据中点公式求得的坐标，根据勾股定理求得，由即可求解． 【小问1详解】 ∵ 过， ∴ 解之得 ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 过点B作 轴交DP延长线与点E，过D作轴交x轴于点F． 由 ，令，得，则 ，即， ∴， ∴ 又∵，BD平分 ， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 解得 ∴直线DE的解析式为 联立 解得 则 【小问3详解】 ①直线EF解析式为． 抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称， ∴对于抛物线上任意一点关于原点旋转90°后对应点为在旋转后图形上，关于x轴对称的点在旋转后图形上， ∵与关于对称， ∴图形2关于对称， ∴直线EF解析式为 故答案为： ②GH最大值为 如图，连接，交于点，则，过点作轴的垂线，交于点， ∴当GM最大时，△GFE面积最大， 又∵ 设，则 ∴ ∴当时，△GFE面积最大， 由①可知关于的对称点 ∴GH的最大值为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $