21.4 第1课时 利用二次函数解决面积、利润问题-【木牍中考●名师教案】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

该初中数学教案聚焦“二次函数的应用（面积、利润问题）”，通过广告牌设计情境导入，衔接二次函数顶点与最值关系，依托典例分步解析和填空引导搭建学习支架，巩固前续二次函数表达式及性质的应用。 教案以情境化探究为主线，典例涵盖矩形面积、靠墙矩形设计、利润计算等现实问题，体现用数学眼光观察世界，变式训练与逻辑推理培养数学思维，构建函数模型解决问题发展数学语言，助力学生提升建模能力与应用意识，为教师提供清晰教学流程与实用实例。

21.4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积、利润问题 ◇教学目标◇ 　　1.理解顶点与最值的关系,能正确表示图形面积及利润,并依据题意求出最大值. 　　2.经历探索面积、利润问题的过程,通过变式训练的阶梯螺旋理解,能够感悟用二次函数解决面积、利润问题的实质,体会二次函数是解决最值问题的模型. 　　3.通过学生之间的讨论、交流和探索,建立合作意识和提高探索能力,激发学习的兴趣和欲望,体会数学在生活中广泛的应用价值. ◇教学重难点◇ 教学重点 利用二次函数求解面积、利润问题. 教学难点 正确构建数学模型. ◇教学过程◇ 一、情境导入 某广告公司设计一幅周长为8米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用. 二、合作探究 探究点1　用二次函数解决图形面积问题 典例1　用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为y米2. (1)求y关于x的函数表达式. (2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60米2? (3)能否围成面积为70米2的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由. [解析]　(1)y=x(16-x)=-x2+16x(0<x<16). (2)当y=60时,-x2+16x=60,解得x1=10,x2=6.所以当x=10或6时,围成的养鸡场的面积为60米2. (3)方法一:当y=70时,-x2+16x=70,整理得x2-16x+70=0,由于Δ=256-280=-24<0,因此此方程无实数根,所以不能围成面积为70米2的养鸡场. 方法二:y=-x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,y有最大值64,即能围成的养鸡场的最大面积为64米2,所以不能围成70米2的养鸡场. 典例2　某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境: 请根据上面的信息,回答下列问题: (1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长; (2)请你判断谁的说法正确,为什么? [解析]　(1)设AB=x米,可得BC=69+3-2x=72-2x. (2)小英的说法正确; 矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648, ∵72-2x>0,∴x<36,∴0<x<36,∴当x=18时,S取最大值,此时x≠72-2x, ∴面积最大的不是正方形,小英的说法正确. 探究点2　用二次函数解决利润问题 典例3　某商店以每个10元的价格购进某种商品,当以17元/个出售时,每天可以卖出50个.店庆期间,在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客,调查发现:每降价1元,每天可多卖出10个.这种玩具的售价定为多少元时,商店每天获得的利润最大?最大利润是多少? 请先完成以下填空,再完整解答. 填空设每个商品在售价17元的基础上,降价x元出售,则此时每个玩具的售价为　　　　元,利润是　　　　　　　元;销售量在50个的基础上,增加　　　　个,此时玩具的销售量是　　　　个.设商店每天获得的利润为y元,根据题意列出y与x之间的函数关系式为y=　　　　　　　　　　(无需化简).  完整解答 [解析]　填空(17-x)　(7-x)　10x　(50+10x)　(7-x)(50+10x) 完整解答设这种玩具每个降价x元,商店每天获得的利润为y元. 根据题意,得y=(50+10x)(7-x)=-10x2+20x+350=-10(x-1)2+360, ∴当x=1时,y最大=360,此时17-1=16(元). 答:当这种玩具的售价定为16元/个时,商店每天获得的利润最大,最大利润是360元. 三、板书设计 利用二次函数解决面积、利润问题 解决面积、利润问题的一般步骤: (1)列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. ◇教学反思◇ 　　本节课不仅是对前面所学知识的运用与巩固,也是二次函数这一章重点内容之体现,更是以后求函数最值的重要方法和工具,又是将实际问题转化为数学问题培养学生建模的一次尝试. 1 立足安徽 精准备考 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$