专题2.6 圆的方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题2.6 圆的方程 【知识梳理】 1 【考点1：求圆的标准方程】 3 【考点2：求圆的一般方程】 3 【考点3：圆的一般方程与标准方程之间的互化】 5 【考点4：二元二次方程与圆的方程】 5 【考点5：圆过定点问题】 6 【考点6：点与圆的位置关系的判断】 7 【考点7：圆有关的轨迹问题】 8 【考点8：与圆有关的对称问题】 10 【考点9：与圆有关的最值问题】 11 【考点10：圆的方程的实际应用】 12 【知识梳理】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 5．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 6．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 7.求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 8．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【考点1：求圆的标准方程】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是 ． 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）圆心是且过点的圆的方程为 . 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 5．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【考点2：求圆的一般方程】 1．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过三点的圆的一般方程为 ． 5．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 6．（24-25高二上·北京·期中）已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 【考点3：圆的一般方程与标准方程之间的互化】 1．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 3．（24-25高二下·云南红河·期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 4．（24-25高二下·上海·期末）设实数，圆的面积为，则 ． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）设实数，圆:的面积为，则 ． 【考点4：二元二次方程与圆的方程】 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·河南信阳·期末）圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【考点5：圆过定点问题】 1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 3．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 5．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 6．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标. 7．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【考点6：点与圆的位置关系的判断】 1．（22-23高二上·吉林·期中）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 2．若点，圆的一般方程为，则点A与圆位置关系（    ） A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心 3．已知点，圆，则（    ） A．A，B都在C内 B．A在C外，B在C内 C．A，B都在C外 D．A在C内，B在C外 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 5．已知圆的方程为，则点的位置是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 6．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点7：圆有关的轨迹问题】 1．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．一条定长为的线段，点在轴上，点在轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程． 5．已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程． 6．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹． 7．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹. 【考点8：与圆有关的对称问题】 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高三·全国·专题练习）若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 4．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 . 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 【考点9：与圆有关的最值问题】 1．（24-25高二上·河南濮阳·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东·阶段练习）方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 . 4．（2023高三·全国·专题练习）已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ． 5．（22-23高二上·四川巴中·期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为 ． 6．（23-24高二上·湖南·阶段练习）若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为 ． 【考点10：圆的方程的实际应用】 1．（24-25高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 2．（24-25高二·全国·课后作业）为了制作圆拱形的蔬菜大棚的侧立面钢架，需要根据圆拱高OC、跨度MN、竖梁BN和各竖梁间距的尺寸，来计算出每根竖梁，的长度（如图）．请你设计一种计算的方法． 3．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为. （1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程； （2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？ 4．（24-25高二上·北京海淀·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m． (1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少． 5．（24-25高二上·广东佛山·期末）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程. (2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由. 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 圆的方程 【知识梳理】 1 【考点1：求圆的标准方程】 3 【考点2：求圆的一般方程】 4 【考点3：圆的一般方程与标准方程之间的互化】 8 【考点4：二元二次方程与圆的方程】 10 【考点5：圆过定点问题】 12 【考点6：点与圆的位置关系的判断】 16 【考点7：圆有关的轨迹问题】 18 【考点8：与圆有关的对称问题】 22 【考点9：与圆有关的最值问题】 25 【考点10：圆的方程的实际应用】 28 【知识梳理】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 5．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 6．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 7.求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 8．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【考点1：求圆的标准方程】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】依题意，所求圆的方程为. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）圆心是且过点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】联立直线得到点的坐标，根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，即可写出圆的方程. 【详解】联立，得，，又， 所以由中点坐标公式得的中点坐标为，即圆心坐标为， 由两点间距离公式得半径， 所以圆的方程为． 故答案为：. 5．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【详解】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 故答案为：. 【考点2：求圆的一般方程】 1．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过三点的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 5．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【详解】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 6．（24-25高二上·北京·期中）已知圆上三点坐标分别为． (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）设圆的一般方程为，将圆上三点坐标代入方程，得到一个三元一次方程组，解方程组即可求出、、的值. （2）先求出弦中点坐标，再根据两直线垂直斜率之积为求出垂直平分线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程. （3）可先求出的长度，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式计算. 【详解】（1）设圆的一般方程为. 将，，分别代入方程可得： 解得，，. 所以圆的一般方程为. （2）先求中点坐标，，，中点坐标为.，则弦垂直平分线的斜率为. 根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即. （3）. 直线的方程为，即. 点到直线的距离. 所以的面积. 【考点3：圆的一般方程与标准方程之间的互化】 1．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 2．（多选）（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 3．（24-25高二下·云南红河·期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海·期末）设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）设实数，圆:的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【详解】设圆的半径为r，则由题意得面积为，所以, 将圆一般式化为标准式得， 又， 所以，所以. 故答案为：. 【考点4：二元二次方程与圆的方程】 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 2．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 4．（24-25高二上·河南信阳·期末）圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 5．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 6．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 7．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 8．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 【考点5：圆过定点问题】 1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2．若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 3．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 4．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案. 【详解】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 【点睛】本题主要考查曲线过定点，属于中档题. 5．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 6．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标. 【答案】圆心在，半径为的圆；定点的坐标为 【分析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k的方程可得定点. 【详解】将原方程整理得， 即， 方程表示圆心在，半径为的圆， 将原方程整理为关于k的方程：， 由 解得 即圆过定点. 7．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 【考点6：点与圆的位置关系的判断】 1．（22-23高二上·吉林·期中）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入圆方程，和9比较大小即可. 【详解】将点代入圆的方程得，则点在圆外， 故选：B. 2．若点，圆的一般方程为，则点A与圆位置关系（    ） A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心 【答案】C 【分析】根据题意，将点A的坐标代入圆的方程，结合点与圆的位置关系，分析的答案． 【详解】解：根据题意，圆的一般方程为， 将点代入，可得，则点A在圆上， 故选：C. 3．已知点，圆，则（    ） A．A，B都在C内 B．A在C外，B在C内 C．A，B都在C外 D．A在C内，B在C外 【答案】D 【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法，代入即可求解. 【详解】由题意，，所以A在C内，B在C外. 故选：D. 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 5．已知圆的方程为，则点的位置是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，利用圆心到的距离与半径比较可得位置关系． 【详解】解：圆的方程为的圆心,半径为 圆心到点的距离的平方为： ， 故选：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，利用了两点间的距离公式，考查计算能力，是基础题． 6．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 【考点7：圆有关的轨迹问题】 1．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 2．（24-25高二上·广东·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意求得动点的轨迹为以为圆心、4为半径的圆的一部分，结合图形分析可知圆心角，即可得结果. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，， 设，因为， 即，整理得． 所以动点的轨迹为以为圆心、4为半径的圆的一部分． 设圆与线段交于点，与线段交于点， 因为在中，，，则， 可知，所以点的轨迹长度为． 故选：D． 3．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 4．一条定长为的线段，点在轴上，点在轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设的中点坐标为，当、均不与原点重合时，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得中点轨迹，验证、有一点与原点重合时成立得答案． 【详解】当时，，即的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，方程是（且）． 当点为原点时，或，当点在原点时，或， 点的轨迹方程是． 5．已知点和点，以为斜边，求直角顶点A的轨迹方程． 【答案】(除去两点 【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设A(x，y)，由求解. 【详解】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， 应去除. 直角顶点的轨迹方程为：(除去两点. 方法二：设BC中点为D()，则DB＝DC＝DA，即A在以D为圆心，为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为(除去两点). 6．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹． 【答案】 【分析】设中点 、点 ,由中点的性质，建立等式，再将代入圆，化简即可得出答案. 【详解】设点M的坐标为、点A的坐标为． 由题意得，∴， 又∵点在圆上， ∴. 即. 故线段AB的中点M的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆． 【点睛】本题考查轨迹方程,属于中档题.解本类题型的思路是：设出所求点与已知曲线上的关系点，根据关系式列出方程，利用将表示出来，代入已知曲线,化简得出结论. 7．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程； （2）根据题意得到，得出在以为直径的圆上，得到以为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点的轨迹方程. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 因为圆过三个点， 可得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 联立方程组，解得或， 所以点的轨迹方程为. 【考点8：与圆有关的对称问题】 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故选：D. 2．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先由对称性求出圆的圆心，结合半径即得圆的方程. 【详解】由圆心与点关于直线对称，可得圆心的坐标为， 又圆的半径为1，圆的标准方程为． 故答案为:． 4．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意，得出直线是两圆圆心的对称轴，依次求得的中点坐标和斜率,即可由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据对称分析可知圆的圆心坐标为，半径为1，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 若圆与圆关于直线对称，则圆的圆心坐标为，半径为1， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求线段的中点，且斜率不存在，写出方程； （2）解法一：由题意，设，将点代入得方程； 解法二：求出直线与直线的交点为圆心，可得方程. 【详解】（1）因为点，， 所以线段的中点为 因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在. 所以垂直平分线的方程为； （2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为， 又因为点，在上，所以， 解得， 所以的标准方程为. 解法二：因为直线与直线的交点为圆心， 由，解得， 故圆心. 又因为. 所以的标准方程为. 【考点9：与圆有关的最值问题】 1．（24-25高二上·河南濮阳·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出以为直径的圆的方程即可. 【详解】依题意，线段的中点，， 圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 2．（23-24高二上·山东·阶段练习）方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得，再化为标准方程，利用二次函数的性质得到半径的最小值即可. 【详解】由题意得，则， ， 则，对称轴为，代入得最小值为， 此时圆的方程为. 故选：D. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆心在直线上设出圆心坐标，再根据圆过坐标原点及圆心与圆上任一点距离即为半径列等式即可，再进行配方即可得到半径最小时的圆心坐标，最后写圆的方程即可. 【详解】由题意圆心在直线上运动，设圆心坐标为. 又圆经过坐标原点，即，整理得. 当半径最小时，，则圆心为. 故圆的方程为. 故答案为：. 4．（2023高三·全国·专题练习）已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用配方法，结合二次函数的性质、圆的几何性质进行求解即可. 【详解】， 所以半径，当且仅当时，半径最小， 此时圆心为，圆心到原点的距离为， 因为， 所以原点在圆外，根据圆的性质， 圆上的点到坐标原点的距离的最大值为， 故答案为： 5．（22-23高二上·四川巴中·期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据圆的几何性质可知圆C到原点O的距离最小时，则，进而联立直线方程可得圆心坐标，即可求解. 【详解】由可得线段中点坐标为，又， 所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上， 当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为， 联立，所以圆心, 又半径,故圆的方程为： 故答案为： 6．（23-24高二上·湖南·阶段练习）若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定，利用三角形三边关系可知当，，三点共线时，，即为所求最大值. 【详解】设，则，整理得， 则是圆：上一点， 由，得,如图所示 故， 当且仅当，，三点共线，且在之间时取得最大值． 又因为, 所以的最大值为. 故答案为：. 【考点10：圆的方程的实际应用】 1．（24-25高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【答案】(1) (2)可以从不桥下通过，理由见解析 【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案； （2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案. 【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，， 得 所以该景区游船不可以从桥下通过． 2．（24-25高二·全国·课后作业）为了制作圆拱形的蔬菜大棚的侧立面钢架，需要根据圆拱高OC、跨度MN、竖梁BN和各竖梁间距的尺寸，来计算出每根竖梁，的长度（如图）．请你设计一种计算的方法． 【答案】答案见解析. 【分析】建立平面直角坐标系，根据对称性设圆的方程，由条件求出方程， 再把点的横坐标代入圆的方程即可求解. 的横坐标 【详解】以MN和OC所在的直线分别为x轴，y轴，这两条直线的交点为原点建立平面直角坐标系，如图， 设圆的方程为,可由的数据获得点N, C的坐标，即可求出方程中b，r的值，然后由各竖梁间距的数据得到点 的横坐标，代入圆的方程可算出两点的纵坐标，进而可以确定竖梁，的长度. 3．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为. （1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程； （2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设出圆的方程，代入即可求解； （2）设限高为，作，求出点P的坐标，即可得出答案. 【详解】（1）由题意，有，，. 所求圆的圆心在轴上，设圆的方程为（，）， ，都在圆上， ，解得. 圆的标准方程是. （2）设限高为，作，交圆弧于点， 则. 将点的横坐标代入圆的方程，得， 得或（舍去）. . 故车辆通过隧道的限制高度为. 4．（24-25高二上·北京海淀·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m． (1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少． 【答案】(1)x2+(y+3)2＝36 (2)3.5米 【分析】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为x2+(yb)2＝r2，通过F，M在圆上，求出参数值，得到圆的方程． （2）设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x代入圆的方程，求出y，然后求出限高． 【详解】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，则E(3,0)，F(3,0)，M(0,3)， 由所求圆的圆心在y轴上，可设圆为x2+(yb)2＝r2， 又F，M在圆上，则，解得b＝3，r2＝36． ∴圆的方程为x2+(y+3)2＝36． （2）设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于P，则|CP|＝h+0.5， 将P的横坐标x代入圆的方程，有，得y＝2或y＝8（舍）， ∴h＝|CP|0.5＝(y+|DF|)0.5＝(2+2)0.5＝3.5(m)． 答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 5．（24-25高二上·广东佛山·期末）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程. (2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由. 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程； （2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论. 【详解】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，    则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上， 设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为， 因为点、在圆上，则，解得，。 所以，圆弧所在圆的方程为， 因此，圆弧的方程为. （2）解：此火车不能通过该路口， 由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米， 所以货车右侧的最高点的坐标为， 因为，因此，该货车不能通过该路口. 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $$