精品解析：安徽省合肥市庐江县柯坦初级中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

柯坦中学八年级上学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 计算：（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A. 21：05 B. 21：15 C. 20：15 D. 20：12 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 5. 如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 6. 如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ） A. 负数 B. 正数 C. 非负数 D. 非正数 8. 已知，，，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D．若，，则的周长是（ ） A. B. C. 3a D. 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为16，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若一个长方形的面积为，其长为，则宽为___________． 12. 如图，在与中，E在边上，，，，若，则的度数为______． 13. 如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____． 14. 现有3张A卡片、10张B卡片、8张C卡片，A，B，C卡片的边长如图所示，从这三种卡片中抽取若干张（每种卡片至少取一张），使其紧密地拼接成一个几何图形甲． （1）若甲为正方形，且边长为，则取了______张C卡片； （2）若甲为长方形，且面积为，则满足条件的整数n的值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 16. 因式分解： （1）； （2）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图，在中，是边上一点，以为边在右侧作，使，连接． （1）求证： （2）若，求的度数 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）若，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 20. 如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，即，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，则______； （2）若，求的值； （3）已知，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． （1）如图1，若G为中点，，求的长； （2）如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 八、（本题满分14分) 23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） （2）设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； （3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柯坦中学八年级上学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 计算：（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂．根据零指数幂的运算法则，任何非零实数的0次幂都等于1，即可求解． 【详解】解：． 故选：C 2. 从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A. 21：05 B. 21：15 C. 20：15 D. 20：12 【答案】A 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称. 【详解】由图分析可得题中所给的“20∶15”与“21∶05”成轴对称，这时的时间应是21∶05，故答案选A. 【点睛】本题主要考查了镜面反射的原理与性质，解本题的要点在于应认真观察，注意技巧. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除、积的乘方．需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】解：选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，原计算结果错误，不符合题意； 选项B：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，应为，原计算结果错误，不符合题意； 选项C：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，原计算结果错误，不符合题意； 选项D：根据积的乘方，，原计算结果正确，符合题意； 故选：D． 4. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 5. 如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】 【详解】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 由判定，然后由该全等三角形的对应角相等证得是的平分线． 【解答】解：在和中， ∴ ∴， ∴是的平分线， ∴依据的数学原理是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：B． 6. 如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 【详解】解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 7. 如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ） A. 负数 B. 正数 C. 非负数 D. 非正数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 8. 已知，，，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，中，，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D．若，，则的周长是（ ） A. B. C. 3a D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据等边对等角求出，，进而求出，，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】解：中，，， ， 如图，连接， 由作图知，， ， ， ， ， ， 的周长， 故选B． 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为16，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键． 设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则，可得，再由完全平方公式的变形可得，然后根据图1的阴影部分面积为，即可求解． 【详解】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则， ∵甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为16， ∴， ∴，， ∴， ∵点H为的中点， ， ∴图1的阴影部分面积为 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若一个长方形的面积为，其长为，则宽为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据整式的除法运算即可求出答案． 【详解】解：宽为． 故答案为：. 【点睛】本题考查整式的除法运算，解题的关键是熟练运用整式的除法运算法则，本题属于基础题型． 12. 如图，在与中，E在边上，，，，若，则的度数为______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理．证明得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____． 【答案】130度##130° 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出∠FAE的度数，再根据三角形外角的性质得出∠AFB的度数即可． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点， ∴∠EAF＝∠BAC＝×60°＝30°， ∵∠AEB＝100°， ∴∠AFB＝∠AEB＋∠EAF＝30°＋100°＝130°， 故答案为：130°． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14. 现有3张A卡片、10张B卡片、8张C卡片，A，B，C卡片的边长如图所示，从这三种卡片中抽取若干张（每种卡片至少取一张），使其紧密地拼接成一个几何图形甲． （1）若甲为正方形，且边长为，则取了______张C卡片； （2）若甲为长方形，且面积为，则满足条件的整数n的值为_____． 【答案】 ①. 4 ②. 6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式及多项式乘以多项式的几何应用，能熟练利用完全平方公式及多项式乘以多项式的几何应用解决问题是解题的关键． （1）由正方形的面积得，即可求解； （2）分两种情况讨论:若长方形甲的长为，宽为；长方形甲的长为，宽为， 求解即可． 【详解】解：（1）正方形的面积为： ， C卡片的面积为， 取了张C卡片， 故答案为：； （2）若长方形甲的长为，宽为， ， ； 若长方形甲的长为，宽为， ， 此时需要9张C卡片，不合题意； 综上，， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的结果中不含某项，先计算多项式的乘法，合并同类项，再根据不含某项建立方程求解即可. 【详解】解：原式， 的展开式中不含x的二次项和一次项， ， 解得． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解即可； （2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）40 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用，能熟练利用幂的运算公式的逆用进行求解是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式逆用得，即可求解； （2）由幂的乘方及同底数幂的除法公式逆用得，即可求解； 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 18. 如图，在中，是边上一点，以为边在右侧作，使，连接． （1）求证： （2）若，求的度数 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， 在和中 ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明三角形全等即可． （2）证明，推出，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答： 的度数为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）若，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】（1） （2）5700元 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2）将，代入求出面积，然后乘以单价即可． 【小问1详解】 解：由题意得，“T”型图形的面积为： 平方米． 【小问2详解】 解：当时，， 修建文化广场所需要的费用为：（元）． 20. 如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 结论：是等边三角形． ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，是边上的中线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，即，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，则______； （2）若，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）31 （2）15 （3）119 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）由题意得到，根据完全平方公式得出，化简即可求解． （3）将两边平方，求出，再将两边平方，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：31； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． （1）如图1，若G为中点，，求的长； （2）如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）8 （2）；理由见解析 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定． （1）证明，根据全等三角形的性质即可求解． （2）在上截取，如图，证明，再证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：， ， ， ∵G为中点， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：线段和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 八、（本题满分14分) 23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） （2）设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； （3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 【答案】（1）是 （2）是；理由见解析 （3）①见解析 ②不是；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，因式分解的应用． （1）由可得答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； （3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论； ②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴36是神秘数， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：是，理由如下： ， 因为k是非负整数， 所以是正整数， 所以由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数； 【小问3详解】 解：①设长方形相邻两边的长分别为(m为正整数)， 所以长方形的周长为， 由（2）知，神秘数一定可以用（k为非负整数)表示， 所以是神秘数； ②不是，理由如下： 设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数)， 所以长方形的面积为， 因为k是非负整数， 所以是奇数， 因为和是连续的正整数， 是偶数， ∴， 所以长方形的面积不是神秘数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $