第13章 三角形 单元提优卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第 1页，共 8页 第 13 章 三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形的概念的是( ) A. B. C. D. 2.以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是( ) A. 7 ��，5 ��，12 �� B. 6 ��，8 ��，15 �� C. 4 ��，6 ��，5 �� D. 8 ��，4 ��，3 �� 3.如图，在△ ���中，正确画出��边上高的是( ) A. B. C. D. 4.若三角形三个内角度数比为 2︰3︰4，则这个三角形一定是 A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 5.如图，已知在△ ���中，��是∠���的角平分线，��是��边上的高，且∠� = 25°，∠� = 55°，则∠��� 的度数是( ) A. 15° B. 35° C. 65° D. 75° 6.已知在等腰三角形中，等腰三角形的周长为 12，一边长为 3，则这个等腰三角形的底边长为( ) A. 3 B. 6 C. 3 或 6 D. 6 或 8 第 2页，共 8页 7.如图，在△ ���中，��和��是△ ���的两条角平分线，若∠� = 52°，则∠���的度数为( ) A. 54° B. 26° C. 126° D. 116° 8.把△ ���沿��对折，叠合后的图形如图所示.若 ， ，则∠2 的度数为 A. B. C. D. 9.如图，已知△ ���的面积为 5，对△ ���进行以下操作：延长��至点�1，使��1 = 2��；延长��至点�1， 使��1 = 2��；延长��至点�1，使��1 = 2��；再顺次连接点�1，�1，�1，得到△ �1�1�1，若△ �1�1�1的 面积为�，则�是( ) A. 95 B. 85 C. 90 D. 105 10.如图，在△ ���中，��、��分别是△ ���的高和角平分线，点�在��的延长线上，�� ⊥ ��，分别交��、 ��于点�和点�。下列结论：①∠��� = ∠�；②2∠��� = ∠��� + ∠�；③∠� = ∠��� − ∠�；④∠��� = ∠��� + ∠�，其中正确的结论有：( ) A.①②③ B. ①③④ C.①②④ D.①②③④ 第 3页，共 8页 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.如图，△ ���被撕去了一角，经测量得∠� = 66°，∠� = 23°，则△ ���是________三角形. (填“锐角”“直 角”或“钝角”) 12.如图，一只蚂蚁从�地到�地，所行的路程�应满足______． 13.如图，��是△ ���的中线，��是△ ���的中线，若△ ���的面积为 20，则阴影△ ���的面积为 _ ． 14.在△ ���中，��是��边上的中线，点�是重心．如果�� = 6，那么线段��的长为_______ 15.如图，在△ ���中，∠� = 60°，∠� = 40°，�� ⊥ ��于�，��平分∠���；则∠��� = °. 16.小明发现：作两条互相垂直的直线��、��，垂足为�，作∠���的角平分线��，点�、�分别是��、�� 上任意一点，再作∠���的平分线��，��的反向延长线交∠���的平分线于点�，∠�的大小是不随�、�的 第 4页，共 8页 变化而变化的，是一个定值，∠�为______°． 17.如图，在△ ���中，∠� = �，∠� = � (其中� < �)，��，��分别是△ ���的高和角平分线，试用含有�， �的代数式表示∠���的度数 ． 18.如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍 角三角形”.例如：在▵���中，∠� = 100 ∘，∠� = 60 ∘，∠� = 20 ∘，满足∠� − ∠� = 2∠�，所以▵���是 关于∠�的“差倍角三角形”.如图，在▵���中，∠� = 30 ∘，∠���和∠���的角平分线相交于点�，若▵��� 是关于∠���的“差倍角三角形”，则∠���的度数为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 如图，在△ ���中，∠��� = 40°，∠� = 75°，��是△ ���的角平分线．求∠���的度数． 第 5页，共 8页 20.(本小题 8 分) 如图，在△ ���中，��，��分别是边��上的中线和高，�� = 2，�△��� = 1.5.求��和��的长． 21.(本小题 8 分) 一个零件的形状如图所示，按规定∠� = 90°，∠�和∠�分别是 32°和 21°的零件为合格零件，现质检工人量 得∠��� = 149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明这个零件不合格的理由． 22.(本小题 8 分)如图，��，��分别是△ ���的两个外角∠���，∠���的平分线．求证：∠� = 90 ∘ − 12∠�． 证明：∵ ��，��分别是△ ���的两个外角∠���，∠���的平分线， ∴ ∠��� = 2∠���，∠��� = 2∠���． ∴ ∠��� = 180° − ∠��� = 180° − 2∠���，∠��� = 180° − ∠��� = 180° − 2∠���． ∵ ∠� + ∠��� + ∠��� = ， ∴ ∠� + 360° − 2(∠��� + ∠���) = 180°． ∴ ∠� + 360° − = 180°． ∴ ∠� + 2∠� = 180°． ∴ ∠� = 90 ∘ − 12∠�． 第 6页，共 8页 23.(本小题 8 分) 如图，点�，�分别在射线��，��上，��是∠���的平分线，��的反向延长线与∠���的平分线交于点�． (1)如图 1，当∠��� = ∠��� = 60°时，∠� = °. (2)如图 2，当∠��� = 60°，点�，�在射线��，��上任意移动时(不与点�重合)，∠�的大小是否变化？若 变化，请说明理由；若不变，请求出∠�的度数． (3)如图 3，若∠��� + ∠��� = �(0° < � < 180°)，请直接写出∠�的度数(用含�的式子表示)． 24.(本小题 8 分) 在学习了三角形的相关知识后，老师给同学们每人准备了一根 12��长的木棒，让同学们通过剪拼的形式， 制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长���，第二段的长比第一段的 3 倍少 2��，试判断第一段的长能否为 3��，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的两段，其中�� = 4��，�� = 8��，现将木棒��从�处剪开，使得三根木 棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的��的整数长度． 第 7页，共 8页 25.(本小题 8 分) 如图，将两个匀质的三角形薄板△ ���和△ ���放在平面直角坐标系中，已知这两个三角形薄板的顶点坐标 分别为�(4,4)，�(0,2)，�(8,0)，�( − 5,4)，�( − 3, − 2)，�(5, − 2)． (1)【操作发现】分别画出△ ���和△ ���的重心�，�，并写出点�，�的坐标； (2)【初步探究】试猜想三角形重心坐标(�, �)与三角形三个顶点的坐标(�1, �1)，(�2, �2)，(�3, �3)之间的关 系； (3)【拓展应用】若已知一个三角形的顶点坐标分别为( − 1,1)，(3, − 1)，(7,3)，应用(2)的结论，求这个三 角形的重心坐标． 第 8页，共 8页 26.(本小题 8 分) (1)【初步认识】 如图①，在△ ���中，��平分∠���，��平分∠���.若∠� = 100°，则∠� = ；如图②，��平分∠���， ��平分外角∠���，则∠�与∠�的数量关系是 ． (2)【继续探索】如图③，��平分△ ���的外角∠���，��平分△ ���的外角∠���.请探索∠�与∠�之间的数 量关系． (3)【拓展应用】如图④，�是△ ���两内角平分线的交点，�是△ ���两外角平分线的交点，延长��，�� 交于点�.在△ ���中，若存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请直接写出∠�的度数． 第13章三角形单元提优卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形的概念的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】本题主要考查三角形的概念，基础题． 根据三角形的概念一一判断即可得． 【解答】 A.三条线段不是首位顺次相连，故错误； B.三条线段不是首位顺次相连，故错误； C.三条线段不是首位顺次相连，故错误； D.三条线段是首位顺次相连而成，故正确； 故选： 2.以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了三角形的三边关系判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】 解：根据三角形的三边关系，得  A.，不能组成三角形； B.，不能组成三角形； C.，能组成三角形； D.，不能组成三角形． 故选C． 3.如图，在中，正确画出边上高的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查三角形高线的定义，根据三角形的高的概念进行判断即可得到结果．  【解答】 解：边上的高就是过作垂线垂直交于某点，因此只有符合条件． 故选 C． 4.若三角形三个内角度数比为，则这个三角形一定是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了内角和定理，有关知识已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为，根据三角形的内角和等于列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状． 【解答】 解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，， 则， 解得， ，，， 所以这个三角形是锐角三角形． 故选A． 5.如图，已知在中，是的角平分线，是边上的高，且，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．根据三角形的内角和定理，可求得的度数，由是的平分线，可得的度数；在直角中，可求出的度数，所以，即可得出． 【解答】 解：中，，， ， 是的平分线， ， 是边上的高， 在直角中， ， ． 故选：． 6.已知在等腰三角形中，等腰三角形的周长为，一边长为，则这个等腰三角形的底边长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边性质定理，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 根据等腰三角形的性质，可分种情况对本题讨论解答：当腰长为时，当底为时；结合题意，把不符合题意的去掉即可． 【解答】 解：设等腰三角形的腰长为，底长为，根据等腰三角形的性质得，； 、当时，可得，；则，即，不符合题意，舍去； 、当时，可得，；则，符合题意； 所以这个等腰三角形的底边长为． 故选A． 7.如图，在中，和是的两条角平分线，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 根据角平分线的定义和三角形内角和定理求解． 【解答】 解：， ， 、是的角平分线， ， 故选D． 8.把沿对折，叠合后的图形如图所示若，，则的度数为 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，四边形的内角和等于，熟记定理并准确识图是解题的关键．根据三角形的内角和等于列式求出，，再利用四边形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】 解：， ， 在四边形中，． 故选B． 9.如图，已知的面积为，对进行以下操作：延长至点，使；延长至点，使；延长至点，使；再顺次连接点，，，得到，若的面积为，则是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了三角形的面积．解答此题的难点是将所求三角形的面积与已知三角形的面积的数量关系找出来，连接，根据图示可知与是同高的两个三角形，由题意可以求得，则． 【解答】 解：如图，连接C. ， ， ， ， 所以，即． 故选A． 10.如图，在中，、分别是的高和角平分线，点在的延长线上，，分别交、于点和点。下列结论：；；；，其中正确的结论有：(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．根据，和，证明结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；证明，根据的结论，证明结论错误；根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， 正确； 平分， ， ， ， ， ， 正确； ， ， ， ， 由得，， ， 错误； ， ， ， ，， ， ， 正确， 正确答案为：． 故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，被撕去了一角，经测量得，，则是________三角形填“锐角”“直角”或“钝角” 【答案】钝角  【解析】【分析】 本题考查了三角形内角和定理以及钝角三角形的定义；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【解答】 解：由三角形内角和定理得：， 是钝角三角形； 故答案为：钝角． 12.如图，一只蚂蚁从地到地，所行的路程应满足______． 【答案】  【解析】解：根据三角形的三边关系得：， 即， 故答案为：． 根据三角形的三边关系即可得到结论． 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 13.如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则阴影的面积为         ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是三角形的面积，三角形的中线，高线，平分线有关知识，利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 【解答】 解：是中线，是中线， ． 故答案为． 14.在中，是边上的中线，点是重心．如果，那么线段的长为_______ 【答案】   【解析】【分析】 此题考查三角形重心问题，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是其道对边中点的距离的倍，根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的倍，直接求得结果．  【解答】 解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的倍， ． 故答案为  15.如图，在中，，，于，平分；则       【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查角平分线的定义和垂直的定义，外角性质，三角形内角和定理，综合利用各定理及性质是解答此题的关键．根据，可得的度数，平分，得到和的度数，利用外角的性质可得的度数，再根据垂直定义，得到直角三角形，在直角中，可以求得的度数． 【解答】  解：，， ， 平分， ， ， 于， ， ， 故答案为． 16.小明发现：作两条互相垂直的直线、，垂足为，作的角平分线，点、分别是、上任意一点，再作的平分线，的反向延长线交的平分线于点，的大小是不随、的变化而变化的，是一个定值，为______． 【答案】  【解析】解：，平分， ， 平分，平分， ，， 在中，， 在中，， ， 整理得，， ， 故答案为：． 先求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，然后根据是的平分线，列式整理即可得解； 本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并理清图中角度之间的关系是解题的关键． 17.如图，在中，， 其中，，分别是的高和角平分线，试用含有，的代数式表示的度数             ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质及角平分线的定义．先根据三角形内角和定理及角平分线的定义求出度数，再由三角形内角与外角的性质可求出的度数，由可求出，再由三角形的内角和定理即可解答． 【解答】 解：，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ， ． 故答案为． 18.如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，则的度数为          ． 【答案】  【解析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合是关于的“差倍角三角形”，可得出，结合，可求出的度数，再利用角平分线的定义，即可求出的度数．根据各角之间的关系，找出及是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， 和的角平分线相交于点， ， ， ． 是关于的“差倍角三角形”， ， 又， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在中，，，是的角平分线．求的度数． 【答案】解：由，是的角平分线，得 ． 在中， ．   【解析】见答案 20.本小题分 如图，在中，，分别是边上的中线和高，，求和的长． 【答案】解：，， ． 又是边上的中线， ，．   【解析】见答案 21.本小题分 一个零件的形状如图所示，按规定，和分别是和的零件为合格零件，现质检工人量得，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明这个零件不合格的理由． 【答案】解：如图，延长交于点． 若零件为合格零件，则，，， ． ． 现质检工人量得， 这个零件不合格．   【解析】略 22.本小题分 如图，，分别是的两个外角，的平分线．求证：． 证明：，分别是的两个外角，的平分线， ，． ，．           ， ．           ． ． ． 【答案】   【解析】略 23.本小题分 如图，点，分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． 如图，当时，           如图，当，点，在射线，上任意移动时不与点重合，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数． 如图，若，请直接写出的度数用含的式子表示． 【答案】(1)30  (2)∠P的大小不变．∵CE平分∠ACD，DP平分∠ODC，∴，，∴，  又∵，∴​​​​​​​．  (3)．  【解析】  ，，，平分，平分，，，，，  故答案为．  略  详解：，，  由可得． 24.本小题分 在学习了三角形的相关知识后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． 小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的倍少，试判断第一段的长能否为，并说明理由； 小亮先把木棒剪成如图所示的两段，其中，，现将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)解：第一段的长不能为3cm． 理由如下： ∵第一段长acm， ∴第二段长（3a-2）cm，第三段长12-a-（3a-2）=（14-4a）cm． 当a=3时，3a-2=7，14-4a=2， 此时三根木棒的长分别为3cm，7cm，2cm． ∵3+2＜7， ∴三根木棒不能制成一个三角形木框． ∴第一段的长不能为3cm．   (2)3cm或4cm或5cm．  【解析】 略  略 25.本小题分 如图，将两个匀质的三角形薄板和放在平面直角坐标系中，已知这两个三角形薄板的顶点坐标分别为，，，，，． 【操作发现】分别画出和的重心，，并写出点，的坐标； 【初步探究】试猜想三角形重心坐标与三角形三个顶点的坐标，，之间的关系； 【拓展应用】若已知一个三角形的顶点坐标分别为，，，应用的结论，求这个三角形的重心坐标． 【答案】(1)解：画出△ABC和△DEF的重心M，N如解图（画法不唯一），由解图可知，M（4，2），N（-1，0）； ​​​​​​​  (2)∵在△ABC中，A（4，4），B（0，2），C（8，0），点M的横坐标， 点M的纵坐标， 在△DEF中，D（-5，4），E（-3，-2），F（5，-2）， 点N的横坐标， 点N的纵坐标， ∴猜想三角形重心坐标（x，y）与三角形三个顶点的坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）之间的关系为，；   (3)设这个三角形的重心坐标为（m，n）， 由（2）可知，，， ∴这个三角形的重心坐标为（3，1）．   【解析】 略  略  略 26.本小题分 【初步认识】 如图，在中，平分，平分若，则          ；如图，平分，平分外角，则与的数量关系是          ． 【继续探索】如图，平分的外角，平分的外角请探索与之间的数量关系． 【拓展应用】如图，是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，交于点在中，若存在一个内角等于另一个内角的倍，请直接写出的度数． 【答案】(1)140° ;​​​​​​​  (2)∵BN平分△ABC的外角∠EBC，CN平分△ABC的外角∠FCB， ∴，． ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴∠EBC+∠FCB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A． ∴．   (3)∠A的度数为60°或120°或135°或45°．  【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形的概念的是(    ) A. B. C. D. 2.以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，在中，正确画出边上高的是(    ) A. B. C. D. 4.若三角形三个内角度数比为，则这个三角形一定是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 5.如图，已知在中，是的角平分线，是边上的高，且，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.已知在等腰三角形中，等腰三角形的周长为，一边长为，则这个等腰三角形的底边长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.如图，在中，和是的两条角平分线，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.把沿对折，叠合后的图形如图所示若，，则的度数为 A. B. C. D. 9.如图，已知的面积为，对进行以下操作：延长至点，使；延长至点，使；延长至点，使；再顺次连接点，，，得到，若的面积为，则是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，、分别是的高和角平分线，点在的延长线上，，分别交、于点和点。下列结论：；；；，其中正确的结论有：(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，被撕去了一角，经测量得，，则是________三角形填“锐角”“直角”或“钝角” 12.如图，一只蚂蚁从地到地，所行的路程应满足______． 13.如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则阴影的面积为         ． 14.在中，是边上的中线，点是重心．如果，那么线段的长为_______ 15.如图，在中，，，于，平分；则       16.小明发现：作两条互相垂直的直线、，垂足为，作的角平分线，点、分别是、上任意一点，再作的平分线，的反向延长线交的平分线于点，的大小是不随、的变化而变化的，是一个定值，为______． 17.如图，在中，， 其中，，分别是的高和角平分线，试用含有，的代数式表示的度数             ． 18.如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，则的度数为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在中，，，是的角平分线．求的度数． 20.本小题分 如图，在中，，分别是边上的中线和高，，求和的长． 21.本小题分 一个零件的形状如图所示，按规定，和分别是和的零件为合格零件，现质检工人量得，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明这个零件不合格的理由． 22.本小题分如图，，分别是的两个外角，的平分线．求证：． 证明：，分别是的两个外角，的平分线， ，． ，．           ， ．           ． ． ． 23.本小题分 如图，点，分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． 如图，当时，           如图，当，点，在射线，上任意移动时不与点重合，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数． 如图，若，请直接写出的度数用含的式子表示． 24.本小题分 在学习了三角形的相关知识后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． 小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的倍少，试判断第一段的长能否为，并说明理由； 小亮先把木棒剪成如图所示的两段，其中，，现将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 25.本小题分 如图，将两个匀质的三角形薄板和放在平面直角坐标系中，已知这两个三角形薄板的顶点坐标分别为，，，，，． 【操作发现】分别画出和的重心，，并写出点，的坐标； 【初步探究】试猜想三角形重心坐标与三角形三个顶点的坐标，，之间的关系； 【拓展应用】若已知一个三角形的顶点坐标分别为，，，应用的结论，求这个三角形的重心坐标． 26.本小题分 【初步认识】 如图，在中，平分，平分若，则          ；如图，平分，平分外角，则与的数量关系是          ． 【继续探索】如图，平分的外角，平分的外角请探索与之间的数量关系． 【拓展应用】如图，是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，交于点在中，若存在一个内角等于另一个内角的倍，请直接写出的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$