2.2圆的对称性（2）导学案2024—2025学年苏科版数学九年级上册

九年级数学导学案 课题： 2.2圆的对称性（2）命题人： 审核人： 班级： 姓 名： 学 号： 【学习目标】 1.利用圆的轴对称性探究垂径定理、并能够证明垂径定理． 2.利用垂径定理进行有关的计算与证明，并能够规范书写说理过程． 3.能运用圆的轴对称性（垂径定理）解决平行弦及其相关的实际问题，提高推理能力及概括问题的能力. 【学习重点】利用垂径定理进行有关的计算与证明． 【学习难点】探究、证明垂径定理. 【情境创设】 利用圆形纸片研究圆的轴对称性 【探索活动】 活动：探索垂径定理 · 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 几何语言：∵ CD是⊙O的直径,CD⊥AB ∴ BC=AC，AD=BD, PA=PB. 注意：①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． ③知2可推3 【例题分析】 例1、如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长．E . A B D O C E . A B D O C E . A B D O C E . A B D O C . A B D O C 练习：（1）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D， 且AB=8，OC=5，则CD的长为 ． （2）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D， 且AB=8cm，DC=2 cm，则⊙O的半径长为 ． 例2、⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是AB上的一个动点，求OP的取值范围． · A B O · P 变式：使OP长为整数的点P有几个？ 练习：已知⊙O的半径为5cm，P为⊙O内一点，且OP=3，则在过点P的 所有⊙O的弦中，最长的弦长为 ，最短的弦长为 ， 则过点P的弦长的取值范围 ，在这些弦中， 弦长为整数的条数为 . 例3、以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D． （1）AC与BD相等吗？为什么？ （2）若AB=8cm，CD=4cm，大圆的半径为5cm，求小圆的半径． （3）若两圆的半径分别为15cm、13cm，AC长为4cm，求AB与CD的长度． · A B C D O 例4、如图，AB、CD是⊙O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？ B A D C O 思考：若AB、CD在圆心O的同侧呢？ 练习：（1）已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，则弦AB与CD的距离为 ． （2）四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，且AB∥CD，⊙O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm， 则四边形ABCD的面积为 ． 【拓展延伸】 例5、一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： ⑴桥拱半径. ⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？ 课堂检测： 1.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米． （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 课后作业 1．AB为⊙O的直径，由圆上一点C作CD⊥AB，垂足为D，延长CD到点E，使DE=CD，那么点E( ) A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．与⊙O的位置不能确定 2．如图，MN是⊙O的直径，弦AB⊥MN，垂足为C，下列结论中，错误的是 ( ) A．AM=BM B．AN=BN C．AC=BC D．OC=CM· A E D O B C 第5题 · A C O B 第6题 M 第2题 C A O B N 3．下列命题中正确的是（填序号） . （1）在同圆中，互相垂直的两弦不能互相平分； （2）经过圆心的直线平分弦； （3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且分弦所对的两条弧. 4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB= cm. 5．如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E.若DE=2cm，CD=8cm，则AB= cm． 6．如图，⊙O的半径OC=6cm，AB过OC中点，OC⊥AB，则AB= cm． 7．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一个点P（0，-3），那么经过点P的所有弦中最短的弦的长为 ． 8．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为 cm. 9．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何.”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E， CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD长为 . 第9题图 第7题图 10．如图，⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为D，OD=4，AD=1．求BC和AB的长． O B D C A 11.如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？ 12.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且四边形OEPF是正方形，⊙O的半径为5cm，OP=cm．求AB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$