暑假作业15：开学前摸底考试综合练习卷2025-2026学年高一数学人教B版（2019）

人教B版高一暑假作业15：开学前摸底考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2024·江苏省·单元测试)已知复数，为虚数单位，则等于(    ) A. B. C. D. 2.(2024·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)已知集合，若，则实数的取值集合为(    ) A. B. C. D. 3.(2024·山东省济宁市·期末考试)若，满足，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.(2024·全国·单元测试)函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 5.(2024·福建省·月考试卷)甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为(    ) A. B. C. D. 6.(2025·浙江省杭州市·其他类型)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态。若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.(2024·重庆市市辖区·联考题)已知平面内一正三角形的外接圆半径为，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动点，则最大值为(    ) A. B. C. D. 8.(2024·广东省中山市·月考试卷)定义运算：，将函数的图象向左平移的单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.(2024·浙江省·月考试卷)已知四边形是边长为的正方形，为平面内一点，则(    ) A. 最小值为 B. 最大值为 C. 无最小值 D. 无最大值 10.(2024·湖北省襄阳市·期中考试)在中，角，，的对边分别为，，，则下列条件能判断是钝角三角形的有(    ) A. B. C. D. 11.(2025·辽宁省·联考题)已知正实数，满足，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2024·重庆市·其他类型)四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，，且，则此球的体积等于          ． 13.(2024·湖南省·期末考试)设向量，满足，，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是          ． 14.(2025·北京市·模拟题)已知函数，给出下列四个结论： ； 存在，使得； 对于任意的，都有； 对于任意的，都有． 其中所有正确结论的序号是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(2025·吉林省长春市·期中考试)本小题分 已知集合，． 若，求 若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 16.(2024·广东省揭阳市·期末考试)本小题分 某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”单位：小时，按照，，，分成组，制成样本的频率分布直方图如图所示． 求图中的值 估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数 采用分层抽样的方法从，这两组中抽取人，再从人中随机抽取人，求抽取的人恰好在同一组的概率． 17.(2025·浙江省温州市·其他类型)本小题分 温州市初中毕业生体育学业测试项目中，耐力类男生米女生米为必考项目。现一体重为的小明准备做四分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后三分钟的疲劳阶段。假设小明稳定阶段做速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力表示该阶段所用时间，疲劳阶段变为的减速运动表示该阶段所用时间，由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力。假定小明可用于跑步消耗的初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为单位，请回答下列问题： 写出小明剩余体力关于时间的函数 小明在四分钟内何时体力达到最低，最低值是多少 小明在三分整时，恰好跑完米，若此时他准备做匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力表示该阶段所用时间，问在保证体力未消耗完的前提下，小明能否在分前跑完一千米 18.(2024·江苏省苏州市·单元测试)本小题分 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，． 求三棱锥的体积； 已知为棱上的点，证明：． 19.(2025·重庆市·期末考试)本小题分 我们知道，函数图象关于原点对称的充要条件是，结合函数图象平移等知识，该结论可以推广为：函数图象关于点对称的充要条件是． 阅读以上材料，解答下列问题： 直接写出函数图象的对称中心： 若函数， 求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心点的坐标； 已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对，使得，求实数的取值范围． 1.【答案】  【解析】  解：． 故选D． 2.【答案】  【解析】 解：集合， 又，， 所以， 故实数的取值集合为． 故选C． 3.【答案】  【解析】 解：依题可得，，为方程的两个不等实根， 所以，， 所以． 故选：． 4.【答案】  【解析】 解：因为 ，且定义域为，所以函数  是偶函数， 所以函数图象关于  轴对称，可排除选项，由  ，可排除选项  ， 故选C． 5.【答案】  【解析】 解：由题意可设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是， 则不获一等奖的概率分别是， 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：  ， 这三人都获得一等奖的概率为， 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率． 故选：． 6.【答案】A  【解析】 解：设系统  和系统  在任意时刻发生故障的事件分别为和． 方法一：小区处于安全防范状态的概率为   ， 解得  ，故  的最大值为  故选A． 方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为  ，解得  ，故  的最大值为  故选A． 7.【答案】  【解析】 解：如图建立坐标系，则点，，， 设点，且， 则． 所以当，时原式有最大值为． 故选A． 8.【答案】  【解析】 解：， 函数可化为， 再向左平移个单位，即为：， 记函数， 又由题知为偶函数， 所以，即， 又，则当时，取最小值为． 9.【答案】  【解析】 解：建立如图所示的直角坐标系， 则，，，设， 则，，，， 所以， 所以当，时，取得最小值，无最大值． 故选AD． 10.【答案】  【解析】 解： 对于，由及正弦定理，可得，即，所以或， 所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A不能判断 对于，由，得，则为钝角，故B能判断 对于，由正弦定理，得，则，，故C能判断 对于，由及正弦定理化边为角，可知，即， 因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故D不能判断． 故选BC． 11.【答案】ACD  【解析】解：项，， ， ，， ， ， ，当且仅当时取等号，故A项正确． 项，，，， ， ， 当且仅当即时取等号，故B项错误． 项，解法一：， ， ， ，同理， ， ， ，当且仅当，即时取等号： 解法二：， 当且仅当时取等号，故C项正确． 项．， ， ， ，当且仅当时取等号，故D项正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】 解：如图， 由已知可得，底面四边形为等腰梯形， 设底面外接圆的圆心为，连接，则， ，又，设四棱锥外接球的球心为， 则，即四棱锥外接球的半径为． 此球的体积等于 故答案为： 13.【答案】  【解析】 解：由，，，的夹角是， 得，，． 所以， 欲使夹角为钝角，则，得． 设，所以且，所以，所以，此时，向量与的夹角为． 所以夹角为钝角时，实数的取值范围是． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】 解：， ， ， 故，故错误； 欲比较与的大小，等价于比较与的大小． 令，容易知道在上单调递减，且，，由零点 存在定理可知，使得，， 即，， 即， 故存在，使得，故正确 当时，， 故， ，即，故正确； 由对的分析可知，，，， 下面只讨论，． 此时，容易得出 所以，欲证 即证， 因为， 所以 下证：， 转为为整式，等价于证明：，， 所以； 同理可得，，也有，故正确， 故答案为． 15.【答案】解：时，，或． 所以． 若“”是“”的必要条件，则A. 当，即时，，符合题意 当，即时，， 要满足，可得，解得． 综上，实数的取值范围为  16.【答案】解：解：由题意，高一学生周末“阅读时间”在，，，的频率分别为，，，，，，，，． 由， 得． 设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时， 因为前组频率和为，前组频率和为， 所以， 由，得； 由题意得，周末阅读时间在，中的人分别有人、人，按分层抽样的方法应分别抽取人、人，分别记作，，及，，，  从人中随机抽取人，这个试验的样本空间， ，共包含个样本点，且这个样本点出现的可能性相等，  抽取的人在同一组包含的样本点有，，，，，，，，，共个，  故所求概率  17.【答案】当时，． 当时， ． 综上． 当时，为一次函数且单调递减， 此过程， 当时，， 当且仅当，即时取“”． 由于，第秒时，体力为最小值 当时，此时． 冲刺时，体力消耗量为 ， 要使在三分四十前到达，需要，，所以小明不能在分前跑完一千米  18.【答案】解：在直三棱柱中，， 又，，，平面， 平面， ， 平面，又平面， ， 又，故， ， 而侧面为正方形， ， ，即三棱锥的体积为； 证明：如图，取中点，连接，，设， 点是的中点，点时的中点， ， ， 、、、四点共面， 由可得平面， 平面，又平面， ， ，且这两个角都是锐角， ， ， ， 又，，平面， 平面， 又平面， ．  19.【答案】解：函数定义域为，令， 则 ，因此函数的图象关于点对称， 所以数图象的对称中心是． 函数中，，即，解得， 因此函数的定义域为， ， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心点的坐标为． ，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当时，，而， 则函数在上的值域为， 由函数的图象关于点对称，得，即， 当时，，则当时，， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则函数在上单调递增，， 由对，使得，得函数在上的值域包含于， ，当，即时，， ，解得，因此； 当，即时，，， ，函数在上的值域包含于，因此； 当，即时，，， ，函数在上的值域包含于，因此； 当时，，， 解得，因此， 所以实数的取值范围是． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$