1.4 充分条件与必要条件（第1课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

该高中数学课件聚焦“充分条件与必要条件”，从初中命题概念回顾切入，通过“若p则q”形式命题的真假判断搭建新旧知识桥梁，形成学习支架，帮助学生自然过渡到新知识的理解。 其亮点在于以平行四边形判定、三角形全等判定等实例引导学生观察数学关系，体现数学眼光。通过命题真假推理和定义辨析培养逻辑思维，体现数学思维。用表格总结命题真假与条件关系，符号表达规范，帮助学生理清概念联系，教师可借助完整教学流程提升教学效率。

1.4.1充分条件与必要条件 1.理解充分条件与必要条件的含义； 2.能够判断命题的充分条件与必要条件； 学习目标 导入新课 在初中，我们已经对命题有了初步的认识．那么命题的概念是什么呢？ 一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 导入新课 那么这节课我们将进一步考查“若 p，则 q ”形式的命题中 p 和 q 的关系，学习数学中的常用逻辑用语：充分条件与必要条件. “若 p ，则 q ”，“如果 p ，那么 q ” （其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论）． ． 中学数学中的许多命题可以写成什么形式呢？ (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3) 若x2 -4x+3=0，则x=1； (4) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线 l，则a∥b． 探索新知 思考：下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 真命题 假命题 真命题 假命题 一般地, “若𝑝, 则𝑞”为真命题, 是指由𝑝 通过推理可以得出𝑞.  这时，我们就说，由p可以推出q，记作：                     𝑝⇒𝑞 并且说,𝑝 是𝑞 的充分条件, 𝑞 是𝑝 的必要条件①. 1.充分条件与必要条件 新知生成 ①此时，如果q不成立，则p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的. 新知生成 如果“若 𝑝, 则 𝑞”为假命题, 那么由条件𝑝不能推出条件𝑞,  记作𝑝⇒ ̸𝑞.  此时,我们就说𝑝不是𝑞的充分条件, 𝑞不是𝑝的必要条件． 探索新知 上述命题（1）、（4）中的 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．而命题（2）、（3）中的 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。． 根据对命题(1)、 (2) 、(3) 、(4)真假命题的判断，你能否说明哪些命题中的的 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件？ 例1：下列“若 𝒑 ,则 𝒒 ”形式的命题中，哪些命题中的 𝒑 是 𝒒 的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若𝑥2=1，则𝑥=1； (5)若𝑎=𝑏，则𝑎𝑐=𝑏𝑐； (6)若𝑥，𝑦为无理数，则𝑥𝑦为无理数. 新知应用 新知应用 解：(1)这是一条平行四边形的判定定理,𝒑⇒𝒒,所以𝒑是𝒒的充分条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理,𝒑⇒𝒒,所以𝒑是𝒒的充分条件. (3)这是一条菱形的性质定理,𝒑⇒𝒒,所以𝒑是𝒒的充分条件. 新知应用 (4)由于(−𝟏)𝟐=𝟏，但−𝟏≠𝟏，𝒑⇏𝒒，所以𝒑不是𝒒的充分条件. (5)由等式的性质知，𝒑⇒𝒒，所以𝒑是𝒒的充分条件. (6)为无理数,但× =𝟐为有理数，𝒑⇏𝒒，所以𝒑不是𝒒的充分条件. 举反例是判断一个命题是假命题的重要方法 探索新知 思考：例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，请说出几个不同的充分条件？ 一般来说，对给定结论，使其成立的条件p是不唯一的。 我们说𝒑是𝒒的充分条件，是指条件𝒑可以推出结论𝒒，但这并不意味着只能由这个条件𝒑才能推出结论𝒒. 探索新知 ①若四边形的两组对边分别相等； ②若四边形的一组对边平行且相等； ③若四边形的两条对角线互相平分； 其他不同充分条件： 可以发现，平行四边形的判定定理都分别给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 探索新知 类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 例2：下列“若 𝒑 ,则 𝒒 ”形式的命题中，哪些命题中的 q是 p 的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； (4)若𝑥=1，则𝑥2=1 ； (5)若𝑎𝑐=𝑏𝑐，则𝑎=𝑏； (6)若𝑥𝑦为无理数，则𝑥，𝑦为无理数. 新知应用 新知应用 解：(1)这是一条平行四边形的性质定理,𝒑⇒𝒒,所以𝒒是𝒑的必要条件. (2)这是三角形相似的一条性质定理,𝒑⇒𝒒,所以𝒒是𝒑的必要条件. (3)如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，𝒑⇏𝒒，所以𝒒不是𝒑必要条件. 新知应用 (4)由于(𝟏)𝟐=𝟏，𝒑⇒𝒒，所以𝒒是𝒑的必要条件. (5)由于（-1）×0= 1×0 ，但-11，𝒑⇏𝒒，所以𝒒不是𝒑必要条件. (6)由于× = 为无理数，但1， 全是无理数𝒑⇏𝒒，所以𝒒不是𝒑必要条件. 17 探索新知 思考：例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，请说出几个其他的必要条件？ 一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的。 我们说𝒒是𝒑必要条件，是指以𝒑为条件可以推出结论𝒒，但这并不意味着这个条件𝒑只能推出结论𝒒. 探索新知 ①这个四边形的两组对边分别相等； ②这个四边形的一组对边平行且相等； ③这个四边形的两条对角线互相平分； 其他不同必要条件： 可以发现，可以发现，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件. 若四边形是平行四边形. 探索新知 类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件，例如“同位角相等”是“两条直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 例3：下列“若 𝒑 ,则 𝒒 ”形式的命题中，哪些命题中的 𝒑 是 𝒒 的充分不必要条件？ (1)若x>|y|，则x>y； (2)若x>3,则x>4; (3)若x>3则x>0. 新知应用 解q充分条件，q是q不必要条件，所以p是q充分不必要条件; (2）中q不充分条件，q是q必要条件，所以p是q必要不充分条件. 分清什么是p，什么是q,结合小范围推出大范围求解 例4.已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的解集为 . 新知应用 解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集， 所以m>0，1－m<－2，1＋m≥10联立或1－m≤－2，m>0，1＋m>10联立，解得{m|m≥9} {m|m≥9} 课堂小结 命题真假 “若p，则q”为真 “若p，则q”为假 推理关系 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 P不是q的充分条件 q不是p的必要条件 p有充分的理由使q成立，q不成立则p必然不成立. q的充分条件不唯一，p的必要条件也不唯一. 随堂检测 1. 判断下列语句是否是命题? (1) x>1; (2) 高中学生成绩; (3) 6是质数吗？ （4）若x>4,则x>3; (5)x=0是x2-2x=0的一个解 （6）0<7 是 是 不是 不是 不是 是 随堂检测 2.下列“若 𝑝, 则𝑞 ”形式的命题中, 判断下列命题中的𝑝是不是𝑞的充分条件? (1) 若平面内点𝑃在线段𝐴𝐵的垂直平分线上,则𝑃𝐴=𝑃𝐵; (2) 若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,  则这两个三角形全等; (3) 若两个三角形相似, 则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.  是 是 不是 随堂检测 3. 下列“若 𝑝, 则𝑞 ”形式的命题中, 哪些命题中的𝑞 是𝑝 的必要条件? (1) 若直线𝑙与⊙𝑂有且仅有一个交点, 则𝑙 为⊙𝑂 的一条切线; (2) 若𝑥是无理数,则𝑥2也是无理数. (3)若x<4,则x<0 𝒒是𝒑的必要条件 𝒒不是𝒑的必要条件 𝒒不是𝒑的必要条件 随堂检测 4. 如图,直线𝑎 与𝑏 被直线𝑙 所截,分别得到∠1, ∠2, ∠3 和∠4. 请根据这些信息,写出几个“𝑎//𝑏”的充分条件和必要条件. 解： “𝑎//𝑏”的充分条件：“∠1= ∠2”或“∠1= ∠4”或“∠1+ ∠3=180。” “𝑎//𝑏”的必要条件：“∠1= ∠2”或“∠1= ∠4”或“∠1+ ∠3=180。” 作业布置 1.完成课本习题1.4第1，2题 2.完成课时练1.4第1课时 谢谢观看 $$