专题1.2 一元二次方程的解法（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题1.2 一元二次方程的解法 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 3 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 3 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：解一元二次方程—直接开平方法 4 考点2：解—元二次方程一配方法 5 考点3：配方法的应用 6 考点4：公式法解一元二次方程 6 考点5：因式分解法解一元二次方程 7 考点6：换元法解一元二次方程 7 考点7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 8 考点8：根据一元二次方程根的情况求参数 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 11 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 考点1：解一元二次方程—直接开平方法 【典例精讲】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）解方程： (1) (2) (2) (4) 考点2：解—元二次方程一配方法 【典例精讲】（24-25九年级上·福建漳州·期中）按要求解下列一元二次方程： (1) （配方法） (2)（公式法） 【变式训练】（24-25八年级下·山东·期末）解方程： (1) ； (2)． 考点3：配方法的应用 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【变式训练】（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点4：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）解下列方程 (1) (2) 考点5：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）解方程： (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）解一元二次方程： (1) （公式法）； (2)（因式分解法）． 考点6：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1) ； (2)． 考点7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 【变式训练】（24-25九年级上·广东茂名·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 考点8：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 3．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 5．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 4．（24-25八年级下·北京平谷·期中）方程的解为 ． 5．（2025·吉林白城·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 7．（2025·河南驻马店·三模）对于实数定义新运算：※．例如：3※ ，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 10．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)该三角形的面积为 ． 培优拔高 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 14．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）实数、满足则 ． 15．（2025·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 16．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 17．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． (1)当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (2)若线段上有个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (3)若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 18．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 19．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）小红根据学习对称轴的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．她以等腰三角形为背景展开了拓展研究．如图1，在等腰直角三角形中，，，是直线左侧的一个动点．作点关于直线的对称点，连接，直线与直线交于点，连接，． (1)【动手操作】当，根据题意，在图1中补全图形． (2)【问题探究】根据（1）所画图形，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图2，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当，若，，求的长． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 ［初步尝试］ （1）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； ［类比探究］ （2）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用的结论证明：； ［拓展延伸］ （3）运用 解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 一元二次方程的解法 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 3 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 3 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：解一元二次方程—直接开平方法 4 考点2：解—元二次方程一配方法 7 考点3：配方法的应用 8 考点4：公式法解一元二次方程 9 考点5：因式分解法解一元二次方程 11 考点6：换元法解一元二次方程 12 考点7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 14 考点8：根据一元二次方程根的情况求参数 15 中考真题 实战演练 17 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 26 知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 考点1：解一元二次方程—直接开平方法 【典例精讲】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）先化简，再利用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ∴． （2）， ， ， ∴， ∴； （3）， ， 或， ∴． （4）， ， ， 或， ． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点，选择合适的解法是解题的关键． （1）直接用因式分解法解一元二次方程； （2）先移项，将方程化为一般式，再利用公式法解一元二次方程； （3）直接利用开平方法解一元二次方程； （4）先移项，再用因式分解法解一元二次方程； 【规范解答】（1）方程因式分解得， 或， 解得，． （2）方程变形得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． （3）方程直接开平方得 或 解得，． （4）方程移项得， ， 或， 解得，． 考点2：解—元二次方程一配方法 【典例精讲】（24-25九年级上·福建漳州·期中）按要求解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握求解一元二次方程的方法为解题关键． （1）利用配方法求解方程的解即可； （2）利用公式法求解方程的解即可． 【规范解答】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：； （2）解：， 整理得：， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·山东·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法计算即可； （2）根据公式法计算即可． 【规范解答】（1）解：原方程可化为： 即， 即， ，； （2）解：方程整理得：， ，，， ， ， ， 考点3：配方法的应用 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路引导】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 【变式训练】（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【规范解答】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 考点4：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2)， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【规范解答】（1）解： ，，， ， 则此方程无解． （2）解： ， 则， 【变式训练】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法、因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）直接利用公式法解一元二次方程即可； （2）先变形原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴， ∴该方程有两个不等的实数根， ∴， ∴． （2）解： ， ， ， 或， ∴． 考点5：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答． （1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出答案； （2）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出答案． 【规范解答】（1）解： ， 即或， 或； （2）解： ， ， 即或， 或． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）解一元二次方程： (1) （公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）利用公式法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴或， ． 考点6：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 【答案】 【思路引导】将题干中的一元二次方程通过变量替换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【规范解答】解：把一元二次方程 整理得． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为. 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【思路引导】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，设，则．再按照一元二次方程的解法求解即可； （2）把原方程化为：，设，则，再按照解一元二次方程的解法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 考点7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 【答案】(1)见解析 (2)另外一根为； 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为3，带入可求出的值；再利用的值可知原方程，解之即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：方程化简为：， 根据判别式： ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵这个方程的一个根为3， ∴；解得：，则 把带入方程得：； ∴；解得：或； ∴方程得另外一根为：. 【变式训练】（24-25九年级上·广东茂名·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解； （2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解． 【规范解答】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． 考点8：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【规范解答】（1）解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 【答案】(1) (2)，， (3)当时， 【思路引导】此题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握用一元二次方程根的判别式判别根的情况是关键． （1）根据题意列式得到，代入求值即可； （2）根据方程有实数根得到，再根据为正整数和一元二次方程的定义即可求出答案； （3）利用因式分解法解得到的方程即可． 【规范解答】（1）解：依题意得： 整理得： ∴ ∴ （2）∵方程有实数根 ∴ 整理得： 解得： ∵取正整数值 ∴，，， 又∵ ∴ ∴满足条件的的正整数值为：，， （3）当时， 原方程可化为： ∴，即 解得： 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【规范解答】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【答案】， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用直接开平方法求解即可． 【规范解答】解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 3．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【规范解答】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 5．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的配方法解方程，正确掌握方法是解题关键．使用配方法解方程时，先将常数项移到右边，二次项系数化为1后，再在两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【规范解答】解：， 移常数项：， 配方： ， 左边化为完全平方：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式的关系．根据题意得出且，即且，求解即可得出答案． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， ∴且． 故选：B． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义和利用根的判别式判断方程根的情况． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，得二次项系数不为零且判别式非负，联立求解即可． 【规范解答】解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ，即 ， 又∵方程有实数解， ∴， 解得 ， 综上所述：关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 且 ． 故选C． 4．（24-25八年级下·北京平谷·期中）方程的解为 ． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【规范解答】解：， 移项得：， 开平方得：， ∴，． 故答案为：，． 5．（2025·吉林白城·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据题意可得：，求解即可得出答案． 【规范解答】解：由题意可知， 解得：， 故答案为：8 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：9． 7．（2025·河南驻马店·三模）对于实数定义新运算：※．例如：3※ ，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【规范解答】解： ※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法求解即可； （）利用直接开平方法求解即可． 【规范解答】（1）解： ∴，； （2）解： 或 ∴，． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 10．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)该三角形的面积为 ． 【答案】(1)该三角形是等腰三角形或直角三角形，理由见解析； (2)或． 【思路引导】（1）先解一元二次方程，根据该方程的解分情况讨论，结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理即可得解； （2）结合三线合一定理、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：三角形第三条边长是方程的一个根， 解方程可得， ，， 分两种情况讨论： ①当第三条边长为时，符合三角形三边关系，有两条边长为， 此时三角形是等腰三角形； ②当第三条边长为时，符合三角形三边关系， ， 该三角形是直角三角形． 故该三角形是等腰三角形或直角三角形． （2）解：①该三角形是等腰三角形时，如下图： 此时，， 作交于点， ， 则， ； ②该三角形是直角三角形时，如下图： 此时，， ． 综上，该三角形的面积为或． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查的知识点是解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的判定、勾股定理及其逆定理、三线合一定理，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 培优拔高 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 通过计算判别式或直接求解方程，判断各选项是否有实数根． 【规范解答】解：A.方程的判别式，无实数根，不符合题意； B. 方程的判别式，无实数根，不符合题意； C. 方程可化简为，因平方数非负，等式不成立，无实数根，不符合题意； D. 方程 直接解得或，均为实数根。 故选：D． 12．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】此题考查了配方法和完全平方公式的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．运用题中的新定义结合配方的方法确定出所求即可． 【规范解答】解：，且为“完美数”， ， ； 故选：C． 13．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 【答案】A 【思路引导】本题考查配方法解一元二次方程，通过“移项、化系数为1，配方，写成完全平方式的形式”求解即可． 【规范解答】解：， 移项，得， 配方，得， 写成完全平方式的形式，得， 比较和，得，， 故选：A． 14．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）实数、满足则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查利用因式分解解一元二次方程的应用，分式的求值，先用两式相减计算，然后两式相加得到，再根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可解题． 【规范解答】解：∵实数满足， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵实数满足， ∴相加得，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2025·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程无实数根，得，即可得到答案． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法和因式分解法（平方差公式）是解题的关键． （1）通过配方法将方程转化为完全平方式来求解； （2）根据平方差公式将方程转化为两个一次方程来求解． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 或 ∴ ， 17．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． (1)当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (2)若线段上有个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (3)若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 【答案】(1)5，15 (2)，； (3)10个 【思路引导】本题考查图形类规律探究及一元二次方程，找到图形变化规律是解答的关键． （1）依次求得线段上有1个、2个、3个点时分成的部分和线段条数，找到变化规律即可求解； （2）根据（1）中分成的部分及线段的总数与n的关系得出规律即可求解； （3）由（2）中结论列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到（条）线段； 当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到（条）线段； 当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到（条）线段， ∴当线段上有4个点时，可将线段分成5个部分，可得到（条）线段， 故答案为：5，15； （2）解：由（1）得当线段上有n个点时，可将线段分成个部分，可得到（条）线段， 故答案为：，； （3）解：由题意，得，整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴线段上除端点之外还有10个点． 18．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1) (2) (3)不存在；理由见解析 (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【思路引导】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【考点评析】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 19．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）小红根据学习对称轴的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．她以等腰三角形为背景展开了拓展研究．如图1，在等腰直角三角形中，，，是直线左侧的一个动点．作点关于直线的对称点，连接，直线与直线交于点，连接，． (1)【动手操作】当，根据题意，在图1中补全图形． (2)【问题探究】根据（1）所画图形，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图2，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当，若，，求的长． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）根据要求作出点C关于直线AD的对称点E，再连接对应线段即可作图； （2）根据等边对等角证明，结合（1）的结论得出，再由勾股定理即可得出，，根据对称性质得，由此得出结论； （3）同理可得，进而可得，在利用勾股定理和含30度的直角三角形性质解三角形即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，补全图形如下： （2）解：，理由如下： ∵点C关于直线AD的对称点是点E， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：由对称的性质可知：，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 分别过点C、B作、垂足分别为、， ∴在中，， ∴，， ∴， ∴在中， ， 设， 在中，， ∴，， ∴在中，， 即：， 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理、30度直角三角形性质，化为最简二次根式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合是关键． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 ［初步尝试］ （1）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； ［类比探究］ （2）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用的结论证明：； ［拓展延伸］ （3）运用 解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 【答案】证明见解析； 证明见解析； ． 【思路引导】根据正方形的性质可得，，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 延长到使，连接，由可知，可得，，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； 过点作垂足为点，可证四边形是正方形，根据、中的结论可知，设正方形的边长为，利用勾股定理列方程求出，再利用梯形的面积公求出四边形的面积． 【规范解答】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； 证明：如下图所示，延长到使，连接， 由可知， ，， 四边形是正方形， ， 又， ， ， 在和中， ， ； 解：如下图所示，过点作垂足为点， ，，， 四边形是正方形， 由可知， ，， ， 设正方形的边长为， 在中，， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， ，， ． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质证明结论成立． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$