1.2.4 绝对值 暑期讲义 -2025—2026学年人教版数学七年级上册

1.2.4 绝对值 （讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解绝对值的几何意义和代数意义，能说出一个数的绝对值的含义。 2. 会求一个有理数的绝对值，包括正数、负数和0的绝对值。 3. 体验从实际问题中抽象出绝对值概念的过程，初步体会数形结合的思想方法。 4. 通过学习，感受数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣。 知识讲解 在学习了有理数和数轴之后，我们来思考一个问题：如果一个点在数轴上移动，它所表示的数会变化，但是这个点到原点的距离会如何变化呢？这个“距离”就是我们这一节要学习的核心概念——绝对值。 一、 绝对值的定义（几何意义） 我们知道，数轴的三要素是原点、正方向和单位长度。在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，就叫做这个数的绝对值。 为了表示一个数的绝对值，我们引入一个新的符号：“| |”。例如，数a的绝对值记作 |a|，读作“a的绝对值”。 · 思考：在数轴上，原点表示的数是0，那么表示数5的点到原点的距离是多少？表示数-5的点到原点的距离又是多少？ · 表示数5的点在原点右边，与原点的距离是5个单位长度，所以5的绝对值是5，记作 |5| = 5。 · 表示数-5的点在原点左边，与原点的距离也是5个单位长度，所以-5的绝对值是5，记作 |-5| = 5。 二、 绝对值的求法（代数意义） 根据绝对值的几何意义，我们可以总结出求一个数的绝对值的方法： 1. 正数的绝对值是它本身。 例如：|3| = 3，|2.5| = 2.5，|1/2| = 1/2。因为正数在数轴上位于原点右侧，它到原点的距离就是它本身的数值。 2. 负数的绝对值是它的相反数。 例如：|-4| = 4（因为-4的相反数是4），|-1.2| = 1.2（因为-1.2的相反数是1.2），|-3/4| = 3/4（因为-3/4的相反数是3/4）。因为负数在数轴上位于原点左侧，它到原点的距离是它的相反数（即一个正数）。 3. 0的绝对值是0。 即 |0| = 0。因为原点到它自身的距离就是0。 三、 绝对值的表示与性质 综合以上几点，我们可以用符号语言来表示一个有理数a的绝对值： · 如果 a 是正数（即 a > 0），那么 |a| = a； · 如果 a 是0（即 a = 0），那么 |a| = 0； · 如果 a 是负数（即 a < 0），那么 |a| = -a （这里的 -a 表示 a 的相反数，因为 a 是负数，所以它的相反数 -a 是正数）。 从绝对值的定义和求法中，我们可以发现绝对值有一个非常重要的性质：任何一个有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0。 这是因为距离不可能是负数。 知识点总结 1. 绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 |a|。距离具有非负性，所以绝对值也具有非负性。 2. 绝对值的代数意义（求法）： · 一个正数的绝对值是它本身； · 一个负数的绝对值是它的相反数； · 0的绝对值是0。 简单来说：“正不变，负变正，零还是零”。 3. 绝对值的重要性质：任何有理数的绝对值都是非负数 (|a| ≥ 0)。 4. 数学思想：学习绝对值概念时，我们利用了数轴，将抽象的“数”与具体的“形”（点与点之间的距离）结合起来，这种思想方法叫做“数形结合思想”，它是学习数学的重要思想方法之一。 巩固练习 一、选择题 1．如果|a|=7，|b|=5，试求a-b的值为（　　） A．2 B．12 C．2和12 D．2；12；-12；-2 2．若a与5互为相反数，则等于（　　） A．0 B． C．5 D．10 3．下列说法正确的是（　　） A．一定大于0 B．一定是负数 C．一个数不是正数就是负数 D．分数都是有理数 4．如图，检测个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 5．绝对值小于的整数的个数为（　　） A．3 B．4 C．6 D．7 6．计算的结果是（　　） A． B． C．3 D． 7．已知a，b是有理数，且满足|a＋1|＋|2－b|＝0，则a＋b=（　　） A．－1 B．1 C．－ 2 D．2 8．绝对值不大于11.1的整数有（　　）个。 A．11个 B．12个 C．22个 D．23个 9．学完有理数后，四只“羊”分别聊了起来.喜羊羊说：“没有最大的正数，但有最大的负数.” 懒羊羊说：“有绝对值最小的数，没有绝对值最大的数.” 美羊羊说：“有理数分为正有理数和负有 理数.” 沸羊羊说：“相 反数是它本身的数是正数.” 你认为哪只“羊”说得对呢？（　　） A．喜羊羊 B．懒羊羊 C．美羊羊 D．沸羊羊 二、填空题 10．0的绝对值是　 　． 11．化简：　 　． 12．-在数轴上对应的点与它的相反数对应的点之间的距离为　 　 ． 13． =（　 　） 14．若 则x=　 　， 　 　. 15．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c＋b|＋|b－a|＝　 　． 三、解答题 16．求有理数a和-a的绝对值 17．若|a+2|+|b﹣1|=0，求2b﹣a的值． 18．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时，求的值． （2）当时，求的值． （3）若有理数均不等于零，试求的值． 19．若x是－3的相反数，|y|＝5，求x＋y的值. 20．（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 参考答案 1．D 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B 8．D 9．B 10．0 11． 12．7 13．8 14．2； 15．a－b＋c 16．当a>0时,|a|=a;当a<0时,|a|=-a;当a=0时,|a|=0;当a＞0时,|-a|＝a;当a＜0时,|-a|＝－a ;当a＝0时,|-a|＝0. 17．解：由题意得，a+2=0，b﹣1=0， 解得a=﹣2，b=1， 所以，2b﹣a=2×1﹣（﹣2）， =2+2， =4． 18．（1）1 （2） （3）2或0或 19．解：∵x是－3的相反数，|y|＝5， ∴x=3，y=±5 ①当x=3，y=5时，x+y=3+5=8； ②当x=3，y=-5时，x+y=3+(-5)=-2 20．（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 学科网（北京）股份有限公司 $$