6.2 中位数与箱线图 预习 2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第六章 数据的分析 2. 中位数与箱线图 知识点预习 1. 中位数和众数 定义：将一组数据按大小顺序排列后，位于最中间位置的数据值（或中间两个数据的平均数）。 适用场景：数据存在极端值（如收入、房价）时，比平均数更能反映数据的集中趋势。适用于顺序数据（如排名、等级）。 计算方法：数据个数 n 为奇数时，中位数 = 第 个数据；数据个数 n 为偶数时，中位数 = 第 个和第+1 个数据的平均数。 特点：不受极端值影响，稳健性强；将数据分为相等的两部分（50%的数据 ≤ 中位数，50%的数据 ≥ 中位数）。 众数：一组数据中出现次数最多的数。 2. 四分位数 定义：将有序数据分为四等份的三个点，分别称为下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、上四分位数（Q₃）。 Q₁：数据中前25%位置的数（第1四分位数），记为； Q₂：中位数（第2四分位数），记为； Q₃：数据中前75%位置的数（第3四分位数），记为； 计算方法： Step 1：数据从小到大排序。 Step 2：先确定中位数 Q₂。 Step 3：Q₁——数据前半部分的中位数（不含Q₂）；Q——数据后半部分的中位数（不含Q₂）。 3. 箱线图 构成要素： 箱体——从 Q₁ 到 Q₃ 的矩形框（包含50%的数据）。 中线——箱体内的横线，表示 中位数 Q₂。 须线：上须——从Q₃到最大值（或上限）；下须——从Q₁到最小值（或下限）；异常值——超出1.5倍四分位距的数据点（通常用“*”单独标记）。 四分位距——箱体长度。 绘制步骤： （1）计算 Q₁、Q₂、Q₃ 和 四分位距； （2）确定上下限：上限 = Q₃ + 1.5 × 四分位距；下限 = Q₁ - 1.5 × 四分位距 （3）数据在上下限内的最大值/最小值作为须线端点； （4）超出上下限的点标记为异常值。 作用：直观展示数据的分布范围、集中趋势和离散程度。 4. 核心应用 中位数的应用——分析收入、房价等易受极端值影响的数据，与平均数结合，全面描述数据集中趋势（如平均数 > 中位数 → 数据右偏）。 箱线图的应用——比较不同类别数据的分布（如男女学生身高差异）。 5. 总结： 中位数是抗干扰的“位置度量”，四分位数揭示数据分布结构； 箱线图是分布特征的“可视化语言”，通过五数概括（Min, Q₁, Q₂, Q₃, Max）和异常值高效传递信息。 结合平均数、方差与本节内容，可全面刻画数据的集中趋势、离散程度和分布形态。 基础题预习 一、选择题预习（30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B C C B B B B 二、填空题预习（24分） 11．②． 12．中位数 13．中位数 14. 8；18 15.  下四分位（Q₁）；上四分位（Q₃）。 16. 20 ；80 。 三、解答题预习（46分） 17. （1）20； （2）75；-5. 18. （1）82.5； （2）7,6.5，89； （3）12.5； 19. 成绩高低：甲班中位数70 > 乙班65 → 甲班整体更高 成绩集中度：甲班箱子长度=80-60=20，乙班=75-50=25→ 甲班中间50%学生成绩更集中 低分学生分布：乙班中位数65靠近箱子顶部（Q₃=75）→ 低分学生更多（左偏分布） 20. 解：（1）根据众数、中位数的定义可得： 小聪5次成绩为8，8，7，8，9， 故众数为：8， 小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10， 故中位数为：9， 填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 8 8 0.4 小明 8 9 9 3.2 故答案为：8，9； （2）小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛； （3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分， S2， 故答案为：变小． 21．解：（1）140cm的数量最多，故m＝140； 12棵黄色的月季花树中高度在第6和第7的为144和144 ∴中位数； 故答案为：140，144； （2）红色的方差为：黄色的方差为：， ∴高度的整齐度更好的是红色； 故答案为：红色； （3）因为原来两种颜色花树高度的平均数相同，要使所选两种颜色花树高度的平均数尽可能接近， 所以应去掉的红色花树中两棵树的高度和尽可能接近131+149＝280cm． 又因为要使方差尽可能小， 所以应去掉离平均数较远的两棵， 所以应选择去掉135cm和149cm的两棵． 22．解：（1）甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6，排在中间的两个数分别是9，9， 故中位数， 乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 其中8出现次数最多， 故众数n＝8． 故答案为：9，8； （2）丙同学的面试成绩p＝6×10×20%+8×10×40%+9×10×10%+10×10×30%＝83（分）， 答：丙同学的面试成绩为83分； （3）乙的平均得分为87÷10＝8.7（分）， 乙的方差为， ∵0.61＜1.85＜2.01， 可知乙的得分的波动比甲和丙小， ∴甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致， 故答案为：乙． （4）甲为：87×50%+85×50%＝86 （分）， 乙为：85×50%+87×50%＝86 （分）， 丙为：90×50%+83×50%＝86.5 （分）， ∴综合成绩最高的是丙． 故答案为：丙． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第六章 数据的分析 2. 中位数与箱线图 知识点预习 1. 中位数和众数 定义：将一组数据按大小顺序排列后，位于最中间位置的数据值（或中间两个数据的平均数）。 适用场景：数据存在极端值（如收入、房价）时，比平均数更能反映数据的集中趋势。适用于顺序数据（如排名、等级）。 计算方法：数据个数 n 为奇数时，中位数 = 第 个数据；数据个数 n 为偶数时，中位数 = 第 个和第+1 个数据的平均数。 特点：不受极端值影响，稳健性强；将数据分为相等的两部分（50%的数据 ≤ 中位数，50%的数据 ≥ 中位数）。 众数：一组数据中出现次数最多的数。 2. 四分位数 定义：将有序数据分为四等份的三个点，分别称为下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、上四分位数（Q₃）。 Q₁：数据中前25%位置的数（第1四分位数），记为； Q₂：中位数（第2四分位数），记为； Q₃：数据中前75%位置的数（第3四分位数），记为； 计算方法： Step 1：数据从小到大排序。 Step 2：先确定中位数 Q₂。 Step 3：Q₁——数据前半部分的中位数（不含Q₂）；Q——数据后半部分的中位数（不含Q₂）。 3. 箱线图 构成要素： 箱体——从 Q₁ 到 Q₃ 的矩形框（包含50%的数据）。 中线——箱体内的横线，表示 中位数 Q₂。 须线：上须——从Q₃到最大值（或上限）；下须——从Q₁到最小值（或下限）；异常值——超出1.5倍四分位距的数据点（通常用“*”单独标记）。 四分位距——箱体长度。 绘制步骤： （1）计算 Q₁、Q₂、Q₃ 和 四分位距； （2）确定上下限：上限 = Q₃ + 1.5 × 四分位距；下限 = Q₁ - 1.5 × 四分位距 （3）数据在上下限内的最大值/最小值作为须线端点； （4）超出上下限的点标记为异常值。 作用：直观展示数据的分布范围、集中趋势和离散程度。 4. 核心应用 中位数的应用——分析收入、房价等易受极端值影响的数据，与平均数结合，全面描述数据集中趋势（如平均数 > 中位数 → 数据右偏）。 箱线图的应用——比较不同类别数据的分布（如男女学生身高差异）。 5. 总结： 中位数是抗干扰的“位置度量”，四分位数揭示数据分布结构； 箱线图是分布特征的“可视化语言”，通过五数概括（Min, Q₁, Q₂, Q₃, Max）和异常值高效传递信息。 结合平均数、方差与本节内容，可全面刻画数据的集中趋势、离散程度和分布形态。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．总分 3．某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 x 10﹣x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） A．平均数、中位数 B．众数，中位数 C．众数、方差 D．平均数、方差 4．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 4 1 2 关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　） A．平均数是2.5 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4 5．某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表所示： 捐款数（元） 10 20 30 40 50 捐款人数（人） 8 17 16 2 2 则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（　　） A．众数是20 B．平均数是24 C．中位数是30 D．方差是 6. 箱线图中，箱子的长度代表什么？ A. 数据的最大值 B. 数据的平均值 C. 中间一半数据的范围（上四分位-下四分位） D. 中位数 7. 一组数据为：12, 15, 18, 20, 22, 25, 30。它的上四分位数（Q₃）是（ ） A. 18 B. 23.5（后一半数据的中位数：22和25的平均） C. 25 D. 30 8. 若箱线图的箱子向右延伸较长，下须很短，表明数据分布（ ） A. 对称 B. 低分区数据集中，高分区数据分散（左偏） C. 高分区数据集中，低分区数据分散（右偏） D. 无法判断 9. 箱子的长度等于（ ） A. 上四分位 + 下四分位 B. 上四分位 - 下四分位 C. 中位数 - 下四分位 D. 最大值 - 最小值 10. 箱线图如何判断异常值？ A. 数据 > 上四分位 B. 数据 > 上四分位 + 1.5×箱子长度 或 < 下四分位 - 1.5×箱子长度 C. 数据 > 最大值 D. 数据 < 中位数 二、填空题预习（24分） 11．对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是　 　 ． ①平均数；②中位数；③众数；④方差． 12．如图描述了某班10名学生对课后延时服务的打分情况，去掉一个最高分和一个最低分后，不会变化的统计量是 　 　 ．（填中位数、众数或平均数） 13．为了解“睡眠管理”落实情况，某校随机调查了50名学生每天的平均睡眠时间（时间均保留整数），并将样本数据绘制成如图所示的统计图，其中有两个数据被遮盖．在关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是 　 　 （填“平均数”“中位数”或“众数”）． 14. 一组数据组：5, 8, 10, 12, 15, 18, 20 Q₁是 8（前一半数据的中位数）；Q₃是 18 15. 在箱线图中，箱子的下边界表示 ；箱子的上边界表示 。 16. 已知 Q₁=30，Q₃=50，则箱子长度 = ；上限 = 。 三、解答题预习（46分） 17. 某组数据的箱线图关键值： 最小值=10, Q₁=25, 中位数=35, Q₃=45, 最大值=60 （1）求箱子长度； （2）求上限和下限； 18. 8名学生的数学成绩：70, 75, 78, 80, 85, 88, 90, 95。 （1）求中位数； （2）求 Q₁ 和 Q₃； （3）求箱子长度（Q₃ - Q₁）； 19. 根据某两班数学成绩的箱线图（甲班和乙班），比较分布特征，得到下面数据。 甲班：Q₁=60, 中位数=70, Q₃=80 乙班：Q₁=50, 中位数=65, Q₃=75 20. 问题：哪个班成绩更高？哪个班成绩更集中？哪个班低分学生多？ 小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 小聪 8 　 　 8 0.4 小明 8 9 　 　 3.2 （2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？ （3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差　 　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 21．园艺研习活动中，同学种植月季花树给学校花园做景观造型．已知红色、黄色两种颜色的月季花树分别种植了12棵，从育苗到移栽均在同等条件下进行，一段时间后，测量并获取了所有花树的高度（单位：cm），数据整理如下： a．两种颜色月季花树高度的频数： 高度（cm） 131 135 136 140 144 148 149 频数 红色 0 1 1 5 2 2 1 黄色 1 0 2 2 4 2 1 b．两种颜色月季花树高度的有关统计量： 统计量（cm） 平均数 中位数 众数 红色 142 140 m 黄色 142 n 144 请根据上述信息回答下列问题： （1）填空m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）在这两组花树中，高度的整齐度更好的是 　 　 （填“红色”或“黄色”）； （3）根据造型设计，现要从这两种颜色的花树中各选择10棵，使所选两种颜色花树高度的平均数尽可能接近，且方差都尽可能小．若黄色花树去掉了高度为131cm和149cm的两棵，则红色花树应去掉高度为多少的两棵？说明理由． 22．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 s2 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回答下列问题： （1）m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）求丙同学的面试成绩p； （3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对 　 　 同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （4）按笔试成绩占50%，面试成绩占50%选出综合成绩最高的同学是 　 　 （填“甲”、“乙”或“丙”）． 学科网（北京）股份有限公司 $$