精品解析：重庆市秀山土家族苗族自治县新星初级中学2024-2025学年八年级上学期第三次定时作业数学试题

新星中学2024年秋期八年级第三次定时作业 数学试题 （本试卷共4个大题 满分：150分考试 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2024年9月18日，全国各地的防空警报声在空中久久回荡，这些警报声告诉全体国人牢记九一八事变，勿忘国耻，振兴中华．如图，“振兴中华”四个汉字图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，与是对应角，与是对应边，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若边形的内角和是，那么等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 7. 抖空竹作为非物质文化遗产，有着上千年的历史．将图1的某同学抖空竹抽象成图2的数学问题，已知：，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 根据如图所示的计算程序，当输入x=2时，输出结果为 ( ) A. -3 B. 2 C. 7 D. 11 9. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第7个图形有（ ）个小圆． A. 46 B. 60 C. 76 D. 94 10. 已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共8各小题，每小题4分，共计32分） 11. 因式分解______． 12. 在平面直角坐标系中，点，关于y轴对称，则a的值为______． 13. 如图，在中，，，若，则______度． 14. 如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为______． 15. 若，，则的值为______． 16. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则______． 17. 如图，在等边三角形中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最小值是_______． 18. 一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为能被整除，所以是“顺心数”．最小的“顺心数”为______；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的倍，则的最大值为______． 三、解答题（19题8分，其余每小题10分，共计78分） 19. 计算或化简 （1）计算： （2）化简： 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请画出关于y轴的对称图形； （2）直接写出，，三点的坐标； （3）求的面积． 21. 如图，已知中，平分交于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴ ① ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵是线段的垂直平分线 ∴ ⑤ ∴ 22. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值． （2）若，求x的值． 23. 先化简，再求值：，其中a，b满足； 24. 已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 25. 如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． （1）图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____； （2）观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____； （3）根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 26. 如图，是等腰三角形，，点D在直线上运动，点E为线段上一定点，连接，作，使，，连接． （1）如图1，在上取点G，使，求证：； （2）如图2，当点D在线段上，点F位于直线的上方时，求证：； （3）如图3，当点D运动到线段的延长线上时，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新星中学2024年秋期八年级第三次定时作业 数学试题 （本试卷共4个大题 满分：150分考试 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2024年9月18日，全国各地的防空警报声在空中久久回荡，这些警报声告诉全体国人牢记九一八事变，勿忘国耻，振兴中华．如图，“振兴中华”四个汉字图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题整式的运算，根据幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方依次对各选项进行分析判断即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图，在中，，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同角的余角相等，垂线的定义，根据题意得出是解题关键．根据同角的余角相等结合题意可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选B． 4. 如图，，与是对应角，与是对应边，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由得到，，进而可求得的长，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 5. 若边形的内角和是，那么等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键．根据多边形的内角和公式：，进行计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 6. 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 先分别求出图甲和图乙中阴影部分的面积，再根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解． 【详解】解：图甲中的阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即， 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的矩形的面积，即， 两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：C． 7. 抖空竹作为非物质文化遗产，有着上千年的历史．将图1的某同学抖空竹抽象成图2的数学问题，已知：，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 延长交于点，利用平行线的性质求出的度数，再利用三角形的外角即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ， 故选：C． 8. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 根据如图所示的计算程序，当输入x=2时，输出结果为 ( ) A. -3 B. 2 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用程序图中的程序将x=2代入计算即可． 【详解】解：当x=2时， 原式=22-7=-3＜0， 将x=-3代入得：（-3）2-7=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，本题是操作型题目，理解程序图的意义是解题的关键． 9. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第7个图形有（ ）个小圆． A. 46 B. 60 C. 76 D. 94 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形的规律，分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6，第2个图形中小圆的个数为10，第3个图形中小圆的个数为16，第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为．据此可以求得第7个图形小圆的个数即可． 【详解】解：第1个图形中小圆的个数为， 第2个图形中小圆的个数为， 第3个图形中小圆的个数为， 第4个图形中小圆的个数为， ∴第n个图形中小圆的个数为． 由分析知：第7个图形圆的个数为个． 故选：B． 10. 已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关键是配方． 结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：对于①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； 对于②：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴不存在整数，使得，故③正确． 故选：D． 二、填空题（本题共8各小题，每小题4分，共计32分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，点，关于y轴对称，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键，根据关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可求得答案． 【详解】解：∵点，关于y轴对称， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，若，则______度． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键． 首先根据三角形的内角和定理求出的度数，等腰三角形的性质得出，再根据三角形的外角和定求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， 故答案为：86． 14. 如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明得，再求出的值即可． 【详解】解：是木条和的中点 又 ， ， ， 故答案为：3． 15. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键． 直接利用完全平方公式进行变形即可． 【详解】解：， ， 即， 又， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：，， ，， 是的垂直平分线， ， ，又， ， ， ， ． 故答案为：12． 17. 如图，在等边三角形中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最小值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化的值为，从而找出其最小值求解即可． 【详解】连接，交于点，连接，如图所示． 是等边三角形，是边上的中线， ， 是的垂直平分线， ， ． 当三点共线时，最小，有最小值， 当点在点处时，有最小值，且最小值为的长． 是边的中点， 是的中线， ， ， ， 即的最小值为9． 18. 一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为能被整除，所以是“顺心数”．最小的“顺心数”为______；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的倍，则的最大值为______． 【答案】 ①. 1014 ②. 【解析】 【分析】本题考查了顺心数得到定义，6的倍数特征，以及列举法，排除法解题，解题的关键是找到的千位，百位，十位，个位数字分别是谁，正确理解顺心数的定义．为了使最小，千位数最小为1，百位数最小为0，十位是，即，然后找出个数数字；由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，各位数字是，那么有，因为是顺心数，是的倍数，即是的倍数，所以推出，是2的倍数，因为，为了大一些，那么取，从而得出的最大值． 【详解】①是一个正四位数，为了使最小 千位数最小为1，百位数最小为0，即， 为了使最小，能被6整除，且为两位数， 当的十位数为1，个位数取0时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取1时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取2时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取3时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取4时，，能被6整除， 最小的“顺心数”为1014， 故答案为：1014． ②（其中，，，，，均为整数）， 由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是 的各个数位数字之和等于它千位数字的倍， 即 是顺心数 是的倍数 即是的倍数 是的倍数，且，，，，均为整数 必须是，可以是，，， ， 为了使最大，要越大越好，那么越小越好 当，时， ，满足 此时，，， ，是的倍数，所以是顺心数； 故的最大值是； 故答案为：． 三、解答题（19题8分，其余每小题10分，共计78分） 19. 计算或化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和计算公式是解题的关键． (1)先利用同底数幂的乘除法法则计算，再进行合并即可； (2)先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算，再进行合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请画出关于y轴的对称图形； （2）直接写出，，三点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2），， （3）4 【解析】 【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，顺次连接即可得出； （2）根据图像直接写出点的坐标即可； （3）用割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，顺次连接，则即为所求作的三角形． 【小问2详解】 解：，，三点的坐标分别为：，，． 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，求三角形的面积，平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是作出对应点的坐标． 21. 如图，已知中，平分交于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴ ① ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵是线段的垂直平分线 ∴ ⑤ ∴ 【答案】（1） 解：如图：直线即为所求． （2）①；②；③ASA；④；⑤ 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质推理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值． （2）若，求x的值． 【答案】（1）72 （2）3 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 23. 先化简，再求值：，其中a，b满足； 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，非负数性质，准确进行整式混合运算是解题关键． 先计算整式混合运算，利用非负数求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ∵，， ∴， 当时， 原式． 24. 已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中，，，， ∴， ； （2） 证明：在和中，，，， ∴， ， 为、的外角， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． （1）图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____； （2）观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____； （3）根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了利用完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据长方形的面积进行计算，由图形面积间和差关系可得此题结果为； （2）由图形面积间关系可得：； （3）由（2）题关系式可得，，就能求得最后结果． 【小问1详解】 解：由题意得，图1中的每个小长方形的面积是； 图2中间空白的部分的面积是． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）题关系式可得，， ， 即的值是． 26. 如图，是等腰三角形，，点D在直线上运动，点E为线段上一定点，连接，作，使，，连接． （1）如图1，在上取点G，使，求证：； （2）如图2，当点D在线段上，点F位于直线的上方时，求证：； （3）如图3，当点D运动到线段的延长线上时，求证：为定值． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ， ． （2） 证明：在上取点G，使，如下图 ， ． ， ， ， ， ,, ， ， ， ． 在和中 ， ， ． ，，， ， ； （3） 证明：在上取点G，使，如下图 ， ． ， ， ， ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ， ， ． 为定值， 形状唯一，为定值， 为定值． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和EG=EC求得，结合得到，进而得到三角形全等，然后再利用全等三角形的性质求解； （2）在上取点G，使，利用（1）的方法求得三角形全等，进而得到，结合，，来求得即可求解； （3）在上取点G，使，用（1）的方法得到三角形全等，进而得到，结合全等三角形的判定和点E为线段上一定点来求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解相关知识和作出辅助线是解答（2）（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $