22.3 第1课时 几何图形的面积问题-【木牍中考●名师教案】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

该教案聚焦“实际问题与二次函数”中几何图形面积问题，通过小球运动的二次函数最值情境导入，复习二次函数性质，引出本节课几何面积应用，搭建从代数性质到几何问题的学习支架。 以合作探究为核心，通过篱笆围长方形、动点三角形面积等实例，培养抽象能力、几何直观与模型意识，变式训练与方法指导助学生掌握函数几何转化，提升数学思维推理与语言表达能力，为教师提供清晰教学流程与重难点突破策略。

22.3　实际问题与二次函数 第1课时　几何图形的面积问题 ◇教学目标◇ 　　1.从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系,体会“数形结合”的思想. 2.能根据具体几何问题中的数量关系,列出二次函数解析式,并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题,体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型. 3.通过转化建模,让学生学会合作、交流. 4.体验函数的实际应用,感受数学与生活的密切联系,从实践动手中,产生对数学的兴趣,从而培养学生的创新精神和实践能力. ◇教学重难点◇ 教学重点 运用二次函数解决几何图形中有关的最值问题. 教学难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得. ◇教学过程◇ 一、情境导入 问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 本节课我们学习利用二次函数解决几何问题. 二、合作探究 探究点1　实际问题中的最大面积 典例1　如图,用长20 m的篱笆,一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子,怎么围才能使园子的面积最大?最大面积是多少? [解析]　设与墙垂直的一边为x m,园子面积为S m2,由题意得S=x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50(0<x<10). ∵a<0,∴当x=5(在0<x<10的范围内)时,园子面积S有最大值为50 m2. 变式训练　如图,有长为30 m的篱笆,围成一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m),围面中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为x m,面积为y m2. (1)求y与x的函数关系式. (2)y是否有最大值?如果有,请求出y的最大值. [解析]　(1)由题意,得y=x(30-3x),即y=-3x2+30x. (2)由题意,得0<30-3x≤10,即≤x<10. 对称轴为x==-=5, 又当x>5时,y随x的增大而减小, ∴当x= m时面积最大,最大面积为 m2. 探究点2　动点问题中的最大面积 典例2　如图,矩形ABCD的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上沿AB方向以2 cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以1 cm/s的速度匀速运动(其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动).设运动时间为x s,△PBQ的面积为y cm2. (1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围; (2)求△PBQ的面积的最大值. [解析]　(1)∵S△PBQ=PB·BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x, ∴y=(18-2x)x,即y=-x2+9x(0<x≤4). (2)由(1)知y=-x2+9x, ∴y=-, ∵当0<x≤时,y随x的增大而增大, 而0<x≤4,∴当x=4时,y最大值=20, 即△PBQ的最大面积是20 cm2. 方法指导当顶点不在自变量的取值范围内时,用二次函数的增减性求最值;当顶点在自变量的取值范围内时,可通过计算顶点的纵坐标以及端点的纵坐标求最值,也可通过画图象求解. 三、板书设计 几何图形的面积问题 1.探究点1的解答过程(由学生阐述,老师板书) 2.探究点1变式2(学生板演过程) 3.小结 4.运用二次函数的知识解决图形面积问题的一般步骤 ◇教学反思◇ 　　与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型,解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形,找出各部分面积之间的关系,运用面积等计算公式列出方程.对图形进行分割或补全的原则:转化成为规则图形时越简单越直观越好. 1 立足安徽 精准备考 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$