2.3 一元二次方程的应用 暑假巩固练习2024-2025学年浙教版八年级数学下册

浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假巩固 一、球赛问题 1.为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排36场比赛，则参赛的足球队个数为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 2.某中学组织九年级学生篮球赛，以班为单位，每两个班之间都比赛一场，总共安排28场比赛，则该校九年级参加篮球比赛的班级个数为（　　） A.14 B.12 C.10 D.8 3.2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环赛，每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，整个单循环比赛共计进行28场，则参加校园足球联赛的队伍共有（　　）支． A.7 B.8 C.9 D.10 4.2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则参赛的队伍有 　   　支． 5.某年级开展篮球比赛，参赛的每两个班之间都要比赛一场，共比赛10场，则有 　  　个班参加比赛． 6.某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： （1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ （2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负 　   　场． 7.球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？ 二、动态几何问题 1.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　） A.1秒 B.4秒 C.1秒或4秒 D.1秒或秒 3.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s 4.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　               　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 5.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　  　s后，P，Q两点之间相距25cm． 6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B沿BC边向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）． （1）设时间为t，则BP＝　    　cm，BQ＝　    　cm； （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？ 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4cm？ 三、握手或互赠礼物问题 1.国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（　　） A.10 B.11 C.12 D.13 2.聚会结束时，统计出一共握手55次，如果参加聚会的每个人都和其他的人握手1次，那么有（　　）人参加了聚会． A.10 B.11 C.12 D.13 3.在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为190次，则参加聚会的人数为（　　） A.19 B.20 C.29 D.30 4.一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，琪琪统计了握手次数，一共是190次，这次聚会共　 　人． 5.生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有　  　名同学． 6.在毕业季，某班同学互赠毕业礼物，若每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，请问这个班有多少位同学？ 7.前不久，特奥运动会羽毛球比赛在我区宝宸体育场举行．比赛结束后，部分运动员和志愿者交换礼物留作纪念．交换礼物时每位志愿者向每位运动员赠送一件礼物，每位运动员也向每位志愿者赠送一件礼物，这样互相赠送的礼物共176件，已知参加该活动的志愿者人数比运动员数多3人．问参加该活动的运动员有几人？ 四、增长率问题 1.某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则x的值为（　　） A.20% B.11% C.10% D.120% 2.某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是（　　） A.10% B.9% C.19% D.10%或19% 3.春节是我们国家的传统节日，也是消费旺季，全国各地积极增加市场供应，畅通产销衔接，某商场自元旦以来营业额大增，一月份第一周的营业额为60万元，前三周的营业额共为218.4万元，若第二、三周的平均增长率均为m，则m的值为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 4.某公司2021年的利润为20万元，经过技术创新，2023年的利润为28.8万元，该公司利润的年平均增长率为 　     　． 5.为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 　     　． 6.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的5%购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 7.近几年随着网购的流行，实体经济受到严重影响，但商家为了确保利润，不会轻易降价销售．友谊商店在2021年至2023年期间销售一种礼盒．2021年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2023年，这种礼盒的进价比2021年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2021年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2021年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 五、与几何图形有关的问题 1.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为12m2的长方形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A.9m B.8m C.7m D.6m 2.欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax＝b2的方程，可用如图解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，AC＝b，BC＝，在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的其中一个正根是（　　） A.线段AC的长 B.线段BC的长 C.线段AD的长 D.线段CD的长 3.直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是（　　） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 4.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　   　． 5.一个长方形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为7cm2；按照图②放置长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 　   　． 6.已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长． 7.某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2． （1）求小路的宽度； （2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 六、数字问题 1.一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（　　） A.25 B.36 C.47 D.59 2.有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（　　） A.62 B.44 C.53 D.35 3.已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为（　　） A.25 B.25或36 C.36 D.﹣25或﹣36 4.有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 　   　． 5.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　   　． 6.一个三位数，十位数字比个位数字大3，百位数字等于个位数字的平方，如果这个三位数比它的个位数字与十位数字的积的25倍大202，求这个三位数． 7.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 七、传播问题 1.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 2.新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A.11 B.12 C.13 D.14 3.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（　　） A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 4.“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为　   　． 5.若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个人传染 　  　人． 6.春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 7.今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”．若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． （1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ （2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 浙教版八年级下册 2.3 一元二次方程的应用 暑假巩固（参考答案） 一、球赛问题 1.为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排36场比赛，则参赛的足球队个数为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【解析】设参赛的足球队个数为x个，利用计划安排比赛的总场数＝参赛球队个数×（参赛球队个数﹣1）÷2，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 设参赛的足球队个数为x个， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， 即参赛的足球队个数为9个， 故选：D． 2.某中学组织九年级学生篮球赛，以班为单位，每两个班之间都比赛一场，总共安排28场比赛，则该校九年级参加篮球比赛的班级个数为（　　） A.14 B.12 C.10 D.8 【答案】D 【解析】设该校九年级参加篮球比赛的班级个数为x，根据“每两个班之间都比赛一场，总共安排28场比赛”列出方程，解方程即可得到答案． 设该校九年级参加篮球比赛的班级个数为x， 则， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）， ∴该校九年级参加篮球比赛的班级个数为8， 故选：D． 3.2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环赛，每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，整个单循环比赛共计进行28场，则参加校园足球联赛的队伍共有（　　）支． A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【解析】设共有x支队伍，根据单循环比赛规则，每支队伍需比赛场，由此列一元二次方程，即可求解． 设共有x支队伍，由题意知： ， 解得：x＝8或x＝﹣7（舍去）， 即参加校园足球联赛的队伍共有8支． 故选：B． 4.2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则参赛的队伍有 　   　支． 【答案】见试题解答内容 【解析】设参加比赛的队伍共有x支，由题意：有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，列出方程，解方程即可． 设参加比赛的队伍共有x支， 根据题意得：＝55， 解得：x＝11或x＝﹣10（不符合题意舍去）， ∴参加比赛的队伍共有11支； 故答案为：11． 5.某年级开展篮球比赛，参赛的每两个班之间都要比赛一场，共比赛10场，则有 　  　个班参加比赛． 【答案】5． 【解析】设有x个班参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛班级数×（参赛班级数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设有x个班参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝10， 整理得：x2﹣x﹣20＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴有5个班参加比赛． 故答案为：5． 6.某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： （1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ （2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负 　   　场． 【答案】解：（1）设在本次比赛共有x个队员参加比赛， 由表格得赢一场比赛得20÷10＝2（分），输掉一场比赛得7÷7＝1（分）， 由题意得x（x﹣1）＝210，解得x＝21（负值舍去）， ∴共有21个队员参加比赛， ∴每个队员一共比赛20场， 有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是（20﹣1）×2+1＝39（分）， 答：该名队员的积分是39分； （2）设该名队员在本次比赛中最多负y场， 由题意得（20﹣y）×2+y≥34，解得y≤6， ∴该名队员在本次比赛中最多负6场， 故答案为：6． 7.球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？ 【答案】有7支队伍． 【解析】设球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是42场，据此列出方程． 设有x支队伍， 根据题意得：x（x﹣1）＝42， 解得：x＝7； 答：有7支队伍． 二、动态几何问题 1.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】设经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半，则MP＝x，NQ＝x，然后列方程求解即可． 经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半， 根据题意，得， 化简得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴经过2秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． 故选：A． 2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　） A.1秒 B.4秒 C.1秒或4秒 D.1秒或秒 【答案】A 【解析】当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：PB•BQ＝4， 即（5﹣t）•2t＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4， 当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去， ∴t＝1． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 3.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s 【答案】A 【解析】设点P运动的时间为t s，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间． 设点P运动的时间为t s，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝5， 整理得：t2﹣6t+5＝0， 解得：t1＝1，t2＝5， ∵当Q到达点C时两点同时停止运动， ∴2t≤8， ∴t≤4， ∴t＝1． 故选：A． 4.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　               　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【答案】2秒或4秒或3+． 【解析】分两种情况，①当点P在AO上时，②当点P在BO上时，分别根据△POQ的面积为8平方厘米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 分两种情况： ①当点P在AO上时， 由题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4； ②当点P在BO上时， 由题意得：（t﹣6）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t3＝3+，t4＝3﹣（不符合题意，舍去）； 综上所述，经过2秒或4秒或3+秒，△POQ的面积为8平方厘米． 故答案为：2秒或4秒或3+． 5.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　  　s后，P，Q两点之间相距25cm． 【答案】10． 【解析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 设x秒后P、Q两点相距25cm， 则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252， 解得，x1＝10，x2＝0（舍去）， 则10秒后P、Q两点相距25cm． 故答案为：10． 6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B沿BC边向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）． （1）设时间为t，则BP＝　    　cm，BQ＝　    　cm； （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？ 【答案】解：（1）设时间为t，依题意，BP＝6﹣t，BQ＝2t， 故答案为：（6﹣t）；2t． （2）设t秒后，四边形APQC的面积为16cm2， ∴S△ABC﹣S△BPQ＝16， ∴， 即， 解得：t1＝2，t2＝4， 当t＝4时，BQ＝2×4＝8， ∵Q不与点C重合， ∴t＝4不合题意舍去， 答：2秒后，四边形APQC的面积为16cm2． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4cm？ 【答案】解：根据题意，知 BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t． （1）根据三角形的面积公式，得 PB•BQ＝8， t（6﹣t）＝8， t2﹣6t+8＝0， 解得t＝2或4． 故经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2； （2）根据勾股定理，得 PQ2＝BP2+BQ2＝（6﹣t）2+（2t）2＝32， 5t2﹣12t+4＝0， 解得t1＝2，x2＝． 故2或秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4cm． 三、握手或互赠礼物问题 1.国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（　　） A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】D 【解析】设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以x2﹣x﹣156＝0， 解得x＝13，x＝﹣12（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是有13人． 故选：D． 2.聚会结束时，统计出一共握手55次，如果参加聚会的每个人都和其他的人握手1次，那么有（　　）人参加了聚会． A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】B 【解析】设有x人参加了聚会，则总握手次数为，根据统计出一共握手55次，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 设有x人参加了聚会，则总握手次数为， 由题意得：， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， 即有11人参加了聚会． 故选：B． 3.在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为190次，则参加聚会的人数为（　　） A.19 B.20 C.29 D.30 【答案】B 【解析】设共有x人参加聚会，利用握手的总次数＝参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设共有x人参加聚会， 根据题意得：x（x﹣1）＝190， 整理得：x2﹣x﹣380＝0， 解得：x1＝20，x2＝﹣19（不符合题意，舍去）， ∴共有20人参加聚会． 故选：B． 4.一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，琪琪统计了握手次数，一共是190次，这次聚会共　 　人． 【答案】20． 【解析】设这次聚会共x人．根据握手次数，列出方程即可解决问题． 设这次聚会共x人． 由题意x（x﹣1）＝190， 解得x＝20或﹣19（舍弃）， 答：设这次聚会共20人． 故答案为：20． 5.生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有　  　名同学． 【答案】见试题解答内容 【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 设全组共有x名同学， x（x﹣1）＝210， 解得，x＝15或x＝﹣14（舍去） 故答案为：15． 6.在毕业季，某班同学互赠毕业礼物，若每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，请问这个班有多少位同学？ 【答案】解：设这个班有x位同学，则每位同学需送出（x﹣1）件礼物， 依题意得：x（x﹣1）＝2070， 整理得：x2﹣x﹣2070＝0， 解得：x1＝46，x2＝﹣45（不符合题意，舍去）． 答：这个班有46位同学． 7.前不久，特奥运动会羽毛球比赛在我区宝宸体育场举行．比赛结束后，部分运动员和志愿者交换礼物留作纪念．交换礼物时每位志愿者向每位运动员赠送一件礼物，每位运动员也向每位志愿者赠送一件礼物，这样互相赠送的礼物共176件，已知参加该活动的志愿者人数比运动员数多3人．问参加该活动的运动员有几人？ 【答案】解：设参加该活动的运动员有x人，则参加该活动的志愿者有（x+3）人（1分） 由题意得：x（x+3）+（x+3）x＝176（5分） 整理得：x2+3x﹣88＝0（1分） 解得：x1＝﹣11，x2＝8（3分） 其中x＝﹣11不合题意，舍去（1分） 答：参加该活动的运动员有8人．（1分） 四、增长率问题 1.某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为x，则x的值为（　　） A.20% B.11% C.10% D.120% 【答案】A 【解析】利用计划2024年植树造林的面积＝2022年植树造林的面积×（1+植树造林面积的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 根据题意得：2000（1+x）2＝2880， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴x的值为20%． 故选：A． 2.某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是（　　） A.10% B.9% C.19% D.10%或19% 【答案】A 【解析】设下降的百分率为x，根据题意列方程200（1﹣x）2＝162，求解即可． 设下降的百分率为x， 由题意可得：200（1﹣x）2＝162 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去） 故选：A． 3.春节是我们国家的传统节日，也是消费旺季，全国各地积极增加市场供应，畅通产销衔接，某商场自元旦以来营业额大增，一月份第一周的营业额为60万元，前三周的营业额共为218.4万元，若第二、三周的平均增长率均为m，则m的值为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】C 【解析】由一月份第一周的营业额及第二、三周营业额的平均增长率，可得出第二周的营业额为60（1+m）万元，第三周的营业额为60（1+m）2万元，结合前三周的营业额共为218.4万元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． ∵一月份第一周的营业额为60万元，且第二、三周的平均增长率均为m， ∴第二周的营业额为60（1+m）万元，第三周的营业额为60（1+m）2万元． 根据题意得：60+60（1+m）+60（1+m）2＝218.4， 整理得：25m2+75m﹣16＝0， 解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）， ∴m的值为20%． 故选：C． 4.某公司2021年的利润为20万元，经过技术创新，2023年的利润为28.8万元，该公司利润的年平均增长率为 　     　． 【答案】20%． 【解析】设该公司利润的年平均增长率为x，利用该公司2023年的利润＝该公司2021年的利润×（1+该公司利润的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 设该公司利润的年平均增长率为x， 根据题意得：20（1+x）2＝28.8， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该公司利润的年平均增长率为20%． 故答案为：20%． 5.为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 　     　． 【答案】20%． 【解析】利用该实验基地现有种子种数＝该实验基地两年前种子种数×（1+培育的种子平均每年的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，然后解方程即可． 根据题意得，150（1+x）2＝216． 解得，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 所以，培育的种子平均每年的增长率为20%， 故答案为：20%． 6.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的5%购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】解：（1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为20%； （2）4月份投入图书购置经费为72（1+20%）＝86.4（万元）， 设购买电脑m台，则购买实物投影仪（15﹣m）台， 根据题意得：3300m+2400（15﹣m）≤864000×5%， 解得：m≤8， 答：最多可购买电脑8台． 7.近几年随着网购的流行，实体经济受到严重影响，但商家为了确保利润，不会轻易降价销售．友谊商店在2021年至2023年期间销售一种礼盒．2021年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2023年，这种礼盒的进价比2021年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2021年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2021年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 【答案】解：（1）设2021年这种礼盒的进价是x元/盒，则2023年这种礼盒的进价是（x﹣11）元/盒， 依题意，得：＝， 解得：x＝35， 经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意． 答：2021年这种礼盒的进价是35元/盒． （2）2021年及2023年购进这种礼盒的数量为3500÷35＝100（盒）． 设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y， 依题意，得：（60﹣35）×100（1+y）2＝（60﹣35+11）×100， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%． 五、与几何图形有关的问题 1.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为12m2的长方形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A.9m B.8m C.7m D.6m 【答案】D 【解析】设原正方形空地的边长是x m，根据剩余部分是一个长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m且面积为12m2的长方形，据此列出方程求解即可． 设原正方形空地的边长是x m， 由题意得，（x﹣2）（x﹣3）＝12， 解得x＝6或x＝﹣1（舍去）， ∴原正方形空地的边长是6m， 故选：D． 2.欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax＝b2的方程，可用如图解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，AC＝b，BC＝，在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的其中一个正根是（　　） A.线段AC的长 B.线段BC的长 C.线段AD的长 D.线段CD的长 【答案】C 【解析】设AD＝x，AC＝b，DB＝BC＝，根据勾股定理列出关系式，化简即可得到结果． 设AD＝x，AC＝b，DB＝BC＝， 在Rt△ABC中，AB＝AD+BD＝x+， 根据勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2，即x2+ax＝b2， 则这个方程的一个正根是线段AD的长． 故选：C． 3.直角三角形的三边长是连续偶数，则三边长分别是（　　） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 【答案】C 【解析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理即可解答． 根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理，得 （x﹣2）2+x2＝（x+2）2， x2﹣4x+4+x2＝x2+4x+4， x2﹣8x＝0， x（x﹣8）＝0， 解得x＝8或0（0不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是6，8，10． 故选：C． 4.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　   　． 【答案】1m． 【解析】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可． 根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 5.一个长方形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为7cm2；按照图②放置长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，长方形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 　   　． 【答案】8cm2． 【解析】设长方形的长为x，宽为y，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求出x，y的值，再求图③的面积求解即可． 设长方形的长为x，宽为y，由题意，得：， 整理，得：， 把②代入①得：y＝47﹣7x③， 把③代入①得：2x（47﹣7x）＝7x+7（47﹣7x）﹣17， 整理，得：7x2﹣68x+156＝0， 解得：， 当x＝6时，y＝47﹣6×7＝5， 当时，（不合题意，舍去）； ∴长方形的长为6cm，宽为5cm， ∴图③中的阴影面积为：6×5﹣16﹣3×（6﹣4）＝8cm2； 故答案为：8cm2． 6.已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三边长． 【答案】解：设最短的边长为x，则另外两边长分别为（x+1），（x+2）， 依题意，得：x2+（x+1）2＝（x+2）2， 整理，得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1（不合题意，舍去），x2＝3， ∴x+1＝4，x+2＝5． 答：直角三角形的三边长分别为3，4，5． 7.某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2． （1）求小路的宽度； （2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（解：（1）设小路的宽度为x m，根据题意得： （20+2x）（16+2x）＝480， 整理得：x2+18x﹣40＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣20（舍去）， 答：小路的宽度为2m； （2）设每次降价的百分率为y， 根据题意，得：200（1﹣y）2＝128， 解得：y1＝0.2，y2＝1.8（不合题意，舍去）， 0.2＝20%， 答：每次降价的百分率为20%． 六、数字问题 1.一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（　　） A.25 B.36 C.47 D.59 【答案】C 【解析】对于数字问题关键是要做好解设，本题可设十位数字是x，个位数字就为（x+3），那么这个两位数就是10x+（x+3）．然后根据“一个两位数比它的个位数字的平方小2”列出等式 设十位数字为x 10x+（x+3）+2＝（x+3）2 x＝1或x＝4 所以这个两位数为14或47 故选：C． 2.有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（　　） A.62 B.44 C.53 D.35 【答案】C 【解析】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可． 设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x， 由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855 解得：x＝3或x＝5， 原来十位上的数字为5， 即原来这个两位数53． 故选：C． 3.已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为（　　） A.25 B.25或36 C.36 D.﹣25或﹣36 【答案】B 【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+3），根据该两位数等于它个位上的数的平方，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出该两位数． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+3）， 根据题意得：10x+x+3＝（x+3）2， 整理得：x2﹣5x+6＝0， 解得：x＝2或x＝3， ∴x+3＝5或x+3＝6， ∴这个两位数为25或36． 故选：B． 4.有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 　   　． 【答案】23． 【解析】设这个两位数中十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+1），根据题意列得方程后解方程即可． 设这个两位数中十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+1）， 则x2﹣（x+1）＝1， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x1＝﹣1（舍去）， 则2+1＝3， 那么这个两位数为：23， 故答案为：23． 5.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　   　． 【答案】84． 【解析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其非负整数代入[10（x+4）+x]中即可求出结论． 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4）， 依题意得：x2+（x+4）2﹣[10（x+4）+x]＝﹣4， 整理得：2x2﹣3x﹣20＝0 解得：x1＝4，x2＝﹣． 又∵x为非负整数， ∴x＝4， ∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84． 故答案为：84． 6.一个三位数，十位数字比个位数字大3，百位数字等于个位数字的平方，如果这个三位数比它的个位数字与十位数字的积的25倍大202，求这个三位数． 【答案】解：设该三位数的个位数字是x，则十位数字是（x+3），百位数字是x2． 依题意得：100x2+10（x+3）+x＝25x（x+3）+202， 整理，得 75x2﹣64x﹣172＝0 解方程，得x1＝2，x2＝﹣（舍去）． 则十位数字为：2+3＝5，百位数字为：x2＝22＝4． 所以，这个三位数是452． 7.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 【答案】解：设个位数字为 x，则十位数字为 （11﹣x）， x2+（11﹣x）2＝85， 解得：x1＝2，x2＝9． 当 x＝2时，两位数为92， 当x＝9 时，两位数为29． 答：两位数为92或29． 七、传播问题 1.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【解析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 依题意，得：1+n+n2＝111， 解得：n1＝10，n2＝﹣11． 故选：B． 2.新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】C 【解析】利用经过两轮传染后患了新冠的人数＝开始患病的人数×（1+每轮传染中平均一个人传染的人数）2，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出m的值． 依题意得：（1+m）2＝196， 解得：m1＝13，m2＝﹣14（不合题意，舍去）． 故选：C． 3.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（　　） A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 【答案】D 【解析】传染源为1人，每次传播x人，第一轮传播后，感染的人数一共为（x+1）人，（x+1）人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为x（x+1）人，根据两轮感染的总人数196即可列出方程求解． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得x+1+（x+1）x＝225， 解得：x＝14或x＝﹣16（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人． 故选：D． 4.“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为　   　． 【答案】10． 【解析】根据经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 依题意得：1+n+n2＝111， 整理得：n2+n﹣110＝0， 解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 5.若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个人传染 　  　人． 【答案】4． 【解析】每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有50人患了流感即可列出方程解题． 6.春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】解：（1）设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x＝162÷2， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）162+162×8＝1458（人）． 答：经过三轮传染后共有1458人会患流感． 7.今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”．若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． （1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ （2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 【答案】解：（1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有x（1+x）只健康的蛋鸡被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝64， 整理得：（1+x）2＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡； （2）64+64×7 ＝64+448 ＝512（只）， ∵512＞500， ∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只． 学科网（北京）股份有限公司 $$