第15章 轴对称 单元提优卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第15章 轴对称 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点，下列热门语言模型的标识中，其文字上方的图形是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.若等腰三角形的一边是，另一边是，则此等腰三角形的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 无法确定 4.如图，若将三个顶点的横坐标都乘以，纵坐标不变，则画出坐标变化后的三角形与原三角形的位置关系是(    ) A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 将原图形沿轴的负方向平移了个单位长度 D. 将原图形沿轴的负方向平移了个单位长度 5.如图，在中，，以，为边在的外侧作等边三角形和等边三角形，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，是底边长为、面积为的等腰三角形，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，和均是等边三角形，、、三点共线，与相交于点，与分别与，交于点，则下列结论：≌；；；；，其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为． A. B. C. D. 10.如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，与关于直线对称，已知，，则的长度为______． 12.如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为           ． 13.如图，是的边的垂直平分线，垂足为，与交于点，连接若，，则          ． 14.如图，已知平面内不共线的三点，，，操作如下： 连接，以点为圆心，为半径作弧； 连接，以点为圆心，为半径作弧，两弧相交于点； 连接，且过点，作直线，则点，一定在线段的垂直平分线上． 依据是          ． 15.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接若，，则的周长为          ． 16.在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴对称的点的坐标为          ． 17.如图，在中，，于点，，是斜边的中点，连接，则的度数为______ 18.如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”在锐角三角形中，于点，若、、都是“斜等边三角形”，则 ______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题． 画出关于直线对称的与，与，与相对应； 求的面积； 在直线上画出点，使的值最小． 20.本小题分 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和，连接． 若，求的度数； 若，的周长为，求的周长． 21.本小题分 如图，是等边的角平分线，，则          ，           如图，是等边三角形，为边上的中线，，求的度数． 22.本小题分 如图，在中，，． 尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点； 连接，作的平分线交于点；保留作图痕迹，不写作法 在所作的图中，求的度数． 23.本小题分 如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且． 求证：是等边三角形； ． 24.本小题分 如图，将长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在点处，为折痕． 求证：； 若，，求四边形阴影部分的面积． 25.本小题分 如图，在中，，的平分线交边于点，过作的平行线交于点，将沿折叠得到，交边于点． 求证：； 当时，试判断与的大小关系，并说明理由； 如图，过点作线段的垂线，垂足为若，求的长． 26.本小题分 如图，是等边三角形，点从点出发沿着射线移动，延长线上的点从点出发沿着射线移动，点，同时出发并且移动速度相同，连接，． 如图，当点移动到线段的中点处时，与的数量关系是          ； 如图，当点在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论；提示：过点作交于 如图，当点移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 轴对称 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点，下列热门语言模型的标识中，其文字上方的图形是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形是轴对称图形，符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题关键． 2.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， 是的垂直平分线， ， ， 故选：． 连接，根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质求出，进而求出． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 3.若等腰三角形的一边是，另一边是，则此等腰三角形的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B  【解析】解：，， 此等腰三角形的腰长不能是，是， 等腰三角形的周长是． 故选：． 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，等腰三角形的两腰相等，由此即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理判断等腰三角形的腰长是． 4.如图，若将三个顶点的横坐标都乘以，纵坐标不变，则画出坐标变化后的三角形与原三角形的位置关系是(    ) A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 将原图形沿轴的负方向平移了个单位长度 D. 将原图形沿轴的负方向平移了个单位长度 【答案】B  【解析】略 5.如图，在中，，以，为边在的外侧作等边三角形和等边三角形，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 6.如图，在平面直角坐标系中，是底边长为、面积为的等腰三角形，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：是的垂直平分线与边的交点， ， ， 将的面积平分， ， ， 故选：． 根据线段垂直平分线的性质求出，由线段的和差求出，根据将的面积平分求出，根据线段的和差即可求解． 本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8.如图，和均是等边三角形，、、三点共线，与相交于点，与分别与，交于点，则下列结论：≌；；；；，其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】解：和均是等边三角形， ，，， ， ≌， 故符合题意； ， ， 故符合题意； ≌， ， ， ， ， ≌， ，， 故符合题意； ，， 是等边三角形， ， 故符合题意． 其中正确的结论有个． 故选：． 由等边三角形的性质推出≌，由，推出，判定≌，得到，，判定是等边三角形，得到． 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质，平行线的判定，关键是判定≌、≌、是等边三角形． 9.如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ≌， ． 在和中， ， ≌， ， ， ， 的周长， 故选：． 连接，根据是的垂直平分线，可得，根据是的平分线，，，可得，然后证明≌，可得证明≌，可得，进而可以解决问题． 本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． 10.如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于此时，的周长最小． 连接，，，． 点与点关于对称， 垂直平分， ，，， 同理，可得，，． ． 又的周长， ， 是等边三角形， ， ． 故选：． 设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在射线上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出的度数． 此题主要考查了最短路径问题，本题找到点和的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，与关于直线对称，已知，，则的长度为______． 【答案】  【解析】解：与关于直线对称， ， 故答案为：． 根据轴对称图形的性质即可求解． 本题考查了轴对称的性质，熟知掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 12.如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为           ． 【答案】  【解析】略 13.如图，是的边的垂直平分线，垂足为，与交于点，连接若，，则          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，已知平面内不共线的三点，，，操作如下： 连接，以点为圆心，为半径作弧； 连接，以点为圆心，为半径作弧，两弧相交于点； 连接，且过点，作直线，则点，一定在线段的垂直平分线上． 依据是          ． 【答案】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上  【解析】略 15.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接若，，则的周长为          ． 【答案】  【解析】略 16.在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴对称的点的坐标为          ． 【答案】  【解析】略 17.如图，在中，，于点，，是斜边的中点，连接，则的度数为______ 【答案】  【解析】解：由条件可知，， ，， ，， ， ， 由条件可知， ， ． 故答案为：． 根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键． 18.如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”在锐角三角形中，于点，若、、都是“斜等边三角形”，则 ______． 【答案】  【解析】解：是“斜等边三角形”，， ， ，即， ， ， 解得，； ， 解得，； ， ， 解得，； ， 解得，； 是“斜等边三角形”， ， ， 解得：，； ， 解得，； ，即， ， ， 解得，； ， 解得，； 当成立时，，，，， ， 三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意； 当成立时，，，，， ， ， 是“斜等边三角形”，符合题意； 同理得：符合题意的只有， 故答案为：． 根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可． 本题主要考查等边三角形的性质，理解题意，进行分情况分析是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题． 画出关于直线对称的与，与，与相对应； 求的面积； 在直线上画出点，使的值最小． 【答案】(1)如图，即为所求． ​​​​​​​  (2)的面积为 ．   (3)如图，连接交直线l于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求．   【解析】  本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 根据轴对称的性质作图即可；   利用割补法求三角形的面积即可；   连接交直线于点，则点即为所求． 20.本小题分 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和，连接． 若，求的度数； 若，的周长为，求的周长． 【答案】；   ．  【解析】由作法得垂直平分， ， ， ， ； 垂直平分， ，， 的周长为， ， ， ， 的周长． 利用基本作图得到垂直平分，则，然后利用互余计算出的度数； 先根据线段垂直平分线的性质得到，，再计算出，然后利用等线段代换得到的周长． 本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 21.本小题分 如图，是等边的角平分线，，则          ，           如图，是等边三角形，为边上的中线，，求的度数． 【答案】(1)5 ;30  (2)∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴AD平∠BAC，∠BAC=60°．∴．∵AD=AE，∴．∴∠ADE的度数是75°．  【解析】 略  略 22.本小题分 如图，在中，，． 尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点； 连接，作的平分线交于点；保留作图痕迹，不写作法 在所作的图中，求的度数． 【答案】见解析；  ．  【解析】图形如图所示； ，， ， 垂直平分线段， ， ， ， 平分， ， ． 利用尺规根据要求作出图形即可； 求出，，再利用三角形的外角的性质求解． 本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23.本小题分 如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且． 求证：是等边三角形； ． 【答案】见解答；   见解答．  【解析】证明：，， ， ， 是等边三角形； 是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ≌， ． 由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； 由是等边三角形，得出，，由证明≌，得出． 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 24.本小题分 如图，将长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在点处，为折痕． 求证：； 若，，求四边形阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC．∠D=∠B=∠DCB=90°．根据折叠的性质得：GC=AD，∠G=∠D=∠GCE=90°，∴GC=BC，∠G=∠B．∵∠GCF+∠ECF=90°，∠BCE+∠ECF=90°，∴∠GCF=∠BCE，∴△FGC△EBC（ASA）；  (2)解：由折叠性质得S四边形ECGF=S四边形EADF．∵△FGC△EBC；∴S△FGC=S△EBC，∴．∵AB=8，AD=4．∴S长方形ABCD=8×4=32．∴S四边形ECGF=16．  【解析】 略  略 25.本小题分 如图，在中，，的平分线交边于点，过作的平行线交于点，将沿折叠得到，交边于点． 求证：； 当时，试判断与的大小关系，并说明理由； 如图，过点作线段的垂线，垂足为若，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴；   (2)解：与的大小关系是：，理由如下： 在中，， ∴当时，是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴是的外角， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即；   (3)解：在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：，，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴．   【解析】  根据平分得，，根据得，，进而得，由此即可得出结论；   根据等腰直角三角形性质及角平分线定义得，根据得，，进而得，是等腰直角三角形，则，再根据折叠的性质及三角形内角和定理证明，继而得，由此得，据此即可得出与的大小关系；   在上截取，连接，设，，则，，，证明得，由此得，解得即可得出，然后根据即可得出答案． 26.本小题分 如图，是等边三角形，点从点出发沿着射线移动，延长线上的点从点出发沿着射线移动，点，同时出发并且移动速度相同，连接，． 如图，当点移动到线段的中点处时，与的数量关系是          ； 如图，当点在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论；提示：过点作交于 如图，当点移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 【答案】(1)DE=DC​​​​​​​/相等  (2)解：DE=DC．证明如下： ∵点D，E同时出发且移动速度相同， ∴AD=BE．作DF// AC交BC于F， 则∠BDF=∠A=60°，∠DFB=∠ACB=60°． ∴△DBF为等边三角形． ∴DB=DF=BF，∠DBF=∠DFB=60°． ∴FC=AD=BE，∠DBE=∠DFC． 在△DBE和△DFC中， ∴△DBE △DFC（SAS）．∴DE=DC；   (3)在BE上截取BH=BD，连接DH， ∵∠DBH=∠ABC=60°，∴△BDH为等边三角形． ∴DH=DB，∠BHD=60°．∴∠DHE=∠DBC=120°． ∵AD=BE，BH=BD，AB=BC，∴HE=BC． 在△DHE和△DBC中， ∴△DHE△DBC（SAS）．∴∠HED=∠BCD． ∵ED⊥DC，∴∠CDE=90°．∴∠DEC=∠DCE=45°．   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 8页 第 15 章 轴对称 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在��技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点，下列热门��语言模型的标识中，其文字上方的图 形是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.如图，在△ ���中，∠� = 90°，��的垂直平分线分别交��、��于点�、 �，若�� = 3，�� = 4，则��的长为( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3.若等腰三角形的一边是 9，另一边是 4，则此等腰三角形的周长是( ) A. −17 B. 22 C. 17 或 22 D.无法确定 4.如图，若将△ ���三个顶点的横坐标都乘以−1，纵坐标不变，则画出坐标变化后的三角形与原三角形的 位置关系是( ) A.关于�轴对称 B.关于�轴对称 C.将原图形沿�轴的负方向平移了 1 个单位长度 D.将原图形沿�轴的负方向平移了 1 个单位长度 5.如图，在△ ���中，�� = ��，以��，��为边在△ ���的外侧作等边三角形���和等边三角形���，且 ∠��� = 40°，则∠���的度数为( ) A. 75° B. 80° C. 70° D. 85° 6.如图，在平面直角坐标系中，△ ���是底边长为 4、面积为 8 的等腰三角形，则 点�的坐标为( ) A. (1,4) B. (2,4) C. (1,3) D. (2,3) 第 2页，共 8页 7.如图，在△ ���中，�是��的垂直平分线与��边的交点，�是��边上一 点，连接��，��，��将△ ���的面积平分.若�� = 3，�� = 8，则��的长 为( ) A. 2 B. 32 C. 1 D. 1 2 8.如图，△ ���和△ ���均是等边三角形，�、�、�三点共线，��与��相交于点�，��与��分别与��，�� 交于点�，�.则下列结论：① △ ���≌△ ���；②��//��；③�� = ��；④�� = ��；⑤∠��� = 60°， 其中正确的结论有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 5 个 9.如图，∠���的角平分线��与线段��的垂直平分线��交于点�，过点� 作�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，垂足交��的延长线于点�，交��于点�，若�� = 10 ��，�� = 12 ��，则△ ���的周长为(    ) ��． A. 32 B. 34 C. 22 D. 16 10.如图，已知∠��� = �，�是∠���内部的一点，且�� = 5，点�、�分别 是��、��上的动点，若△ ���周长的最小值等于 5，则∠�的值为( ) A. 45° B. 40° C. 30° D. 35° 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.如图，△ ���与△ ���关于直线�对称，已知�� = 4��，�� = 6��，则�� 的长度为______��． 12.如图，已知正方形的边长为 4 ��，则图中阴影部分的面积为 ��2． 第 3页，共 8页 13.如图，��是△ ���的边��的垂直平分线，垂足为�，与��交于点�，连接��.若�� = 9，�� = 4，则 �� = ． 14.如图，已知平面内不共线的三点�，�，�，操作如下： (1)连接��，以点�为圆心，��为半径作弧； (2)连接��，以点�为圆心，��为半径作弧，两弧相交于点�； (3)连接��，且过点�，�作直线，则点�，�一定在线段��的垂直平分线上． 依据是 ． 15.如图，在△ ���中，分别以点�和点�为圆心，大于12��的长为半径作弧，两弧相交于点�和点�，作直 线��交��于点�，连接��.若�� = 8，�� = 15，则△ ���的周长为 ． 16.在平面直角坐标系中，将点�( − 3, − 2)向右平移 5 个单位长度得到点�，则点�关于� 轴对称的点�′的坐标为 ． 17.如图，在�� △ ���中，∠��� = 90°，�� ⊥ ��于点�，∠��� = 3∠���，�是斜边��的 中点，连接��，则∠���的度数为______°. 18.如果三角形中任意两个内角∠�与∠�满足 2� − � = 60°，那么我们称这样的三 角形为“斜等边三角形”.在锐角三角形���中，�� ⊥ ��于点�，若△ ���、 △ ���、△ ���都是“斜等边三角形”，则∠��� = ______． 第 4页，共 8页 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，▵���的顶点均在格点上，请按要求完成下列问 题． (1)画出▵���关于直线�对称的▵���(�与�，�与�，�与�相对应)； (2)求▵���的面积； (3)在直线�上画出点�，使�� + ��的值最小． 20.(本小题 8 分) 如图，在△ ���中，分别以点�和点�为圆心，大于12��的长为半径作弧，两弧相交于点�，�，直线��与��， ��分别相交于点�和�，连接��． (1)若∠� = 25°，求∠���的度数； (2)若�� = 3��，△ ���的周长为 13��，求△ ���的周长． 第 5页，共 8页 21.(本小题 8 分) (1)如图，��是等边△ ���的角平分线，�� = 5，则�� = ，∠��� = °. (2)如图，△ ���是等边三角形，��为��边上的中线，�� = ��，求∠���的度数． 22.(本小题 8 分) 如图，在△ ���中，∠� = 30°，∠� = 40°． (1)尺规作图：①作边��的垂直平分线交��于点�，垂足为点�； ②连接��，作∠���的平分线交��于点�；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求∠���的度数． 第 6页，共 8页 23.(本小题 8 分) 如图，在△ ���中，�� = ��，∠��� = 120°，�� ⊥ ��，垂足为�，且�� = ��，点�、�分别在边��、�� 上，且∠��� = ∠���． 求证：(1) △ ���是等边三角形； (2)�� = ��． 24.(本小题 8 分) 如图，将长方形纸片����沿��折叠，使点�与点�重合，点�落在点�处，��为折痕． (1)求证：△ ��� ≌△ ���； (2)若�� = 8，�� = 4，求四边形����(阴影部分)的面积． 第 7页，共 8页 25.(本小题 8 分) 如图 1，在��▵���中，∠��� = 90 ∘，∠���的平分线交��边于点�，过�作��的平行线交��于点�，将▵��� 沿��折叠得到▵���，��交��边于点�． (1)求证：�� = ��； (2)当�� = ��时，试判断��与��的大小关系，并说明理由； (3)如图 2，过点�作线段��的垂线，垂足为�.若���� = 2 5 , �� = 9 2，求��的长． 第 8页，共 8页 26.(本小题 8 分) 如图，△ ���是等边三角形，点�从点�出发沿着射线��移动，��延长线上的点�从点�出发沿着射线��移 动，点�，�同时出发并且移动速度相同，连接��，��． (1)如图①，当点�移动到线段��的中点处时，��与��的数量关系是 ； (2)如图②，当点�在线段��上移动但不是中点时，探究��与��之间的数量关系，并证明你的结论；(提示： 过点�作��//��交��于�) (3)如图③，当点�移动到线段��的延长线上，并且�� ⊥ ��时，求∠���的度数．