21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质-【木牍中考●名师教案】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

该教案聚焦二次函数y=ax²的图象绘制与性质探究，通过弹射、平抛物体的运动路线观察导入，联系生活实际引出课题，以描点法作图和对比不同a值函数图象为支架，衔接函数学习脉络。 以“探究式学习”为特色，让学生动手绘制y=2x²等四个函数图象，观察归纳a的绝对值对开口大小的影响，培养几何直观与推理意识。变式训练结合符号意识解决参数问题，典例比较函数值大小渗透数形结合，提升学生探究能力，为教师提供素养导向的实操教学方案。

21.2　二次函数的图象和性质 21.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质 ◇教学目标◇ 　　1.会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质. 　　2.经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力. 　　3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质. ◇教学重难点◇ 教学重点 理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象. 教学难点 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质. ◇教学过程◇ 一、情境导入 从桌面弹射粉笔,从空中平抛粉笔和乒乓球,观察物体在空中的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢? 二、合作探究 探究点1　二次函数y=ax2的图象 典例1　(1)在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x2,y=x2,y=-2x2与y=-x2的图象. (2)观察(1)中所画的图象,回答下列问题: ①由图象可知抛物线y=-2x2与抛物线　　　　的形状相同,且关于　　　　轴对称;同样,抛物线y=-x2与抛物线　　　　的形状相同,也关于　　　　轴对称.  ②当|a|相同时,开口大小　　　　;当|a|变大时,抛物线的开口　　　　;当|a|变小时,抛物线的开口　　　　.  [解析]　(1)列表: x -2 -1 0 1 2 y=2x2 8 2 0 2 8 y=x2 2 0 2 y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8 y=-x2 -2 - 0 - -2 描点,连线得 (2)①y=2x2;x;y=x2;x. ②相同;变小;变大. 变式训练　已知y=(k+2)是关于x的二次函数. (1)求k的值; (2)画出函数的图象. [解析]　(1)∵y=(k+2)是关于x的二次函数, ∴解得k=1. (2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象. 列表: x … -1 - 0 1 … y=3x2 … 3 0 3 … 描点:(-1,3),,(0,0),,(1,3). 连线:用光滑的曲线按x从小到大的顺序连接各点,图象如图所示. 探究点2　二次函数y=ax2的性质 典例2　已知点(-3,y1),(1,y2),(,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是　　　　.  [解析]　方法一:把x=-3,1,分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2. 方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2. 方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1).又∵3>>1,∴y1>y3>y2. 归纳总结比较二次函数中函数值大小的方法: ①直接把自变量的值代入表达式中,求出对应函数值进行比较; ②图象法; ③根据函数的增减性进行比较. 当要比较的几个点在对称轴的两侧时,可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点,转化到同侧后,然后利用性质进行比较; ④结合开口方向,比较各点的横坐标与对称轴的远近比较纵坐标的大小. 变式训练　已知函数y=(m+3)是关于x的二次函数. (1)求m的值. (2)当m为何值时,该函数图象的开口向下? (3)当m为何值时,该函数有最小值? (4)试说明函数图象的增减性. [解析]　(1)∵函数y=(m+3)是关于x的二次函数,∴m2+3m-2=2,m+3≠0,解得m1=-4,m2=1. (2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0, ∴m<-3, ∴当m=-4时,该函数图象的开口向下. (3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3, ∴当m=1时,该函数有最小值. (4)当m=1时,x>0时,y随x的增大而增大,x<0时,y随x的增大而减小; 当m=-4时,x>0时,y随x的增大而减小,x<0时,y随x的增大而增大. 三、板书设计 二次函数y=ax2的图象和性质 二次函数y=ax2 的图象和性质 ◇教学反思◇ 　　本节课的内容主要是研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力. 1 立足安徽 精准备考 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$