专题1.1 一元二次方程（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题1.1 一元二次方程 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一元二次方程的定义 1 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 2 知识点梳理03： 一元二次方程的解（根） 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：一元二次方程的定义 2 考点2：化成一元二次方程的一般式 3 考点3：判断是否是一元二次方程 4 考点4：由一元二次方程的定义求参数 5 考点5：判断是否是一元二次方程的解 5 考点6：由一元二次方程的解求参数 6 考点7：一元二次方程的解的估算 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 15 知识点梳理01：一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点梳理03： 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 考点1：一元二次方程的定义 【典例精讲】（2025·贵州贵阳·二模）已知为方程的根，那么代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用． 把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值． 【规范解答】解∶由题意，得 ，则 ． ． 故答案为： 【变式训练】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、方程整理为，则此项是关于的一元一次方程，不符合题意； B、不是整式方程，则此项不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、只有当时，是关于的一元二次方程，则此项不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、因为，所以方程一定是关于的一元二次方程，符合题意； 故选：D． 考点2：化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．3，1 B．3，6 C．， D．3， 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，能够熟练的将给定一元二次方程转化为一般形式是解题的关键．一元二次方程的标准形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．根据一元二次方程的一般形式确定各项系数． 【规范解答】解：∵原方程一般形式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【规范解答】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 考点3：判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【规范解答】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【规范解答】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 考点4：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 【规范解答】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【规范解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 考点5：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义写出一个满足方程的解即可． 【规范解答】解：一元二次方程的一个根为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 考点6：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 【答案】2029 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解，以及代数式求值．由一元二次方程的解可得，再整体代入求值即可． 【规范解答】解：是方程的一个根， 即， ． 故答案为：2029． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为． 【规范解答】解∶对于一元二次方程，设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程有一根为． 故答案为∶ 考点7：一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（2023八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【思路引导】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【规范解答】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 【变式训练】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【规范解答】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 1．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 2．（2023·江苏泰州·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的根． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，最后代值计算即可． 【规范解答】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 3．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【规范解答】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 4．（2023·江苏镇江·中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 ． 【答案】5 【思路引导】：把代入方程 ，求出关于m的方程的解即可． 【规范解答】把代入方程 ， 得， 解得． 故答案为：5． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．（2024·甘肃兰州·中考真题）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值． 【答案】 【规范解答】解：∵x2－2x＋1＝0， ∴x1＝x2＝1， 原式＝． ∴当x＝1时，原式＝． 基础夯实 1．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【思路引导】本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【规范解答】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般式为且为常数，根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【规范解答】解：A．当时，不是一元二次方程，故此项错误； B．原方程整理为，不是一元二次方程，故此项错误； C．原方程整理为，是一元二次方程，故此项正确； D．不是整式方程，故此项错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式，即可直接读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【规范解答】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 4．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的解的定义，将代入方程求出k的值即可． 【规范解答】解：是方程的一个根， 把代入， ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可． 【规范解答】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且，则且， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据题意，把代入方程中，并求得m的值即可． 【规范解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解， ∴把代入方程得：， ∴， 故答案为：4． 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 8．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到方程得到关于的方程，即可求解； （2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可． 【规范解答】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 9．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【规范解答】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 10．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【思路引导】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【规范解答】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 培优拔高 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）以下方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程，掌握只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A．是一元一次方程，最高次数为1，不符合条件； B．整理为是整式方程，且二次项系数为，符合定义； C． 中最高次数为3，属于三次方程，不符合条件； D．含分式项，不是整式方程，不符合条件． 故选B． 12．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．先利用一元二次方程的根求出的值，再确定反比例函数的解析式，最后代入点、的坐标求出、的值并比较大小． 【规范解答】解： 是关于的一元二次方程的一个根， ， 解得：， ， 反比例函数为， 将点、分别代入函数可得：，， ． 故选：B． 13．（24-25八年级下·山东泰安·期中）下列方程一定是关于的一元二次方程的是 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0），逐一分析选项即可． 【规范解答】A．：是整式方程，仅含未知数x，且最高次数为2，二次项系数为1（非零），符合定义． B．：含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合定义． C．：未限定，当时方程变为一次方程，不一定是二次方程． D．：含根号和绝对值（），属于根式方程，非整式方程，不符合定义． 故选A． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【规范解答】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 15．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的含义． 将代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【规范解答】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 16．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知实数是的根，求的值． 【答案】． 【思路引导】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 18．（24-25九年级上·重庆·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中m的值为方程的解． 【答案】(1) (2)，1 【思路引导】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确整式混合运算法则和分式化简求值的方法． （1）根据单项式和多项式乘法、完全平方公式和平方差公式先计算括号，再合并求解即可． （2）根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ， ∵m的值为方程的解， ， ， 原式． 19．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【规范解答】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 20．（22-23八年级下·福建福州·期末）阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）直接根据阅读材料可得答案； （2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：；； （2）∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为； （3）∵，分别满足，，且， ∴， ∴和可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 一元二次方程 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一元二次方程的定义 1 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 2 知识点梳理03： 一元二次方程的解（根） 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：一元二次方程的定义 2 考点2：化成一元二次方程的一般式 2 考点3：判断是否是一元二次方程 3 考点4：由一元二次方程的定义求参数 3 考点5：判断是否是一元二次方程的解 3 考点6：由一元二次方程的解求参数 3 考点7：一元二次方程的解的估算 4 中考真题 实战演练 4 难度分层 拔尖冲刺 4 基础夯实 4 培优拔高 6 知识点梳理01：一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点梳理03： 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 考点1：一元二次方程的定义 【典例精讲】（2025·贵州贵阳·二模）已知为方程的根，那么代数式的值为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 考点2：化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．3，1 B．3，6 C．， D．3， 【变式训练】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 考点3：判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 考点4：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 考点5：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可） 【变式训练】（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 考点6：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 考点7：一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（2023八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【变式训练】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 1．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 2．（2023·江苏泰州·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的根． 3．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 4．（2023·江苏镇江·中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 ． 5．（2024·甘肃兰州·中考真题）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值． 基础夯实 1．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 4．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 5．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为 ． 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 8．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 9．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 10．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 培优拔高 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）以下方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·山东泰安·期中）下列方程一定是关于的一元二次方程的是 A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 15．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 16．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 17．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知实数是的根，求的值． 18．（24-25九年级上·重庆·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中m的值为方程的解． 19．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 20．（22-23八年级下·福建福州·期末）阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$