21.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质-【木牍中考●名师教案】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

该教案聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，以隧道截面抛物线问题情境导入，通过与y=ax²的对比，搭建平移变换的学习支架，梳理前后知识脉络。 特色在于以合作探究为主线，通过典例分析与变式训练，培养学生数学眼光（观察图象特征）、数学思维（推理平移关系），板书表格清晰呈现性质，助力学生用数学语言表达规律，提升学习效率，为教师提供重难点突破策略。

21.2.2　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 ◇教学目标◇ 　　1.使学生能利用描点法作出二次函数y=ax2+k的图象. 　　2.让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、归纳的能力. 　　3.培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神. ◇教学重难点◇ 教学重点 会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质. 教学难点 理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图,隧道的截面是抛物线,可以用y=-x2+4表示,该隧道内设双行道,限高为3 m,那么每条行道宽是多少米? 二、合作探究 探究点1　函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象的相互关系 典例1　如图是y=2x2+1,y=2x2-1的图象,根据图象回答下列问题: (1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1开口方向　　　　,对称轴是　　　　,顶点坐标是　　　　.  (2)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与y=2x2之间有什么关系? [解析]　(1)向上;y轴;(0,1),(0,-1). (2)y=2x2+1是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的,而y=2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的. 　　二次函数y=ax2与y=ax2+k(a>0)的图象的异同点:开口方向向上、开口大小相同、对称轴都为y轴,顶点坐标不同,分别为(0,0),(0,k). 变式训练　抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到 (　　) A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位 C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位 [答案]　B 探究点2　二次函数y=ax2+k的图象特征 典例2　已知一次函数y=ax-c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+c的图象大致为 (　　) [解析]　由一次函数y=ax-c的图象可知a<0,c<0.由a<0可知,抛物线y=ax2+c的开口向下,由c<0可知,抛物线y=ax2+c与y轴的交点在x轴下方,且抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴,所以只有D项符合条件. [答案]　D 技巧点拨解此类题目的关键是熟知一次函数与二次函数的图象特点,特别是理解a,b,c对抛物线形状及开口方向、位置的影响. 变式训练　数学课上,李老师给同学们出了这样一道数学题:m取何值时,抛物线y=(m-2)+1的开口向下?小明看到题后,只用了几分钟,就完成了这道题,他的解答过程如下: ∵抛物线开口向下,∴m-2<0,∴m<2,即当m<2时抛物线y=(m-2)+1的开口向下. 同学们,你认为小明的解答过程正确吗?如果不正确,请帮小明分析错误的原因,并改正过来. [解析]　错误原因:忘记x的指数为2. 正确解法:∵抛物线开口向下,∴m-2<0,∴m<2,又∵函数为二次函数,∴m2=2,解得m=±,∴当m=±时,抛物线开口向下. 探究点3　二次函数y=ax2+k的图象与性质 典例3　已知y=ax2+k的图象上有三点A(-5,y1),B(1,y2),C(3,y3),且y2<y3<y1,则a的取值范围是 (　　) A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0 [解析]　点A(-5,y1)关于y轴的对称点是A'(5,y1),由1<3<5且y2<y3<y1知,当x>0时,y随x的增大而增大,所以a>0. [答案]　A 变式训练　已知函数y=(k+2)+2是关于x的二次函数,求k的值;当x为何值时,y随x的增大而增大? [解析]　由题意得k2-k-4=2, ∴k1=3,k2=-2. 当k=-2时,k+2=0应舍去,∴k=3. ∴当x>0时,y随x的增大而增大. 三、板书设计 二次函数y=ax2+k的图象和性质 y= ax2+k a>0 a<0 图象 开口 开口向上 开口向下 a的绝对值越大,开口越小 顶点 (0,k) 顶点是最低点,有最小值 顶点是最高点,有最大值 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 ◇教学反思◇ 　　通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面: 首先,掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象. 其次,能够理解a,k对函数图象的影响,初步体会二次函数表达式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础. 最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神. 1 立足安徽 精准备考 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$