专题2.3 确定圆的条件（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.3 确定圆的条件 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：确定圆的条件 1 知识点梳理02：作图法画圆 2 知识点梳理03：外接圆与外心的概念与性质 2 知识点梳理04：三角形外接圆的作法 2 知识点梳理05：不同三角形的外心位置 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断确定圆的条件 3 考点2：确定圆心(尺规作图） 3 考点3：求能确定的圆的个数 4 考点4：画圆（尺规作图） 5 考点5：三角形外接圆的概念辨析 6 考点6：求三角形外心坐标 6 考点7：求特殊三角形外接圆的半径 7 考点8：已知外心的位置判断三角形的形状 8 考点9：判断三角形外接圆的圆心位置 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 17 知识点梳理01：确定圆的条件 条件 作圆的个数 图例 经过一个点作圆 无数个 经过两个点作圆 无数个 经过不在同一条直线上的三个点作圆 一个 知识点梳理02：作图法画圆 如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。 ∵OD垂直平分AB，OF垂直平分 ∴OA=OB，OA=OC ∴OB=OC ∴点O在BC的垂直平分线上 因此，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点梳理03：外接圆与外心的概念与性质 如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心的性质： （1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等； （2）三角形的外接圆有且只有一个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，且这些三角形的外心重合。 知识点梳理04：三角形外接圆的作法 已知三角形ABC 作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O； （2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。 知识点梳理05：不同三角形的外心位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 位置 外心在三角形的内部 外心在直角三角形斜边的中点 外心在三角形的外部 考点1：判断确定圆的条件 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏·阶段练习）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    考点2：确定圆心(尺规作图） 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【变式训练】（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 考点3：求能确定的圆的个数 【典例精讲】（2022九年级下·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【变式训练】请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的 个格点． 考点4：画圆（尺规作图） 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，再作，使得圆心在边上，且过点、点（请保留图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【变式训练】（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为． (1)尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边相切；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的半径． 考点5：三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，和都是等边三角形，连接，．若，且，则的面积最大值为 ． 考点6：求三角形外心坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上 考点7：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习） 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．    (1)画出将 关于原点O的中心对称图形 ； (2)将绕点E逆时针旋转 得到 ，画出； (3)若点是 外接圆的圆心，点与的位置关系为 ，面积是 ． 考点8：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 考点9：判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为_________，的半径为_________； (2)的外接圆与轴的另一个交点坐标是________． (3)中所对的圆周角是________度，的长度________． 【变式训练】（24-25九年级上·广东珠海·期末）的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)在图中以点B为旋转中心，作绕点B逆时针旋转后得到的； (2)直接写出线段与的位置关系：______； (3)图中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 2．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．    (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 4．（2021·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连结MA、MB，使． （2）在图②中，连结MA、MB、MC，使． （3）在图③中，连结MA、MC，使． 5．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列事件为必然事件的是（ ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是 B．三点确定一个圆 C．画一个三角形，其内角和是 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 3．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个网格图，每个小正方形的边长都是1，则的外接圆半径为 ． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为 ． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段绕着点O顺时针方向旋转，得到线段． (1)在网格中画出线段； (2)直接写出的外接圆的直径的长． 8．（2025·广西南宁·一模）综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． (1)【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (3)【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 10．（2024·河南商丘·一模）如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补． 作法：①作边的垂直平分线； ②作边的垂直平分线，直线，交于点； ③以为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，连接．    (1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）． (2)求证：即为所求作的三角形． 培优拔高 11．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应B点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 14．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为． （）的值为 ． （）若一次函数的图象与轴交于点，点的坐标为，若点是的外心，则点的坐标为 ． 16．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，的直径为10，则 ．（如需画草图，请使用图2） 18．（2025·福建福州·二模）已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． (1)如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 19．（2025·安徽合肥·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的；（，，的对应点分别为，，） (2)以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出；（，，的对应点分别为，，） (3)直接写出的外心坐标． 20．（2025·陕西咸阳·三模）【问题情境】 （1）如图，三角形外接圆圆心为．若，圆半径为4．求三角形面积的最大值； 【问题解决】 （2）如图，在四边形中设计一个三角形花园，点在边上，修建四条笔直小路，，，．满足．经测量，，米，，．当三角形花园的面积取最小值时，求道路的长度． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 确定圆的条件 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：确定圆的条件 1 知识点梳理02：作图法画圆 2 知识点梳理03：外接圆与外心的概念与性质 2 知识点梳理04：三角形外接圆的作法 2 知识点梳理05：不同三角形的外心位置 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断确定圆的条件 3 考点2：确定圆心(尺规作图） 4 考点3：求能确定的圆的个数 7 考点4：画圆（尺规作图） 8 考点5：三角形外接圆的概念辨析 11 考点6：求三角形外心坐标 14 考点7：求特殊三角形外接圆的半径 17 考点8：已知外心的位置判断三角形的形状 20 考点9：判断三角形外接圆的圆心位置 22 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 31 基础夯实 31 培优拔高 40 知识点梳理01：确定圆的条件 条件 作圆的个数 图例 经过一个点作圆 无数个 经过两个点作圆 无数个 经过不在同一条直线上的三个点作圆 一个 知识点梳理02：作图法画圆 如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。 ∵OD垂直平分AB，OF垂直平分 ∴OA=OB，OA=OC ∴OB=OC ∴点O在BC的垂直平分线上 因此，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点梳理03：外接圆与外心的概念与性质 如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心的性质： （1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等； （2）三角形的外接圆有且只有一个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，且这些三角形的外心重合。 知识点梳理04：三角形外接圆的作法 已知三角形ABC 作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O； （2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。 知识点梳理05：不同三角形的外心位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 位置 外心在三角形的内部 外心在直角三角形斜边的中点 外心在三角形的外部 考点1：判断确定圆的条件 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏·阶段练习）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件、弦的定义，三角形外形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义，三角形外形的性质一一判断即可． 【规范解答】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意； ②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意； ③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误，符合题意； ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故⑤错误，符合题意； 故不正确的有①②③⑤， 故选：D． 【变式训练】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【答案】见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明． 【规范解答】证明：连接，      ∵， ∴， 又， ， ， 取的中点O，连接， ∴， ∴点在同一个圆上． 考点2：确定圆心(尺规作图） 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、的垂直平分线，其交点即为点，进而求得圆的半径，从而求得原点到上一点的最短距离． 【规范解答】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ， 点， ， 则原点到上一点的最短距离为：， 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)此残片所在圆的半径为10． 【思路引导】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【规范解答】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）解：连接，    设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 考点3：求能确定的圆的个数 【典例精讲】（2022九年级下·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【思路引导】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【规范解答】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【考点评析】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 【变式训练】请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的 个格点． 【答案】16 【思路引导】以一个小正方形的中心为圆心．记圆心坐标为（0.5，0.5），取半径为，画图即可解答. 【规范解答】解：以一个小正方形的中心为圆心．记圆心坐标为（0.5，0.5），取半径为，此圆经过（6，2），（5，4），（4，5），（2，6），（﹣1，6），（﹣3，5），（﹣4，4），（﹣5，2），（﹣5，﹣1），（﹣4，﹣3），（﹣3，﹣4），（﹣1，5），（2，﹣5），（4，﹣4），（5，﹣3），（6，﹣1），共16个格点． 故答案为16 【考点评析】本题考查圆的半径，并且在解答是要注意半径与数轴的关系. 考点4：画圆（尺规作图） 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，再作，使得圆心在边上，且过点、点（请保留图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了圆的基本性质，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线交于O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则点D和即为所求； （2）连接，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，则，由等边对等角得到，则，则，据此可得，即的半径为． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵，平分， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【变式训练】（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为． (1)尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边相切；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的半径． 【答案】(1)图见解析 (2)的半径为 【思路引导】（1）先做出的垂直平分线，交于F点，交于E点，连接，再作出的垂直平分线交于O点，O点即为圆心，以O点为圆心，长为半径画圆即可． （2）根据题意首先得出四边形是矩形，进而利用勾股定理得出答案． 此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和矩形的判定与性质等知识，正确应用勾股定理是解题关键． 【规范解答】（1）解：如图，为所作； ∵为的弦，垂直平分， ∴必过圆心， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴E点是切点， ∴是的弦， ∴、的垂直平分线的交点就是圆心，长就是半径， 因此即为所求； （2）解： ∵四边形是正方形， ，， ∵垂直平分， ，且， 四边形为矩形， 设的半径为r， 则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为 考点5：三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【思路引导】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （）连接，由等腰三角形的性质得，即由勾股定理得，设的半径为，则，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接， ∵，， ∴，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴外接圆的半径为． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，和都是等边三角形，连接，．若，且，则的面积最大值为 ． 【答案】 【思路引导】连接，连接交于点G，由和是等边三角形得，，，根据全等三角形判定证得，得到，，进而计算出，再根据全等三角形判定证得，得到，当经过等边三角形的外心时，的值最大，即此时的面积最大，此时是的垂直平分线，设，得，再根据勾股定理列出方程，再代入三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图，连接，连接交于点G， 和都是等边三角形， ∴，，，， ∵， ， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴当经过等边三角形的外心时，的值最大，即此时的面积最大， ∴此时是的垂直平分线， ，， ∵， ∴， ∵，， ∴在中 ， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，得， ∴， ∴面积的最大值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形外心的性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外心的性质，灵活运用角度的计算，并找到边长最长的情形是解题关键． 考点6：求三角形外心坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)； (2)见详解 【思路引导】本题考查的是画三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）根据外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，以及运用网格特征作图，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，取格点记为，连接，与弧的交点为，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，外心的定义：三边的垂直平分线的交点， 故的外心在和的垂直平分线的交点上， 如图所示： ∴的外心的坐标为， 则的外接圆半径长为； 故答案为：， （2）解：依题意，的中点如图所示． 【变式训练】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可． 【规范解答】解：如图，连接，作的垂直平分线，垂足分别为，相交于点， 则点为圆弧所在圆的圆心， , ， ， 故选项B正确， 连接， ， 这条圆弧所在圆的半径为， 故选项A正确， 连接， ， 点在这条圆弧所在圆上， 故选项C正确， ， ， ， 点在这条圆弧所在圆外， 故选项D错误， 故选： D． 考点7：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，在中，利用勾股定理可得，然后利用三角形的中位线定理可得：，，，从而利用平行线的性质可得，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【规范解答】如图： ∵，，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点D，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴外接圆半径， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习） 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．    (1)画出将 关于原点O的中心对称图形 ； (2)将绕点E逆时针旋转 得到 ，画出； (3)若点是 外接圆的圆心，点与的位置关系为 ，面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)在内， 【思路引导】本题主要考查了中心对称作图，画旋转图形，三角形的外接圆，点与圆的位置关系，坐标与图形，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）先计算的长，进而得出是直角三角形，则点为斜边的中点，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求；    （3）解：如图所示，    ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点是 外接圆的圆心， ∴点是的中点，则外接圆的半径为， ∴面积是， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在内， 故答案为：在内，． 考点8：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【规范解答】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 考点9：判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为_________，的半径为_________； (2)的外接圆与轴的另一个交点坐标是________． (3)中所对的圆周角是________度，的长度________． 【答案】(1)； (2) (3)， 【思路引导】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，勾股定理，勾股定理的逆定理，求弧的度数等知识点，熟知三角形外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． （1）根据圆心是线段、的垂直平分线的交点，结合网格的特点画出点的位置，进而得到点的坐标，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设的外接圆与轴的另一个交点为，根据点在线段的垂直平分线上，求出点的坐标即可； （3）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后利用弧长的度数即可求出圆周角的度数； 【规范解答】（1）解：如图所示，点的位置即为圆心位置， 圆心的坐标为， ， 圆的半径为， 故答案为：，． （2）解：设的外接圆与轴的另一个交点为， 点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为， 点的坐标为， 的外接圆与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． （3）解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的度数为，所对的圆周角是， 故答案为： ，． 【变式训练】（24-25九年级上·广东珠海·期末）的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)在图中以点B为旋转中心，作绕点B逆时针旋转后得到的； (2)直接写出线段与的位置关系：______； (3)图中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查作图轴对称变换，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据旋转的性质即可在图1中以点为旋转中心，作绕点逆时针旋转后得到的； （2）结合（1）根据网格即可得线段与的位置关系； （3）作，的垂直平分线，两条线交于一点，即可得的外心． 【规范解答】（1）解：如图1，即为所求； （2）解：根据作图可知：； 故答案为：； （3）解：如图2，点即为所求． 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 【答案】B 【思路引导】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【规范解答】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：B． 【考点评析】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键． 2．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【思路引导】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【规范解答】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【考点评析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．    (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得． 【规范解答】（1）解：（1）如图：    （2）． 理由：连接DF，EG如图所示    则BD=BF=DF，BE=BG=EG 即和均为等边三角形 ∴ ∵ ∴ 【考点评析】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键． 4．（2021·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连结MA、MB，使． （2）在图②中，连结MA、MB、MC，使． （3）在图③中，连结MA、MC，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得点M的位置； （2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得 ，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置； （3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得，由此即可确定点M的位置． 【规范解答】（1）如图①所示，点M即为所求． （2）如图②所示，点M即为所求． （3）如图③所示，点M即为所求． 【考点评析】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键． 5．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【规范解答】，AD是的平分线 ，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是BC的垂直平分线 是AC的垂直平分线 点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径 外接圆的面积为 故选：D． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形外心的定义，根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可，也是解题关键． 【规范解答】解：作线段和线段的垂直平分线，如图， 由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点， ∴点F是 的外心． 故选C． 2．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列事件为必然事件的是（ ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是 B．三点确定一个圆 C．画一个三角形，其内角和是 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【答案】D 【思路引导】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：∵“掷一次骰子，向上一面的点数是”，有可能是，有可能不是， ∴项属于随机事件， 故不符合题意； ∵“三点确定一个圆”，有可能确定圆，有可能不确定圆， ∴项属于随机事件， ∴故不符合题意； ∵“画一个三角形，其内角和是”，三角形的内角和是， ∴项是不可能事件， ∴故不符合题意； ∵“口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球”，是必然发生的事件， ∴项是必然事件， ∴故符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，三角形内角和定理，确定圆的条件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【规范解答】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个网格图，每个小正方形的边长都是1，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，三角形外接圆等知识，先根据网格图及勾股定理得出，，，再根据得出，即可得线段是的外接圆的直径，进而可得答案． 【规范解答】解：由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴线段是的外接圆的直径， ∴的外接圆半径为， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果． 【规范解答】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【规范解答】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段绕着点O顺时针方向旋转，得到线段． (1)在网格中画出线段； (2)直接写出的外接圆的直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了旋转作图，勾股定理和网格问题，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）先根据旋转作出点、的位置，然后连接即可； （2）根据旋转，判断得出为等腰直角三角形，求出即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； 1 （2）解：根据旋转可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴的外接圆的直径是线段， ∵． ∴的外接圆的直径的长为． 8．（2025·广西南宁·一模）综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． (1)【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (3)【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【思路引导】（1）以为顶点，以为一边，用三角板作是直角，的另一边与圆交于，连接，，，的交点即是圆心； （2）方法同（1）； （3）连接，，作，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心即可得到结论． 本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若圆周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用． 【规范解答】（1）解：如图圆心即为所求： （2）解：如图： 即为所求作的圆心； （3）解：拓展探究： 如图： 即为所求作的圆心， 理由：连接，，， ，的垂直平分线交于， ，， ， 点是点，，三点所在的圆心． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 10．（2024·河南商丘·一模）如图，已知，求作：以为一边作，且满足与互补． 作法：①作边的垂直平分线； ②作边的垂直平分线，直线，交于点； ③以为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，连接．    (1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）． (2)求证：即为所求作的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据题意画出的垂直平分线，交于点，以为圆心，长为半径作，连接并延长，交于点，连接即可求解； （2）根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，即可得证． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）证明：∵是的直径， ∴是直角， ∴是直角三角形， ∵是的内接四边形， ∴， ∴即为所求作三角形． 培优拔高 11．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【规范解答】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应B点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 【答案】A 【思路引导】连接，根据旋转的性质得到，，，推出，是等腰直角三角形，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【考点评析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键． 找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可． 【规范解答】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点， 由图可得点坐标为， 故答案为：； 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为． （）的值为 ． （）若一次函数的图象与轴交于点，点的坐标为，若点是的外心，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】（）利用待定系数法求出的值即可求解； （）利用一次函数解析式求出点坐标，由外心的性质得，设点坐标为， 根据两点间距离公式列出方程组即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的外心，两点间距离公式，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：（）把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， 设点坐标为， ∵点是的外心， ∴， ∴， 化简得，， 解得， ∴点的坐标为． 16．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【思路引导】此题重点考查三角形的外接圆的定义、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键．设中，，，，则，根据题意可知当为直径时，直径最短． 【规范解答】解：如图，，，， 由勾股定理得， ∵圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 则这个圆形纸片的最小直径为， 故答案为：13． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，的直径为10，则 ．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)8 【思路引导】（1）利用尺规作出的角平分线，作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可． （2）连接，设射线交于E．利用勾股定理求出，，再利用勾股定理求出，可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，射线，即为所求． （2）解：连接，设射线交于E． ∵，平分，， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【考点评析】本题考查作图-复杂作图，作角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题． 18．（2025·福建福州·二模）已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． (1)如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（）连接，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长度为半径画圆即可； （）连接，利用圆周角定理和矩形的性质可证，可得，又由平行线的性质得，即得，进而即可求证． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了作线段的垂直平分线，圆周角定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 19．（2025·安徽合肥·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的；（，，的对应点分别为，，） (2)以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出；（，，的对应点分别为，，） (3)直接写出的外心坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】本题考查了在平面直角坐标系内画轴对称图形，在平面直角坐标系内画旋转后的图形，勾股定理，作已知线段的垂直平分线等知识点，解题的关键是根据轴对称图形、旋转对称的意义找出对应点． （1）分别作出关于轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到三个顶点对应点，，，再顺次连结得到； （3）根据三角形的外心的意义，找出与的垂直平分线交点，再写出其坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）如图，分别作，的垂直平分线，，直线与交点为的外心， ∴的外心的坐标为． 20．（2025·陕西咸阳·三模）【问题情境】 （1）如图，三角形外接圆圆心为．若，圆半径为4．求三角形面积的最大值； 【问题解决】 （2）如图，在四边形中设计一个三角形花园，点在边上，修建四条笔直小路，，，．满足．经测量，，米，，．当三角形花园的面积取最小值时，求道路的长度． 【答案】（1）；（2）30米． 【思路引导】（1）当延长线交于中点且在优弧上时，最大，利用勾股定理求出，再求的最大值； （2）先说明当最小时，面积最小，再最小值，然后含有30度角的直角三角形的性质求出当三角形花园的面积取最小值时道路的长度． 【规范解答】解：（1）已知外接圆半径，． 设到的距离为， 当延长线交于中点且在优弧上时，最大， 此时． ∵，， ∴的最大值为； （2）由题意，在以为直径的半圆上，设点为圆心， 如图，连接，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴当最小时，面积最小． ∵， ∴， ∴当，，三点在一条直线上时，取得最小值， 此时， ∵米，， ∴是等边三角形， ∴米 ∴米，米， ，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴的最小值为米． ∴面积的最小值为：平方米， 此时点为半圆弧的中点， ∴， 又， ∴， 又是的中点， ∴即 ∴是的中位线， ∴米． 【考点评析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外接圆，勾股定理，求三角形的面积等知识点，解题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$