第六单元 比的认识 （讲义）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

本讲义聚焦“比的认识”单元，含思维导图、知识点梳理（比的意义、基本性质、化简比、求比值、按比分配、连比）及培优练习，构建从概念理解到应用拓展的完整学习支架。 资料以核心素养为导向，思维导图培养抽象能力（数学眼光），易错点提示强化推理意识（数学思维），培优练习结合生活情境发展模型意识（数学语言）。课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升学习实效。

第六单元 比的认识 【思维导图+知识点梳理+培优练习】 思维导图 知识点梳理 知识点一：比的意义 1.定义： 两个数相除，又叫做这两个数的比。 2.各部分名称： 在比中，“:”是比号。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如： a : b = a ÷ b = c (b ≠ 0) 3.比的读写法： （1）写法：可以写成“几比几”的形式，如3比2写作 3:2；也可以写成分数形式，如（仍读作3比2）。 （2）读法：按照“前项比后项”的顺序读，如2:3读作“二比三”。 4.比与除法、分数的联系： （1）比的前项相当于被除数、分子； （2）比号相当于除号、分数线； （3）比的后项相当于除数、分母（注意：比的后项不能为0）； （4）比值相当于商、分数值。 5.比的后项不能为0的原因： 因为比的后项相当于除法中的除数，分数中的分母，而除数和分母都不能为0，所以比的后项也不能为0。（体育比赛中的“几比几”是比分，不是数学意义上的比）。 易错点提示： （1）混淆“比”和“比值”的概念： 比表示两个数的关系，由前项、比号、后项组成（如3:2）；比值是一个数，可以是整数、分数或小数（如3:2的比值是1.5或）。 （2）比的后项为0： 错误地认为比的后项可以为0，尤其是受体育比赛比分的影响。 （3）颠倒比的前项和后项： 在描述两个量的比时，没有弄清谁是前项，谁是后项。例如：“男生人数与女生人数的比是3:2”不能说成2:3，除非明确说明是女生与男生人数的比。 （4）错误理解比的意义： 例如，认为“1:2”就是“一半”，而忽略了它表示的是两个量之间的倍数关系。 知识点二：比的基本性质 1.内容： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。 例如：6:8 = (6÷2) : (8÷2) = 3:4； 3:5 = (3×3) : (5×3) = 9:15。 2.依据： 比的基本性质是由分数的基本性质和商不变的性质推导而来的。 易错点提示： （1）同时乘或除以的数包含0： 忘记“0除外”这个条件，在化简比或进行其他操作时，错误地除以0或乘0。 （2）只乘或除以比的前项或后项： 没有做到“同时”对前项和后项进行相同的运算，导致比值改变。 （3）与分数的基本性质、商不变性质混淆： 虽然它们本质相通，但表述和应用场景略有不同，需注意区分。 知识点三：化简比 1.定义： 把一个比化成最简整数比的过程叫做化简比。 2.最简整数比： 比的前项和后项都是整数，并且是互质数（即前项和后项的最大公因数是1）。 3.化简方法： （1）整数比化简： 比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （2）分数比化简： 比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再进行化简；或者用前项除以后项，得到比值后再写成比的形式。 （3）小数比化简： 先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再进行化简。 （4）含有单位的比化简： 先统一单位，再按照上述方法化简。 易错点提示： （1）化简比的结果不是最简整数比： 例如，将4:6化简为2:3是正确的，若只化简为2:3的某个倍数形式或分数形式（如）则错误。 （2）混淆“化简比”和“求比值”： 化简比的结果必须是一个比（如3:4），而求比值的结果是一个数（如0.75或）。这是本单元最容易混淆的知识点之一！ （3）小数比化简时小数点移动位数不一致： 前项和后项移动的小数位数不同，导致转化成的整数比错误。 4.分数比化简时，错误地将前项乘后项分母，后项乘前项分母： 应该是同时乘分母的最小公倍数，或者用前项除以后项（转化为乘法）。 5.忽略单位： 对于带有单位的两个量的比，未先统一单位就直接化简。例如，1米:50厘米，应先化为100厘米:50厘米=2:1。 知识点四：求比值 1.定义： 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 2.方法： 求比值就是用比的前项除以比的后项。 3.结果形式： 比值可以是整数、分数（最简分数）或小数。 易错点提示： （1）与化简比混淆： 再次强调，求比值的结果是一个数，而化简比的结果是一个比。例如，4:6的比值是或0.666...，化简比是2:3。 （2）计算错误： 进行除法运算时出现计算失误，特别是分数除法和小数除法。 （3）结果不是最简形式： 比值如果是分数，要化成最简分数。 知识点五：比的应用——按比分配 1.意义： 把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫做按比分配。 2.解题步骤（常见方法）： 方法一（归一法）： （1）先求出总份数：前项 + 后项（或更多项之和）。 （3）再求出一份的数量：总量 ÷ 总份数。 （3）最后求出各部分的数量：一份的数量 × 各部分对应的份数。 方法二（分数法）： （1）先求出总份数：前项 + 后项（或更多项之和）。 （2）再求出各部分数量占总数量的几分之几： 。 （3）最后求出各部分的数量：总量 × 各部分占总数的几分之几。 3.关键： 明确所分配的总量是什么，以及按照什么比进行分配。 易错点提示： （1）混淆分配的各项顺序： 例如，按3:2分配给甲和乙，甲对应3份，乙对应2份，不能颠倒。 （2）总份数计算错误： 当比的项数多于两项时，容易漏加或错加份数。 （3）“总量”与“部分量”混淆： 没有找准题目中需要分配的“总量”是多少。 （4）计算错误： 尤其是在分数乘法或除法环节容易出错。 （5）结果忘记带单位： 在解决实际问题时，求出的各部分数量要带上相应的单位。 （6）按比分配问题中，直接用比的前项和后项作为具体数量： 例如，认为“甲、乙的数量比是3:2，甲就是3，乙就是2”，而忽略了总量。 知识点六：比的意义的拓展与应用（连比） 1.连比： 表示三个或三个以上量之间的倍比关系。例如，a:b:c。 2.注意： 连比中的各项同样适用比的基本性质，可以同时乘或除以同一个不为0的数。但连比不能直接理解为连除。 3.应用： 连比的应用与两个量的比的应用类似，也是按比分配，只是总份数是三个或更多份数之和。 易错点提示： （1）错误理解连比的含义： 认为a:b:c = a÷b÷c，这是不正确的。它表示a与b的比是a:b，b与c的比是b:c，或a、b、c三者之间的比例关系。 （2）连比化简时，各项乘除不一致： 没有将每一项都同时乘或除以同一个非零数。 （3）将两个独立的比直接写成连比： 例如，甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，不能直接写成甲:乙:丙=2:3:5，需要统一中间量“乙”的份数，再写成连比（甲:乙=8:12，乙:丙=12:15，所以甲:乙:丙=8:12:15）。 培优练习 一、填空题 1．在12：0.6中， 比的前项是　 　， 求出的比值是　 　， 化成最简整数比是　 　。 2．　 　÷40= = 9：　 　=　 　(填小数) =　 　：100。 3．在学校趣味运动会上，乔乔、佳佳、贝贝三人踢毽子，乔乔踢的个数与佳佳的比是 3∶4，佳佳与贝贝踢的个数比是 6∶5，已知三人一共踢 310 个，乔乔踢了　 　个。 4．一根长 60 厘米的铁丝，正好围成一个长和宽的比是 3：2 的长方形， 这个长方形的长是　 　厘米 ， 宽是　 　厘米。 5．一个等腰三角形，它的两个内角度数的比是2∶5，如果它是锐角三角形，那么它的顶角是　 　°。 6． 配制一种用于喷洒庄稼的药水，农药和水的质量比是 1 ：150。现有 3千克农药，需要加　 　千克的水。 7． 在数学阅读活动中，小华阅读一本《九章算术》青少年版，从第一页开始看起，已经看了全书的 ，正好是123页。未看的页数与已看的比是　 　。 8．小方这次期中考试，语、数、英三科的成绩比是7∶9∶8，这三科的平均分是88分，则数学考了　 　分。 9．一批零件，师傅单独加工需要 10天完成，徒弟单独加工需要 15 天完成，师徒所用时间的最简单的整数比是　 　。师徒工作效率的最简单的整数比是　 　。 10．下表是妈妈做水蒸蛋搭配表。妈妈的水蒸蛋中两种实物搭配的最简比是　 　。现有120克鸡蛋，如果按同样的比，能做出　 　克水蒸蛋。 鸡蛋 水 50克 100克 二、判断题 11．既可以看作一个比，也可以看作一个分数。（　　） 12．一场比赛的比分是5：0，所以比的后项可以为0。（　　） 13．李红身高1m，她妈妈身高165cm，李红和她妈妈身高的比是1：165。（　　） 14．梨子和橙子的单价比是2：3，梨子的单价只能是2元，橙子的单价只能是3元。（　　） 15．有一杯糖水，糖与水的质量比是1∶10，喝掉一半后，糖与水的质量比是1∶5。（　　） 三、选择题 16． 一个比的前项是6，比值是 ，这个比的后项是（　　）。 A． B．10 C． D． 17．把5：8的前项加10，要使比值不变，后项应该加上（　　）。 A．10 B．16 C．24 D．20 18．甲地到乙地，快车用小时，慢车用1小时，快车和慢车的速度比是（　　）。 A．：1 B．2：3 C．3：2 D．5：3 19．奇奇有3种课外书共40本，其中历史书有4本，故事书和科普书都至少有1本，则故事书和科普书的比不可能是（　　）。 A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．5：4 20．甲、乙两辆垃圾清运车从垃圾处理站出发回收垃圾。两车背向而行，行驶了0.5h后，两车相距85km，甲、乙两车的速度比是8∶9，乙车比甲车每小时快（　　）km。 A．15 B．12 C．10 D．20 四、计算题 21．化简下列各比。 0.5∶ 0.5小时∶40分钟 22．求比值。 6.4：0.16 34：51 五、操作题 23．在下图中画一个长方形，使长方形的面积是24平方厘米，长和宽的比为3：2。（每一格的边长为1cm） 六、解决问题 24．六(1)班和六(2)班订《少年科学》的人数之比为3：4，六(1)班有21人订，两个班一共有多少人订？ 25．一种农药是把生石灰、硫磺、水按1：2：10的比熬制而成的。一位果农准备了10kg硫磺，请你算一算，还需准备多少千克生石灰和水？ 26．某厂6天生产T恤24000件．照这样计算，把4天生产的T恤按2：3的数量比分配给加加和利利两家专卖店。这两家专卖店各分到多少件？ 27．妈妈生日那天，天天买了一大束花送给妈妈，特意选用康乃馨、水百合和满天星三种花按照3：2：8的比例包扎起来，一共包了52枝花，那么在这束花中，康乃馨有几枝？ 28．一个长方体的棱长总和是72厘米。长、宽、高的比是4：3：2，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 29．周末，同学们去菜地帮王奶奶种蔬菜，菜地有180平方米，其中的面积种黄瓜，剩下的按2：3的面积比种植茄子和辣椒，这三种蔬菜的种植面积各是多少平方米？ 30．培英小学将六年级的140名学生分成三个小组进行模拟世界峰会活动。已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？ 参考答案 1．12；20；20：1 2．2；180；0.05；5 3．90 4．18；12 5．30 6．450 7．1：3 8．99 9．2：3；3∶2 10．1：2；360 11．正确 12．错误 13．错误 14．错误 15．错误 16．B 17．B 18．C 19．C 20．C 21．解：0.5∶ ＝（0.5×10）∶（×10） ＝5∶2 ＝ ＝ 24∶36 ＝（24÷12）∶（36÷12） ＝2∶3 0.5小时∶40分钟 ＝（0.5×60）分钟∶40分钟 ＝30∶40 ＝（30÷10）∶（40÷10） ＝3∶4。 22．解：=×2= =0.75÷= =24÷=64 6.4：0.16=6.4÷0.16=40 =2.25÷=4.05 34：51=34÷51= 23．解：因为6厘米×4厘米=24（平方厘米） 6厘米：4厘米=3：2 所以长方形的长画6厘米，宽画4厘米， 24．解：21÷3×4＋21 =7×4＋21 =28＋21 =49（人） 答：两个班一共有49人订。 25．解：10÷2=5（千克） 5×1=5（千克） 5×10=50（千克） 答：还需准备5千克生石灰和50千克水。 26．解：24000÷6＝4000（件） 4000×4＝16000（件） 16000×＝6400（件） 16000×＝9600（件） 答：这两家专卖店分别分到6400件和9600件。 27．解：52× =52× =12（枝） 答：康乃馨有12枝。 28．解：72÷4=18（厘米） 18÷（4＋3＋2） =18÷9 =2（厘米） （2×4）×（2×3）×（2×2） =8×6×4 =48×4 =192（立方厘米） 答：这个长方体的体积是192立方厘米。 29．解：180×=120（平方米） 180-120=60（平方米） 茄子：60×=60×=24（平方米） 辣椒：60-24=36（平方米） 答：种黄瓜120平方米，种植茄子24平方米，种植辣椒36平方米。 30．解：第一小组和第二小组人数的比是2：3，化为8：12； 第二小组和第三小组人数的比是4：5化为12：15； 第一小组、第二小组、第三小组人数的比是8：12：15； 三个小组的总人数是8+12+15=35，第一小组是总人数的，第二小组是总人数的，第三小组是总人数的； 第一小组：140×=32（人） 第二小组：140×=48（人） 第三小组：140×=60（人） 答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$