1.2.3 直线与圆的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，系统讲解相交、相切、相离三种位置及几何法（距离d与半径r比较）、代数法（联立方程判别式）两种判断方法。课堂导入从点与圆位置关系回忆切入，通过类比迁移搭建学习支架，帮助学生自然衔接新知。 其亮点在于渗透数形结合思想，结合例题展示点到直线距离公式、弦长公式的规范应用，培养数学眼光与思维。资料结构清晰，重点难点突出，总结系统，学生能提升直观想象与逻辑推理能力，教师可直接用于教学以提高效率。

1.2.3 直线与圆的位置关系 北师大版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 2.通过具体事例探究直线与圆的位置关系，经历利用点到直线距离来判断直线与圆位置关系的过程，学会求弦长或圆的切线的方法。 3.通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养数形结合的思想。 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 学习重点 学习难点 直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 用坐标法判直线与圆的位置关系 新课导入 思考一下：前面我们学习了点与圆的位置关系，请同学们回忆一下点与圆有几种位置关系？我们是怎样判断点与圆的位置关系的？ 点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内.我们是通过点与圆心的距离d和圆的半径r的大小关系来判断点与圆的位置关系的，点在圆外，即d>r；点在圆上，即d=r；点在圆内，即d<r. 直线与圆有几种位置关系呢？怎样来判断直线与圆的位置关系呢？本节课我们就来探讨这些问题 新课学习 思考一下：直线与圆的位置关系？交点个数情况？如何定义这几种情况呢？ 在平面几何中，已经学习了直线与圆的三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离（如图）.直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这时这条直线叫做圆的割线；直线和圆只有一个公共点，叫做直线和圆相切，这个唯一的公共点叫做切点；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 思考一下：如何判断直线和圆的位置关系呢？ 几何法： 结论 代数法 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 例题来了 解： （1）由圆M的方程可知圆心M(a，0)为x轴上的动点. 解： 解法1 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 解法2 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 解： 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 习题突破 B 方法总结： 编辑标题 点文本框即可进行编辑输入相关内容点击文本框即可进行编辑输入相关内容点击文本框即可进行编辑输入相关内容点击文本框即可进行编辑 点击文本框即可进行编辑输入相关内容点击文本框即可进行编辑输入相关内容点击文本框即可进行编辑输入相关内容点击文本框即可进行编辑 直线与圆的位置关系的判断方法： A 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 方法总结： 直线与圆相交时，弦长的求法 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 D 方法总结： 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 C 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 方法总结： 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 课堂巩固 B D 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 C 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 B 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 D 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 2 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 总结一下 直线与圆的位置关系 深入理解三元一次方程组有助于学生更好地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握函数性质的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。换元思想的教学重点应该放在如何延长上。 THANKS 感谢各位同学观看 圆心到直线的距离与半径的大小关系. 设圆心到直线的距离为d，则圆心 到直线l的距离 (A，B不全为0).当 时，直线l与圆C相交，当 时，直线l与圆C相切；当 时，直线l与圆C相离. 方程组解的情况. 由方程组 ，求解得： （1） ，有两组实数解，直线l与圆C相交； （2） ，有一组实数解，直线l与圆C相切； （3） ，无实数解，直线l与圆C相离. 直线与圆的位置关系及判定： 位置关系 公共点个数 几何法判定 代数法判定 相交 2 相切 1 相离 0 例1：已知直线l：2x十y—3=0，圆M： （1）指出圆心M的位置特征； （2）求实数a分别取何值时，直线l与圆M相交、相切、相离。 （2）根据点到直线的距离公式，得圆心M到直线l的距离为 当 ，即 时，直线l与圆M相交（如右图所示）； 当 ，即 或 时，直线l与圆M相切； 当 ，即 或 时，直线l与圆M相离； 例2 已知直线l经过 ，且与圆C： 相切，求直线l的方程. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，代入圆C的方程，得 ，此方程有两个不相等的实数根，即直线l与圆C相交. 当直线l的斜率存在时，直线l的方程为 ，得到方程组 将②代入①中消去y并整理，得 由直线与圆相切可得方程(3)有两个相等的实数根, 所以 即 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，圆心 到直线l的距离为 ，不合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线 l的方程为 ，即 .由相切条件可得 ，即 解得 或 故所求直线l的方程为 或 (如图). 例3 已知直线m： 与圆P： . 写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形； 由（1）所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截的的弦长；若相切或相离，给出证明. (1) 将圆的方程化为标准方程， 得 ，即圆P是以点 为圆心， 为半径的圆 (如图). (2) 因为圆心P到直线m的距离 ，所以直线m与圆 P相交. 设交点为A,B， 圆 P的半径为r (如图(2))， 易知 是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆 P的半径长， 即 ， 底边AB上的高为圆心 P到直线m的距离 d.所以由勾股定理， 得 . 故直线m被圆 P截得的弦长为 2 . 1 .直线 与圆 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 解析：方法一：圆 的圆心为 ，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，则直线与圆相切. 方法二：由 得 ，又 ，所以直线 与圆 相切. 判断直线与圆的位置关系，通常使用几何法（即利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断）或代数法（即将直线方程代入圆的方程，消元后由根的判别式 的符号判断），特别地，当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上的一点时，直线与圆必有公共点，即相交或者相切. 2.圆 截直线 所得的弦长等于( ) A. B. C.1 D.5 解析：方法一：圆的方程可化为 ，则圆的半径 ，圆心 到直线l的距离 ，所以直线l被圆截得的弦长为 方法二：设直线l与圆相交于点 ， .由 得 ，则 ， ，所以 . 设弦长为 （1）代数法：联立直线与圆的方程，求出A，B两点坐标，再由两点间的距离公式求弦长 ； 利用根与系数的关系及公式 或 求解. 2.几何法：利用半弦长，弦心距（圆心到弦的距离）d，半径r组成的直角三角形求解，则 . 3.若直线l与曲线 和圆 都相切，则l的方程为( ) A. B. C. D. 解析：由直线与圆相切可知圆心到直线的距离为半径 ，因此符合条件的只有A，D.将A中直线方程代入 ，得 ，无解；将D中直线方程代入 ，得 ，解得 ，符合题意. 求过圆上一点 的圆C的切线方程 当点P在圆C上，过点P有且只有圆C的一条切线，且点P为切点. 连接CP，求出CP的斜率； 由圆的切线的几何性质知直线CP与切线垂直，可得切线的斜率； 利用点斜式即的切线方程. 4.已知圆C的方程为 ，过直线 上任意一点作圆C的切线.若切线长的最小值为 ，则直线l的斜率为( ) A.4 B.-4 C. D. 解析：由 ，得圆心 ，过直线 上任意一点作圆C的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l的距离最小，根据题意作图，如图所示. 圆的半径为1，切线长的最小值为 ， 圆心到直线l的距离的最小值为 . 由 ，解得 . 此时直线l的斜率为 .故选C. 求过圆外一点 的圆C的切线方程 当点P在圆C外，过点P可作圆C的两条切线，可利用下列方程求切线方程 方法一（几何法）设切线的斜率为k，则切线方程为 ，化为一般式为 ，由圆C到切线的距离等于圆的半径得 ，解方程求k，即得切线方程. 方法二（代数法）设切线的方程为 ，即 ，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由 求出k的值，即得切线方程. 提示：过圆外一点的圆的切线必有两条，若求出k的值只有一个，则表明其中一条切线的斜率不存在，其方程为 ，不能遗漏. 1.若点 在圆 上,则直线 与圆C的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 解析：由圆 圆心为 ，半径为2，所以 到直线 的距离 ，又 在圆 上，则 ，故 ，所以直线 与圆C相切. 2.直线 与曲线 有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析： ， ， 曲线 是一个半圆，如图所示： 当直线 与曲线 相切时，可得 ，解得 ， 由图可知 EMBED Equation.DSMT4 ， 此时满足直线 与曲线 有且仅有一个公共点， 当直线 在 ， 两点之间运动时， 直线 与曲线 有且仅有一个公共点， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 综上所述， 或 . 3.已知圆心为 的圆与x轴交于A、B两点， ，则该圆的方程是( ) A. B. C. D. 解析：由题意，可设圆的方程为 ， 令 ，得 ， 设 ， ，则 ， ， ， 解得 ， 圆的方程是 EMBED Equation.DSMT4 ，即 . 4.若直线 与曲线 有两个交点，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析： 直线 恒过定点 ，曲线 ，即 ， 曲线C表示：以 为圆心，1为半径，且 的那部分圆. 直线l与曲线C有两个交点， 如图所示，当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，此时 ，解得 . 当过点M的直线也过点 时，直线与这部分圆有2个交点，此时 . .故选B. 5.已知A，B是圆 上的两个动点，且 ，若 ，则点P到直线AB距离的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.7 解析：由题意可知，圆C的圆心 ，半径 ，则 .设P，C到直线AB的距离分别为 ， ，因为 ，所以 .如图，分别过P，C作 ， ，垂足分别为N，M，再过C作 ，垂足为D.显然当P，C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，则 ，当且仅当 ，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，所以点P到直线AB距离的最大值为7. 6.直线 被圆 截得的弦长为_________. 解析：圆 的圆心坐标为 .半径为 ，圆心 到直线l的距离为 ，则由垂径定理可得，所求弦长为 7.设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为___________. 解析：不妨设 ， ，则线段AB的垂直平分线方程为 ，即 . 联立 解得 即圆心 ，圆的半径为 ，所以 的方程为 . $$