13.1 三角形的概念（新课预习.培优卷）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

新课预习.培优卷 13.1 三角形的概念 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•南开区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 2．（2025春•路桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，过点D，A分别作AC，BC的平行线交于点E，连接AD，设AC＝m，AD＝n，当AE•BD为定值时，无论m，n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．m2+n2 D．m+n 3．（2025春•路北区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，中线AD＝6，则BC＝（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 4．（2025•榕江县校级二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的长度为（　　） A． B． C．2 D．4 5．（2025春•建邺区校级期末）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，点D在AC上，PB＝PD，若要求∠PCB的度数，则只需知道（　　） A．∠ABP的度数 B．∠BPD的度数 C．∠CPD的度数 D．∠PBC的度数 6．（2025•延庆区模拟）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的大小为（　　） A．32° B．58° C．74° D．106° 7．（2025春•九龙坡区期末）如图，将学生常用的一副三角板按如图所示的位置放置，AE∥BC，点D在边BC上．AD＝DE，AC与DE相交于点F，∠ABC＝60°，则∠DAF的度数是（　　） A．20° B．18° C．16° D．15° 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•碑林区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD＝AE，且∠AED＝65°，则∠EAC的度数是 　 　 ． 9．（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝60°，AD＝4，BD＝1.5，则CD＝　 　 ． 10．（2025春•武侯区期末）如图，点M是等边三角形ABC内的任意一点，过点M向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．若△ABC的边长为6，则AE+BD+CF的值为 　 　 ． 11．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 12．（2025春•郑州期中）如图，将一个等腰直角三角形ABC和一个等边三角形ADE的顶点A重合放在一起（AC＞AE，0°＜∠BAE＜90°且点E在直线AB的上方），其中∠C＝90°，∠B＝45°．当两个三角形有一组边互相平行时，∠BAE的度数为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AC上，点E在AC左侧，连接BD，CE，AE，BD＝CE且∠ADB＝∠BCE，延长BD交AE于点F． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠FAB＝107°，求∠ABC的度数． 14．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝40°，求∠CDE的度数． 15．（2025春•杨浦区校级月考）如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是 　 　 （横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小）．请说明理由． 新课预习.培优卷 13.1 三角形的概念 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•南开区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意得出四边形MEAF是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得∠B＝∠EMB，得出EM＝EB，则AE+AF＝AB，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【解答】解：∵ME∥AC，MF∥AB， ∴四边形MEAF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴FM＝AE，EM＝AF， ∵ME∥AC， ∴∠EMB＝∠C， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠EMB， ∴EM＝EB， ∴AF＝BE， ∴AE+AF＝AE+BE＝AB， ∵AB＝AC＝8， ∴平行四边形MEAF的周长＝2（AE+AF）＝2AB＝16； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 2．（2025春•路桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，过点D，A分别作AC，BC的平行线交于点E，连接AD，设AC＝m，AD＝n，当AE•BD为定值时，无论m，n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．m2+n2 D．m+n 【考点】等腰三角形的性质；代数式求值． 【专题】整式；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质推出BH＝CH，判定四边形AEDC是平行四边形，推出AE＝CD，由勾股定理得到m2﹣n2＝AE•BD＝定值． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH， ∵AE∥BC，DE∥AC， ∴四边形AEDC是平行四边形， ∴AE＝CD， ∵AC2＝m2＝AH2+CH2，AD2＝n2＝AH2+DH2， ∴m2﹣n2＝CH2﹣DH2＝（CH+DH）（CH﹣DH）＝CD•（BH﹣DH）＝AE•BD＝定值， 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形AEDC是平行四边形，推出AE＝CD，由勾股定理得到m2﹣n2＝AE•BD． 3．（2025春•路北区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，中线AD＝6，则BC＝（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC＝2BD，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD是中线， ∴BC＝2BD，AD⊥BC． 在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，AD＝6， 即BD2+62＝102， 解得BD＝8， ∴BC＝16． 故选：C． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一是解答此题的关键． 4．（2025•榕江县校级二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的长度为（　　） A． B． C．2 D．4 【考点】等边三角形的性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质求出AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，结合垂直的定义、平行线的性质求出∠CBD＝30°，∠D＝90°，根据含30°的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：在等边△ABC中，AB＝4， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠D+∠ABD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠D＝90°， ∴CDBC4＝2， 即CD的长度为2， 故选：C． 【点评】此题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 5．（2025春•建邺区校级期末）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，点D在AC上，PB＝PD，若要求∠PCB的度数，则只需知道（　　） A．∠ABP的度数 B．∠BPD的度数 C．∠CPD的度数 D．∠PBC的度数 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【答案】B 【分析】在CB上截取CE＝CD，连接PE，设∠PCB＝α，∠DPC＝β，证明△ECP和△DCP全等得∠EPC＝∠DPC＝β，PE＝PD＝PE，则∠DPE＝2β，∠PBE＝∠PEB，由三角形外角性质得∠PEB＝α+β，则∠BPE＝180°﹣2α﹣2β，进而得∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝180°﹣2α，由此得∠PCB＝90°∠BPD，据此即可得出答案． 【解答】解：在CB上截取CE＝CD，连接PE，如图所示： 设∠PCB＝α，∠DPC＝β， ∵PC平分∠ACB， ∴∠PCB＝∠PCD＝α， 在△ECP和△DCP中， ， ∴△ECP≌△DCP（SAS）， ∴∠EPC＝∠DPC＝β，PE＝PD， ∴∠DPE＝∠EPC+∠DPC＝2β， ∵PB＝PD， ∴PB＝PE， ∴∠PBE＝∠PEB ∵∠PEB是△PEC的外角， ∴∠PEB＝∠PCB+∠EPC＝α+β， ∴∠PBE＝∠PEB＝α+β， 在△BPE中，∠BPE＝180°﹣（∠PBE+∠PEB）＝180°﹣2α﹣2β， ∴∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝180°﹣2α﹣2β+2β＝180°﹣2α， ∴α＝90°∠BPD， 即∠PCB＝90°∠BPD， ∴要求∠PCB的度数，则只需知道∠BPD的度数即可． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 6．（2025•延庆区模拟）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的大小为（　　） A．32° B．58° C．74° D．106° 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】C 【分析】由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CBA的大小，再结合平行线的性质即可解答． 【解答】解：∵CA＝CB， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠CBA＝74°． 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键． 7．（2025春•九龙坡区期末）如图，将学生常用的一副三角板按如图所示的位置放置，AE∥BC，点D在边BC上．AD＝DE，AC与DE相交于点F，∠ABC＝60°，则∠DAF的度数是（　　） A．20° B．18° C．16° D．15° 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】依题意由AD＝DE得△ADE是等腰直角三角形，则∠DAE＝45°，再由AE∥BC，∠C＝30°得∠EAF＝∠C＝30°，然后根据∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF即可得出答案． 【解答】解：∵AD＝DE， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝45°， ∵AE∥BC，∠C＝30°， ∴∠EAF＝∠C＝30°， ∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°﹣30°＝15°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•碑林区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD＝AE，且∠AED＝65°，则∠EAC的度数是 　10°　 ． 【考点】等边三角形的性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】10°． 【分析】根据等边对等角可得∠ADE＝65°，再根据三角形内角和定理求出∠DAE＝50°，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵AD＝AE，且∠AED＝65°， ∴∠ADE＝65°， ∴∠DAE＝50°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠DAE＝10°， 故答案为：10°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握． 9．（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝60°，AD＝4，BD＝1.5，则CD＝　5.5　 ． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；几何直观；运算能力． 【答案】5.5． 【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵∠ADC＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∴DEAD＝2， ∵AB＝AC， ∴CE＝BE＝BD+DE＝1.5+2＝3.5， ∴CD＝DE+CE＝2+3.5＝5.5． 故答案为：5.5． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、含30度角直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． 10．（2025春•武侯区期末）如图，点M是等边三角形ABC内的任意一点，过点M向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．若△ABC的边长为6，则AE+BD+CF的值为 　9　 ． 【考点】等边三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力． 【答案】9． 【分析】设AE＝a，BD＝b，CF＝c，MD＝x，MF＝y，ME＝z，则BE＝ 6﹣a，CD＝ 6﹣b，AF＝6﹣c，连接MA，MB，MC，在Rt△AME和Rt△AMF中，由勾股定理得a2+z2＝（6﹣c）2+y2，即z2＝（6﹣c）2+y2﹣a2①，在Rt△BME和Rt△MBD中，由勾股定理得（6﹣a）2+z2＝b2+x2②，在Rt△MCD和Rt△MCF中，由勾股定理得x2+（6﹣b）2＝y2+c2，即x2＝y2+c2﹣（6﹣b）2③，将①，③代入②得（6﹣a）2+（6﹣c）2+y2﹣a2＝b2+y2+c2﹣（6﹣b）2，整理得108﹣12（a+b+c）＝0，进而得a+b+c＝9，由此可得AE+BD+CF的值． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为6， ∴AB＝BC＝AC＝6， 设AE＝a，BD＝b，CF＝c，MD＝x，MF＝y，ME＝z， ∴BE＝AB﹣AE＝6﹣a，CD＝BC﹣BD＝6﹣b，AF＝AC﹣CF＝6﹣c， 连接MA，MB，MC，如图所示： 在Rt△AME中，由勾股定理得：MA2＝AE2+ME2＝a2+z2， 在Rt△AMF中，由勾股定理得：MA2＝AF2+MF2＝（6﹣c）2+y2， ∴a2+z2＝（6﹣c）2+y2， ∴z2＝（6﹣c）2+y2﹣a2①， 在Rt△BME中，由勾股定理得：MB2＝ME2+BE2＝（6﹣a）2+z2， 在Rt△MBD中，由勾股定理得：MB2＝BD2+MD2＝b2+x2， ∴（6﹣a）2+z2＝b2+x2②， 在Rt△MCD中，由勾股定理得：MC2＝MD2+CD2＝x2+（6﹣b）2， 在Rt△MCF中，由勾股定理得：MC2＝MF2+CF2＝y2+c2， ∴x2+（6﹣b）2＝y2+c2， ∴x2＝y2+c2﹣（6﹣b）2③， 将①，③代入②，得：（6﹣a）2+（6﹣c）2+y2﹣a2＝b2+y2+c2﹣（6﹣b）2， ∴（6﹣a）2+（6﹣b）2+（6﹣c）2＝a2+b2+c2， 整理得：108﹣12（a+b+c）＝0， ∴a+b+c＝9， ∴AE+BD+CF＝9． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理，整式的运算是解决问题的关键． 11．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】1.8． 【分析】连接AD，AE，根据三角形的中线定义可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，然后利用面积法进行计算即可解答． 【解答】解：连接AD，AE， ∵D为BC中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， ∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， AB•DP•2AB•EMAC•EN， ∵AB＝AC， ∴2DP＝EM+EN， 6＝4.2+EN， 解得：EN＝1.8， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12．（2025春•郑州期中）如图，将一个等腰直角三角形ABC和一个等边三角形ADE的顶点A重合放在一起（AC＞AE，0°＜∠BAE＜90°且点E在直线AB的上方），其中∠C＝90°，∠B＝45°．当两个三角形有一组边互相平行时，∠BAE的度数为 　15°或60°或75°　 ． 【考点】等边三角形的性质；平行线的性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】15°或60°或75°． 【分析】讨论：当DE∥AB时，如图1，直接利用平行线的性质得到∠BAE＝60°；当AD∥BC时，如图2，先利用平行线的性质得到∠DAB+∠B＝180°，然后利用∠DAE＝60°，∠B＝45°可计算出∠BAE的度数；当DE∥BC时，如图3，根据平行线的性质得到DE⊥AC，则利用互余计算出∠CAE＝30°，然后计算∠BAC﹣∠CAE得到∠BAE的度数． 【解答】解：∵△ADE为等边三角形， ∴∠DAE＝∠E＝60°， 当DE∥AB时，如图1， ∠BAE＝∠E＝60°； 当AD∥BC时，如图2， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∵∠DAE＝60°，∠B＝45°， ∴∠BAE＝180°﹣60°﹣45°＝75°； 当DE∥BC时，如图3， ∵BC⊥AC， ∴DE⊥AC， ∴∠CAE＝90°﹣∠E＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°； 综上所述，∠BAE的度数为15°或60°或75°． 故答案为：15°或60°或75°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AC上，点E在AC左侧，连接BD，CE，AE，BD＝CE且∠ADB＝∠BCE，延长BD交AE于点F． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠FAB＝107°，求∠ABC的度数． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）73°． 【分析】（1）根据三角形外角性质及已知条件得∠BCD+∠ECA＝∠BCD+∠DBC，则∠ECA＝∠DBC，由此可依据“SAS”判定△ECA和△DBC全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设∠ACB＝α，∠ABC＝∠BAC＝90°α，根据△ECA和△DBC全等得∠EAC＝∠ACB＝α，则∠BAC＝107°﹣α，由此得90°α＝107°﹣α，据此解出α＝34°，进而可得出∠ABC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ADB是△BCD的外角， ∴∠ADB＝∠BCD+∠DBC， ∵∠BCE＝∠BCD+∠ECA，∠ADB＝∠BCE， ∴∠BCD+∠ECA＝∠BCD+∠DBC， ∴∠ECA＝∠DBC， 在△ECA和△DBC中， ， ∴△ECA≌△DBC（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：设∠ACB＝α， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC（180°﹣∠ACB）＝90°α， 由（1）可知：△ECA≌△DBC， ∴∠EAC＝∠ACB＝α， ∵∠FAB＝107°， ∴∠BAC＝∠FAB﹣∠EAC＝107°﹣α， ∴90°α＝107°﹣α， 解得：α＝34°， ∴∠ABC＝90°α＝73°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 14．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝40°，求∠CDE的度数． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ADC＝90°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝70°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ADC＝90°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED70°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝20°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．（2025春•杨浦区校级月考）如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是 　不变　 （横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小）．请说明理由． 【考点】等边三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【答案】不变，理由见解答过程． 【分析】设AE＝a，则BD＝2AE＝2a，在CA上截取CN＝AE＝a，连接FN，根据等边三角形性质得AB＝AC，∠A＝60°，则AD＝NE＝AB﹣2a，根据△DEF是等边三角形得DE＝EF，∠DEF＝60°，进而得∠ADE＝∠NEF，由此可依据“SAS”判定△ADE和△NEF全等得∠A＝∠ENF＝60°，AE＝NF＝a，则CN＝NF＝a，继而根据三角形外角性质得∠ECF＝30°，据此即可得出答案． 【解答】解：∠ECF大小不发生变化，始终等于30°，理由如下： 设AE＝a，则BD＝2AE＝2a， 在CA上截取CN＝AE＝a，连接FN，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠A＝60°， ∴AD＝AB﹣BD＝AB﹣2a，NE＝AC﹣（CN+AE）＝AB﹣2a， ∴AD＝NE， 在△ADE中，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF，∠DEF＝60°， ∴∠AED+∠NEF＝180°﹣∠DEF＝120°， ∴∠ADE＝∠NEF， 在△ADE和△NEF中， ， ∴△ADE≌△NEF（SAS）， ∴∠A＝∠ENF＝60°，AE＝NF＝a， ∴CN＝NF＝a， ∴∠NFC＝∠ECF， ∵∠ENF是△NFC的外角， ∴∠ENF＝∠NFC+∠ECF， ∴2∠ECF＝60°， ∴∠ECF＝30°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$