第1章 一元二次方程（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年苏科版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第1章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知关于的多项式：． ①若，则代数式的值为； ②当时，若，则或； ③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，（其中a任意实数），下列说法： ①若中不含项，则； ②若化简的结果为整式，则； ③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上．连接，若平分，四边形是平行四边形，则的长为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根为，则 ． 12．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 15．（2025·湖南娄底·三模）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 16．（2025·山东德州·二模）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为 m． 17．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 18．（2024·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线（）同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为，，则的值为 ． ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）用你喜欢的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 20．（本题6分）（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 21．（本题8分）（24-25九年级上·重庆合川·期中）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 22．（本题8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 23．（本题8分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同． (1)求这两个月平均每月增长率； (2)七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？ 24．（本题8分）（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 25．（本题10分）（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套． (1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率； (2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？ 26．（本题10分）（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年苏科版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第1章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【规范解答】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等实数根，结合，可得答案． 【规范解答】解：由数轴看出，，， ∵是关于x的一元二次方程， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． ∴A，B，D不符合题意，C符合题意 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 在中，，，，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， 故选：C． 4．（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知关于的多项式：． ①若，则代数式的值为； ②当时，若，则或； ③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，解一元二次方程，根的判别式，根据，得出，求出，得出①正确；根据，得出或，解方程判定②错误；当式子中取值为与时，对应的值相等，整理得出，当时，即时，成立，此时，，或时，无论m取何值，的值一定相等；当时，成立，，当时，的最大值为3，判断③错误． 【规范解答】解：①∵， ∴， ∴， 把代入得： ，故①正确； ②当时，， ∵， ∴， ∴或， ∵方程中， ∴此方程无解； 解方程得：或，故②错误； ③∵当式子中取值为与时，对应的值相等， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴当时，即时，成立， 此时，， ∴或时，无论m取何值，的值一定相等； 当时，成立， ∴， 解得：， 此时的最大值为3； ∴当时，的最大值为3；故③错误； 综上分析可知：正确的有1个； 故选：B． 6．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【规范解答】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，（其中a任意实数），下列说法： ①若中不含项，则； ②若化简的结果为整式，则； ③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题考查了整式的运算，约分，根的判别式，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题．利用整式运算的相关法则，约分及根的判别式对各选项进行分析即可求解． 【规范解答】解：① ， 中不含项， ， 解得：， 故①说法正确； ② ， 当时， 原式 ， 故②说法正确； ③， ， ， 或， ， 整理得：， ， 则原方程有两个不相等的实数根； ， 整理得：， ， 则原方程有两个不相等的实数根， 无论取何值，关于的方程始终有4个不相等的实数根， 故③说法正确， 正确的有①②③，共3个． 故选：D． 8．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 9．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可； 【规范解答】解：由图②得：当时，在减小， 当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再运动到， 或应从出发沿运动到，再运动到， 设应从出发沿运动到，再运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴当在处时，，即， ∴， 当在处时，，即， 当位于处时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C 【考点评析】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键. 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上．连接，若平分，四边形是平行四边形，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】过点F作于H，的延长线于的延长线交于T，连接，设，则，证明四边形为菱形，则，在中由勾股定理得，即，整理得，由此解出x即可得出答案． 【规范解答】解：过点F作于H，的延长线于的延长线交于T，连接，如下图所示： 设 ∵四边形为矩形，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即为线段的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴ ， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造菱形，灵活运用勾股定理构造一元二次方程是解决问题的难点． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解． 将代入计算即可． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法，求值即可． 【规范解答】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出，，从而得出，由此规律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【规范解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意得：， ∵菱形面积为4， ∴，解得：， ∴菱形的边长为 ， 故答案为：． 15．（2025·湖南娄底·三模）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新运算列出一元二次方程，再根据方程有个相等的实数根得，据此列出关于的方程解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（2025·山东德州·二模）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为 m． 【答案】 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【规范解答】解：设道路宽为， 根据题意可得：， 解得， 解得（舍去）， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【规范解答】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 18．（2024·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线（）同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为，，则的值为 ． ． 【答案】 【思路引导】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【规范解答】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图像在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）用你喜欢的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法； （1）先移项，然后再运用直接开平方法和换元法即可解答，掌握换元法是解题的关键； （2）先运用根的判别式判定方程根的情况，然后再运用求根公式解答即可，掌握求根公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解： 则，． （2）解：∵ ∴ ∴． 20．（本题6分）（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【规范解答】（1）解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 21．（本题8分）（24-25九年级上·重庆合川·期中）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元 (2)衬衣的销售单价为100元 【思路引导】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用， （1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，符合题意，是原方程的解， 元， 答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元； （2）解：设衬衣的销售单价为a元， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：衬衣的销售单价为100元． 22．（本题8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1)进馆人次的周平均增长率为； (2)校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由见解析． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘方运算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设进馆人次的周平均增长率为，然后根据题意列方程，再解方程并检验即可； （）根据（）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【规范解答】（1）解：设进馆人次的周平均增长率为， 根据题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：进馆人次的周平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由， ∵进馆人次的周平均增长率为， ∴第四周的进馆人次为， ∴校图书馆能接纳第四周的进馆人次． 23．（本题8分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同． (1)求这两个月平均每月增长率； (2)七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？ 【答案】(1)这两个月平均每月增长率为 (2)该商城至少购进甲型号救生衣件 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设救生衣标价的月平均增长率为x，根据5月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，建立方程求解即可； （2）设该商场购进甲品牌救生衣件，则购进乙品牌救生衣件，根据商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，保证总利润不少于5440元，建立不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设救生衣标价的月平均增长率为x， 根据题意：， 解得：或（舍去）， 答：这两个月平均每月增长率为； （2）解：设该商场购进甲品牌救生衣件，则购进乙品牌救生衣件， 根据题意：， 整理得：， 解得：， 答：该商城至少购进甲型号救生衣件． 24．（本题8分）（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】(1)这两条路与等长，且它们相互垂直； (2)如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析． 【思路引导】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解； （）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； （2）解：能修建一条这样的直路，理由如下： 由（）得，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴， ∴， 又∵在中有， ∴， ∴， ∴， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴， ∴， ∵， ∴能修建成这样的一条直路． 25．（本题10分）（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套． (1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率； (2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？ 【答案】(1) (2)1万元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套A产品应降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润，可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【规范解答】（1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，依题意得： ， 解得：(舍去)，， 该公司这两个月销售A产品的月均增长率 ． （2）设每套A产品应降价万元，依题意得： ， 整理得， 解得：，， 为了尽快减少库存，取， 答：每套A产品应降价万元． 26．（本题10分）（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 【答案】(1)是矩形的“友好函数” (2)①；② 【思路引导】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可． 【规范解答】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，． 【考点评析】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$