精品解析：广东省江门市鹤山市昆仑学校2021-2022学年八年级上学期第二次综合训练数学试卷

鹤山市昆仑学校2021-2022学年度第一学期综合训练二 八年级 数学综合训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中是分式的是（　　） A. 2 B. C. D. 2. 一个多边形每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 3. 如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的最大周长为（　　） A. 20 B. 22 C. 23 D. 24 4. 数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A. 1号袋 B. 2号袋 C. 3号袋 D. 4号袋 6. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 1或 D. 或7 8. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 9. 某食堂有煤吨，原计划每天烧煤吨，现在每天节约煤吨，则可比原计划多烧（ ）天 A. B. C. D. 10. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点.当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为( ) A. 90° B. 80° C. 70° D. 60° 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11. 已知，，则的值是_________． 12. 已知点与点关于轴对称，则的值为______ ． 13. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 14. 边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度． 16. 如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则长为_______． 17. “杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律，如图表： 展开式 通过观察寻求规律，写出的展开式共有___项，各项系数的和是___． 三、解答题一（本题共有3小题，每小题6分，共18分） 18. 先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（3a﹣b）2-2b（a﹣b），其中 19. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格格点上． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A’B’C’； （2）若点D在图中所给的网格中的格点上，且以A、B、D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标． 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图，已知等边，点是的中点，过点作，垂足为点．过点作垂足为点， 若等边的边长为，求的长． 22. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 23. 如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于．求证： （1）； （2）若，，求长． 五、解答题三（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形．解答下列问题： （1）根据图中条件．请用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：　 　＝　 　； （2）如果图中的a，b（a＞b＞0）满足a2+b2＝57，ab＝12．则a+b＝　 　； （3）已知（5+x）2+（x+3）2＝60，求（5+x）（x+3）的值． 25. 如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． （1）当　　时，是直角三角形； （2）如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； （3）如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山市昆仑学校2021-2022学年度第一学期综合训练二 八年级 数学综合训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中是分式的是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：2，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式； 分母中含有字母，因此是分式． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 2. 一个多边形每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和，关键是掌握多边形的外角和为．由题意可知此多边形为正多边形，根据多边形外角和的性质求解即可． 【详解】解：由一个多边形每个外角都等于， 则正多边形的边数为． 故选：A． 3. 如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的最大周长为（　　） A. 20 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【详解】设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12， 由于第三边的长为偶数， 则a可以为4或6或8或10． ∴三角形的周长是 5+7+4=16或5+7+6=18或5+7+8=20或5+7+10=22． 故这个三角形的最大周长为22． 故选B． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题关键是掌握三角形三边关系． 4. 数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．先根据直角三角板的特殊性表示出各角的度数，再根据是的外角进行求出解答即可． 【详解】解：如图所示： 和是一副三角板叠放， ∴，，， 是的一个外角， ∴． 故选：D． 5. 如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A. 1号袋 B. 2号袋 C. 3号袋 D. 4号袋 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 6. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 7. 若关于的多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 1或 D. 或7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍．据此解答即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴， 则m的值为：或7． 故选：D． 8. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，BF=CF，推出∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，根据三角形内角和定理求出∠A+∠C的度数，即可求出∠ABE+∠CBF的度数，就能求出答案． 【详解】解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC， ∴AE=BE，BF=CF， ∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF， ∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°， ∴∠A+∠C=60°， ∴∠ABE+∠CBF=60°， ∴∠EBF=120°-60°=60°， 故选C． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，解此题的关键是求出∠A+∠C的度数，进一步求出∠ABE+∠CBF的度数，题目比较典型，难度不大． 9. 某食堂有煤吨，原计划每天烧煤吨，现在每天节约煤吨，则可比原计划多烧（ ）天 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据煤的总吨数除以每天用的吨数等于煤所用的天数，结合已知可以分别求出原计划可用的天数和实际可用的天数，再用实际可用的天数减去原计划用的天数就是多用的天数．. 【详解】解：学校食堂的煤原计划可用的天数为：， 实际用的天数为：， 则多用的天数为：． 故答案为D． 【点睛】主题主要考查列代数式，根据题意找出等量的关系是解题关键所在． 10. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点.当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为( ) A. 90° B. 80° C. 70° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上；作出A关于BC和CD的对称点A′，A″（图见解析），即可得出，根据等腰三角形的性质和外角得，即可得出答案. 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为的周长最小值.作DA延长线AH， 根据对称的性质可得，和都是等腰三角形 故选：B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、外角和邻补角的性质，通过作对称点将求周长最小的问题进行转化是解题关键. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11. 已知，，则的值是_________． 【答案】36 【解析】 【分析】根据求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 12. 已知点与点关于轴对称，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标关于轴对称规律，由关于轴对称点坐标为得，，即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 故答案为：． 13. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，需分子为零且分母不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式的值为零， ∴且， 解可得或， 当时，，故舍去， ∴， 故答案为：． 14. 边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将图形补全为边长为的长方形，进而根据阴影部分面积等与长方形面积的一半减去小正方形的面积即可求解 【详解】如图， 图中阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，添加辅助线求解是解题的关键． 15. 如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度． 【答案】66 【解析】 【分析】首先根据正五边形的性质得到度，然后根据角平分线的定义得到度，再利用三角形内角和定理得到的度数． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴度， ∵是的角平分线， ∴度， ∵， ∴． 故答案为66． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理． 16. 如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由EF是的垂直平分线，可得∠FAC=∠FCA，由是等边底边上的中线，点F在AD上，可知FA平分∠BAC，可求∠FCA=∠FAC=30°再求∠BCF=60°-∠ACF=30°证FC是交ACB的平分线，由性质可得FD=FE，在Rt△AFE中，∠FAE=30°由性质AF=2FE=2FD构造AD=3FD=9，FD=3， 【详解】解：连结CF， ∵EF是的垂直平分线， ∴AF=CF， ∴∠FAC=∠FCA， ∵是等边底边上的中线，点F在AD上， ∴FA平分∠BAC， ∴∠FAC=∠BAC=， ∴∠FCA=∠FAC=30°， 又∵∠ACB=60°， ∴∠BCF=60°-∠ACF=30°=∠ACF， ∴FC是交ACB的平分线， ∵FD⊥BC，FE⊥AC， ∴FD=FE， 在Rt△AFE中，∠FAE=30°， ∴AF=2FE=2FD，， ∴AD=3FD=9，FD=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，角平分线判定与性质，30°角直角三角形性质，利用AD=3FD构造方程是解题关键． 17. “杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律，如图表： 展开式 通过观察寻求规律，写出的展开式共有___项，各项系数的和是___． 【答案】 ①. 7 ②. 64 【解析】 【分析】本题考查数字类规律，多项式乘多项式，根据已有等式，得到的展开式中，共项，且所有系数的和为，进行求解即可． 【详解】解：由题可知：的展开式中，共一项，且所有系数的和为； 展开式中，共二项，且所有系数的和为； 展开式中，共三项，且所有系数的和为； 展开式中，共四项，且所有系数的和为； 展开式中，共五项，且所有系数的和为 ∴的展开式中，共项，且所有系数的和为； 则展开式共有7项，所有项的系数和为 故答案为：7，64 三、解答题一（本题共有3小题，每小题6分，共18分） 18. 先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（3a﹣b）2-2b（a﹣b），其中 【答案】；-13 【解析】 【分析】原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用完全平方公式展开,最后一项利用单项式乘多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,将a与b的值代入计算即可求出值. 【详解】原式=4a -b-(9a-6ab+b)-2ab+2b =-5a+4ab 当a=-1,b=2时，原式 =-5-8 =-13 【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值，解题关键在于把原式化简 19. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格格点上． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A’B’C’； （2）若点D在图中所给的网格中的格点上，且以A、B、D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】见解析 【解析】 【分析】试题分析：关于y轴对称，则点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，找出A、B、C三点关于y轴的对称点，然后顺次连接；根据等腰三角形的性质分别以点A和点B为顶点以及AD或BD的长度等于AB的长度找出点D的坐标． 【详解】（1）如图所示： （2）D：（-4，1）或（2，1）或（-4，4）或（2，4）． 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【答案】 证明：平分，， ，，， ， ， 又∵， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合三角形的角平分线的性质和定义证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】略 四、解答题二（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图，已知等边，点是的中点，过点作，垂足为点．过点作垂足为点， 若等边的边长为，求的长． 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质，可以求得∠ADF=30°，即可求得AD=2AF；即AF=1，CF=3，同样的道理，即可求得CF=2CH，即，根据BH=BC-CH即可求的BH的长． 【详解】在中， 是的中点， ， 在中， . 【点睛】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据30°对的边是斜边的一半解答． 22. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ， 平分， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质；理解角平分线的作法，掌握等腰三角形的判定及性质是解的关键． （1）由作法得平分，结合平行线的性质，即可求解； （2）由等角对等边得，由等腰三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：， ， ， 由作法得， 平分， ； 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于．求证： （1）； （2）若，，求长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明即可； （2）证明，则，继而求得的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，D为中点， ∴， ∵，， 且平分， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题三（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形．解答下列问题： （1）根据图中条件．请用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：　 　＝　 　； （2）如果图中的a，b（a＞b＞0）满足a2+b2＝57，ab＝12．则a+b＝　 　； （3）已知（5+x）2+（x+3）2＝60，求（5+x）（x+3）的值． 【答案】（1）（a+b）2；a2+2ab+b2；（2）9；（3）28 【解析】 【分析】（1）第一种表示方法：利用正方形的面积公式，可得：（a+b）（a+b）＝（a+b）2；第二种方法：可看作四个图形的面积之和，可得：ab+a2+b2+ab＝a2+2ab+b2，从而可得结果； （2）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，利用已知条件，结合完全平方公式即可求解； （3）利用（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，把已知的条件构造出有所求的式子的形式，从而可以求得结果． 【详解】解：（1），， 则（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2； （2）∵a2+b2＝57，ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab ＝57+12×2 ＝81， ∴a+b＝9（舍负）， 故答案为：9； （3）∵（5+x）2+（x+3）2＝60， ∴（5+x）2﹣2（5+x）（x+3）+（x+3）2+2（5+x）（x+3）＝60， [（5+x）﹣（x+3）]2+2（5+x）（x+3）＝60， （5+x﹣x﹣3）2+2（5+x）（x+3）＝60， 22+2（5+x）（x+3）＝60， 2（5+x）（x+3）＝56， （5+x）（x+3）＝28． 答：（5+x）（x+3）的值为28． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 25. 如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． （1）当　　时，是直角三角形； （2）如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； （3）如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】（1） （2）当为或时，是直角三角形 （3）的长度不变化，为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； 【小问3详解】 解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $