14.3 角的平分线（新课预习.培优卷）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

新课预习.培优卷 14.3 角的平分线 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•高新区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线BC上的动点，连接AE，∠BAE的平分线与BD交于点P，若∠CAE＝20°，则∠APB的度数为（　　） A．120° B．145° C．125°或145° D．120°或145° 2．（2025春•海口期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（　　） A． B．AE＝BE C．DE⊥AB D．∠ADC＝∠ADE 3．（2025春•顺德区校级月考）如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　） A．18° B．16° C．14° D．12° 4．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD，CE相交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝3，BC＝9，则△CDF的面积为（　　） A． B． C． D．6 5．（2025春•渭城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 6．（2025•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD和AE分别为ABC的高和角平分线，CD和AE相交于点F，已知AB：AC＝5：3，则CF：FD＝（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 7．（2025•立山区三模）如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（　　） A．66° B．77° C．78° D．101° 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•长清区期中）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　 cm． 9．（2025•河南模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是　 　 ． 10．（2025•高青县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积是　 　 ． 11．（2025春•龙凤区期中）如图，O为△ABC内角平分线交点，过点O的直线交AB、BC于M、N，已知BN＝MN＝5，BM＝6，则点O到AC的距离为 　 　 ． 12．（2025春•榕城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．当t＝ 　 　 时，BP恰好平分∠ABC． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•鼓楼区校级期末）如图：四边形ABCD，AE平分∠BAD，交BC于点E． （1）在线段AE上求作一点P，使点P到边BC和边CD的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在第（1）题的条件下，连接PC，若∠B＝60°，∠APC＝∠D，求∠D的度数． 14．（2025•雨花区校级三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点B为圆心，以任意长为半径作弧交BA，BC于点M，N，以点M，N为圆心，以大于的长为半径分别作弧，两弧交于点P．连接BP并延长交AC于点D． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线BD是∠ABC的 　 　 ； （2）若AB＝8，AC＝6，求AD的长． 15．（2025春•隆昌市校级期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A（请补齐空白处）． 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠1∠ABC，　 　 ， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠1+∠2∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣　 　 ＝90°∠A． 【探究2】如图2，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由； 【应用】如图3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，已知AB不平行与CD，AC、BD分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，又CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，则∠E＝　 　 ； 【拓展】如图4，直线MN与直线PQ相交于O，∠MOQ＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO＝　 　 ． 新课预习.培优卷 14.3 角的平分线 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•高新区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线BC上的动点，连接AE，∠BAE的平分线与BD交于点P，若∠CAE＝20°，则∠APB的度数为（　　） A．120° B．145° C．125°或145° D．120°或145° 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】当E在线段BC上时，由角平分线定义求出∠ABP＝15°，由直角三角形的性质求出∠BAC＝60°，得到∠BAE＝40°，由角平分线定义求出∠BAP＝20°，由三角形内角和定理即可求出∠APB的度数；当E在BC的延长线上时，求出∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝80°，由角平分线定义求出∠BAP＝40°，由三角形内角和定理即可求出∠APB的度数，即可得到答案． 【解答】解：当E在线段BC上时， ∵∠ABC＝30°，BD平分∠ABC， ∴∠ABP∠ABC＝15°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝40°， ∵AP平分∠BAE， ∴∠BAP∠BAE＝20°， ∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝145°； 当E在BC的延长线上时， ∵∠ABC＝30°，BD平分∠ABC， ∴∠ABP∠ABC＝15°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝80°， ∵AP平分∠BAE， ∴∠BAP∠BAE＝40°， ∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝125°， 综上所述，∠APB＝125°或145°． 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形，关键是要分两种情况讨论． 2．（2025春•海口期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（　　） A． B．AE＝BE C．DE⊥AB D．∠ADC＝∠ADE 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；几何直观；推理能力． 【答案】B 【分析】根据尺规作图的痕迹，得到AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，Rt△CAD≌Rt△EAD（HL），再逐项判断即可． 【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴， 故A不符合题意；C不符合题意； ∵∠ACB＝90°， ∴DE＝DC， 在Rt△CAD和Rt△EAD中， ， ∴Rt△CAD≌Rt△EAD（HL）， ∴∠ADC＝∠ADE， 故D不符合题意； 无法证明AE＝BE， 故B符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 3．（2025春•顺德区校级月考）如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　） A．18° B．16° C．14° D．12° 【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理． 【专题】作图题；三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】先根据作图得出DE是AB的垂直平分线，得出AE＝BE，推出∠BAE＝∠B＝38°，再根据垂直的定义得出∠AFB＝90°，求出∠BAF＝52°，最后可得出答案． 【解答】解：根据作图可知，DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B＝38°， 由条件可知∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°， ∴∠EAF＝∠BAF﹣∠EAF＝14°， 故选：C． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD，CE相交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝3，BC＝9，则△CDF的面积为（　　） A． B． C． D．6 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】由角平分线的性质推出FH＝FE＝3，由AD为BC边上的中线，得到CDBC，即可求出△CDF的面积． 【解答】解：过F作FH⊥BC于H， ∵BF平分∠ABC，FE⊥AB， ∴FH＝FE＝3， ∵AD为BC边上的中线，BC＝9， ∴CDBC， ∴△CDF的面积CD•FH． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出FH＝FE． 5．（2025春•渭城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，再利用三角形内角和定理得到∠BPC＝90°∠A，然后把∠A＝100°代入计算即可． 【解答】解：∵PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，PD＝PE＝PF， ∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°∠ABC∠ACB＝180°（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∵∠A＝100°， ∴∠BPC＝90°100°＝140°． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线得性质定理的逆定理是解决问题的关键． 6．（2025•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD和AE分别为ABC的高和角平分线，CD和AE相交于点F，已知AB：AC＝5：3，则CF：FD＝（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】过F作FG⊥AC于G，由角平分线的性质推出FG＝FD，由三角形的面积公式推出CF：FD＝AC：AD，判定△CAD∽△BAC，推出AC：AB＝AD：AC，令AB＝5k，AC＝3k，求出ADk，即可得到CF：FD＝AC：AD＝5：3． 【解答】解：过F作FG⊥AC于G， ∵AE平分∠CAB，FD⊥AB， ∴FG＝FD， ∵△ACF的面积AC•FG，△AFD的面积AD•FD， ∴△ACF的面积：△AFD的面积＝AC：AD， ∵△ACF的面积：△AFD的面积＝FC：FD， ∴CF：FD＝AC：AD， ∵CD为△ABC的高， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∵∠CAD＝∠CAB， ∴△CAD∽△BAC， ∴AC：AB＝AD：AC， ∵AB：AC＝5：3， ∴令AB＝5k，AC＝3k， ∴3k：5k＝AD：3k， ∴ADk， ∴CF：FD＝AC：AD＝5：3． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出FG＝FD，由三角形的面积公式得到CF：FD＝AC：AD，判定△CAD∽△BAC，推出AC：AB＝AD：AC． 7．（2025•立山区三模）如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（　　） A．66° B．77° C．78° D．101° 【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理． 【专题】作图题；运算能力． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求解． 【解答】解：∵∠B＝34°，∠ACB＝78°， ∴∠BAC＝68°， 由作图得：AE平分∠BAC，EF垂直平分BC， ∴∠CAE∠BAC＝34°，BF＝CF， ∴∠BCF＝∠B＝34°， ∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝44°， ∴∠α＝∠CAE+∠ACF＝78°， 故选：C． 【点评】本题考查了作图—基本作图，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•长清区期中）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　3　 cm． 【考点】角平分线的性质；垂线段最短． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝3cm，然后根据垂线段最短求解． 【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图， ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB， ∴PH＝PD＝3cm， ∵点E是射线OB上的动点， ∴PE的最小值为3cm． 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短． 9．（2025•河南模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是　6　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】6． 【分析】根据角平分线的性质求出DE，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝2， ∴DE＝2， ∴， 即△ABD的面积为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 10．（2025•高青县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积是　5　 ． 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质． 【专题】推理能力． 【答案】5． 【分析】作DE⊥AB于E，由角平分线的性质得到DE＝CD＝2，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥AC， 由作图步骤可得AD为∠CAB的平分线， ∵DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2， ∵AB＝5， ∴△ABD的面积． 故答案为：5． 【点评】此题考查了作图﹣基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键． 11．（2025春•龙凤区期中）如图，O为△ABC内角平分线交点，过点O的直线交AB、BC于M、N，已知BN＝MN＝5，BM＝6，则点O到AC的距离为 　　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OB，过点N作ND⊥AB于D，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，设OE＝x，则OE＝OF＝OH＝x，根据等腰三角形的性质得BD＝MD＝3，进而可求出DN＝4，则S△BMN＝12，然后根据S△BMN＝S△OBM+S△OBN得6x5x＝12，据此解出x即可． 【解答】解：连接OB，过点N作ND⊥AB于D，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，如图所示： 设OE＝x， ∵点O为△ABC内角平分线交点， ∴OE＝OF＝OH＝x， ∵BN＝MN＝5，BM＝6，ND⊥AB， ∴BD＝MDBM＝3， 在Rt△BND中，BN＝5，BD＝3， 由勾股定理得：DN4， ∴S△BMNBM•ND6×4＝12， 又∵S△BMN＝S△OBM+S△OBN2BM•OEBN•OF， ∴6x5x＝12， 解得：x， ∴OH＝x， ∴点O到AC的距离为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等，熟练掌握角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 12．（2025春•榕城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．当t＝ 　　 时，BP恰好平分∠ABC． 【考点】角平分线的性质；一元一次方程的应用；角的计算． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】． 【分析】根据角平分线的性质，建立关于CP长度的方程，据此求出CP的长度即可解决问题． 【解答】解：过点P作AB的垂线，垂足为M，连接BP， ∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，PM⊥AB， ∴PC＝PM． 在Rt△ABC中， AC（cm）， ∴（cm2）， ∴， 解得PC＝3（cm）， ∴t（s）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质、一元一次方程的应用及角的计算，能根据题意建立关于CP长度的方程是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•鼓楼区校级期末）如图：四边形ABCD，AE平分∠BAD，交BC于点E． （1）在线段AE上求作一点P，使点P到边BC和边CD的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在第（1）题的条件下，连接PC，若∠B＝60°，∠APC＝∠D，求∠D的度数． 【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；三角形的外角性质． 【专题】作图题；几何直观；运算能力． 【答案】（1）见解析；（2）140°． 【分析】（1）作CP平分∠BCD交AE于点P，点P即为所求； （2）设∠BAE＝∠DAE＝x，∠BCP＝∠DCP＝y，则∠D＝∠APC＝x+60°+y，利用四边形内角和定理构建方程求出x+y＝80°可得结论． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求； （2）∵AE平分∠BAD，CP平分∠BCD， ∴∠BAE＝∠DAE，∠BCP＝∠DCP， 设∠BAE＝∠DAE＝x，∠BCP＝∠DCP＝y，则∠D＝∠APC＝x+60°+y， ∵∠B+∠BAD+∠D+∠BCD＝360°， ∴60°+2x+x+60°+y+2y＝360°， ∴x+y＝80°， ∴2x+2y＝160°， ∴∠D＝360°﹣60°﹣160°＝140°． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，四边形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14．（2025•雨花区校级三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点B为圆心，以任意长为半径作弧交BA，BC于点M，N，以点M，N为圆心，以大于的长为半径分别作弧，两弧交于点P．连接BP并延长交AC于点D． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线BD是∠ABC的 　角平分线　 ； （2）若AB＝8，AC＝6，求AD的长． 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质． 【专题】作图题；几何直观． 【答案】（1）角平分线；（2）． 【分析】（1）利用基本作图判断即可； （2）过点D作DH⊥BC于点H．证明AD＝DH，利用面积法求解． 【解答】解：（1）由作图可知BD平分∠ABC． 故答案为：角平分线； （2）过点D作DH⊥BC于点H． ∵∠A＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴BC10， ∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC， ∴AD＝DH， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD， ∴8×68×AD10×AD， ∴AD． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决问题．． 15．（2025春•隆昌市校级期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°∠A（请补齐空白处）． 理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠1∠ABC，　　 ， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠1+∠2∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣　（90°∠A）　 ＝90°∠A． 【探究2】如图2，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由； 【应用】如图3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，已知AB不平行与CD，AC、BD分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，又CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，则∠E＝　22.5°　 ； 【拓展】如图4，直线MN与直线PQ相交于O，∠MOQ＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO＝　45°或36°　 ． 【考点】角平分线的性质；直角三角形的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】【探究1】，（90°∠A）； 【探究2】； 【应用】22.5°； 【拓展】45°或36°． 【分析】【探究1】根据角平分线的定义可得，∠2∠ACB，根据三角形的内角和定理可得∠1+∠2＝90°∠A，再根据三角形的内角和定理即可得出结论； 【探究2】如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠OBC（∠A+∠ACB），∠OCB（∠A+∠ABC），然后再根据三角形的内角和定理即可得出结论； 【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得∠G的度数，于是可得∠GCD+∠GDC的度数，然后根据角平分线的定义和角的和差可得∠1+∠2的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出结果； 【拓展】根据角平分线的定义和平角的定义可得∠EAF＝90°，然后分三种情况讨论：若∠EAF＝4∠E，则∠E＝22.5°，根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠ABO＝2∠E，于是可得结果；若∠EAF＝4∠F，则∠F＝22.5°，由【探究2】的结论可求出∠ABO＝135°，然后由三角形的外角性质即可判断此种情况不存在；若∠F＝4∠E，则∠E＝18°，然后再由第一种情况的结论∠ABO＝2∠E即可求出结果，进而可得答案． 【解答】解：【探究1】理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠1∠ABC，， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°， 故答案为：，（90°∠A）； 【探究2】，理由如下： 如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义，，， 在△BOC 中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB， （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） ； 【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得：， ∴∠GCD+∠GDC＝45°， ∵CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线， ∴，， ∴， ∴∠E＝180°﹣（∠1+∠2）＝22.5°， 故答案为：22.5°； 【拓展】如图4， ∵AE、AF是∠BAO和∠OAG 的角平分线， ∴， 即∠EAF＝90°， 在Rt△AEF中，若∠EAF＝4∠E，则∠E＝22.5°， ∵∠EOQ＝∠E+∠EAQ，∠BOQ＝2∠EOQ，∠BAO＝2∠EAQ， ∴∠BOQ＝2∠E+∠BAO， 又∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABO， ∴∠ABO＝2∠E＝45°， 若∠EAF＝4∠F，则∠F＝22.5°， 则由【探究2】知：， ∴∠ABO＝135°， ∵∠ABO＜∠BOQ＝60°， ∴此种情况不存在， 若∠F＝4∠E，则∠E＝18°， 由第一种情况可知：∠ABO＝2∠E， ∴∠ABO＝36°， 综上，∠ABO＝45°或36°， 故答案为：45°或36°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平角的定义和三角形的外角性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$