专题2.3 二次根式（知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.3 二次根式 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01:二次根式的概念 2 知识点梳理02:二次根式的乘除法 2 知识点梳理03:二次根式的性质 3 知识点梳理04:最简二次根式 3 知识点梳理05:分母有理化(拓展点) 3 知识点梳理06:二次根式的加减法 4 知识点梳理07:二次根式的混合运算 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：求二次根式的值 4 考点2：求二次根式中的参数 5 考点3：二次根式有意义的条件 6 考点4：利用二次根式的性质化简 7 考点5：二次根式的乘除混合运算 9 考点6：最简二次根式的判断 11 考点7：化为最简二次根式 12 考点9：已知最简二次根式求参数 13 考点10：二次根式的加减运算 13 考点11：二次根式的混合运算 14 考点12：分母有理化 16 考点13：已知字母的值，化简求值 17 考点14：比较二次根式的大小 19 考点15：二次根式的应用 20 考点16：实数的混合运算 22 考点17：新定义下的实数运算 23 考点18：实数运算的实际应用 24 考点19：与实数运算相关的规律题 26 中考真题 实战演练 28 难度分层 拔尖冲刺 30 基础夯实 30 培优拔高 35 知识点梳理01:二次根式的概念 概念 一般地，形如 ( ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， 叫做被开方数 示例 特征 (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ≥ 0， ≥ 0 知识点梳理02:二次根式的乘除法 语言叙述 符号表示 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 法则推广 知识点梳理03:二次根式的性质 语言叙述 符号表示 积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点梳理04:最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点梳理05:分母有理化(拓展点) 1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。 2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。(二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。) 3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。 常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ 与 － 等。 知识点梳理06:二次根式的加减法 二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 . 法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项 步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点梳理07:二次根式的混合运算 混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用 考点1：求二次根式的值 【典例精讲】（21-22八年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路引导】根据二次根式的非负性，即可求解． 【规范解答】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【考点评析】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 【变式训练】（21-22八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 【答案】(1)； (2)3； (3)2； 【思路引导】（1）把x的值代入，计算求值即可； （2）把x的值代入，计算求值即可； （3）把x的值代入，计算求值即可． 【规范解答】（1）解：把x＝0，代入二次根式得： ＝； （2）解：把x＝2，代入二次根式得： ＝＝＝3； （3）解：把x＝﹣，代入二次根式得： ＝＝2； 【考点评析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键． 考点2：求二次根式中的参数 【典例精讲】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【思路引导】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【规范解答】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 【变式训练】（21-22八年级下·江西赣州·期末）已知是整数，a是正整数，a的最小值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．24 【答案】C 【思路引导】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为6． 【规范解答】解：∵，且是整数， ∴是整数，即6a是完全平方数； ∴a的最小正整数值为6． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了二次根式，把24分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 考点3：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：． 【答案】 【思路引导】此题考查了二次根式的混合运算，有理数的乘方，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果． 【规范解答】解： ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根、零指数幂、立方根，再计算加减法即可； （2）先计算负整数指数幂、绝对值和二次根式，再去括号计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点4：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 【变式训练】（20-21八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【规范解答】解：（1）； （2）． 【考点评析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 考点5：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·天津河北·期末）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； 先根据完全平方公式、二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】（24-25九年级下·山东威海·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，A、B为最简二次根式，且，求． 【答案】(1)44 (2) (3)14 【思路引导】本题主要考查了最简二次根式、二次根式的性质与化简、二次根式的混合运算法则等知识点，灵活运用相关性质和运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （3）根据最简二次根式的定义可得，可得：，进而可得、，然后求出，从而可得，进而可得，然后把x，y的值代入中计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2） ． （3）解：∵A、B为最简二次根式， ∴，可得：， ∴、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为14． 考点6：最简二次根式的判断 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在根式①  ②  ③  ④中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了最简二次根式的概念及识别方法，即判断被开方数是否含有可以进一步开方的平方因数或分母．解题的关键在于准确理解最简二次根式的定义，并能够对给定的根式进行合理的因式分解与分析，以确定其是否满足最简二次根式的条件．根据最简二次根式的定义，逐一判断各根式是否满足被开方数不含能开方的因数或因式，且分母不含根号进行判断即可； 【规范解答】被开方数为，不含能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的条件； 被开方数含分母5，需进行分母有理化，如，因此不是最简二次根式； 被开方数为，无法提取平方因式，且不含分母，符合最简二次根式的条件； 被开方数含平方因数（），可化简为，因此不是最简二次根式； 综上，最简二次根式为①③， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·河南漯河·期中）下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【规范解答】解：A、中被开方数含有因数9，不是最简二次根式，不合题意； B、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意； C、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 考点7：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江舟山·期中）下列式子中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查最简二次根式的判定．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【规范解答】解：A.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； B.符合最简二次根式的条件，故此选项是最简二次根式，符合题意； C.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； D.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 【变式训练】（21-22八年级上·全国·课后作业）化简： ； ． 【答案】 【思路引导】本题重点考查的是二次根式的化简，带分数化简时先将带分数化成假分数，再进行开平方化简；字母化简时首先判断字母的正负，再利用开平方化简． 【规范解答】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 【考点评析】掌握二次根式的基本性质与化简，二次根式的非负性是化简含字母问题的关键． 考点9：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．两个最简二次根式能够合并的条件是它们的被开方数相同，先将化简为最简形式，再令的被开方数与之相等，结合最简二次根式的定义求解． 【规范解答】解：，被开方数为3， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【思路引导】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【规范解答】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 考点10：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． （1）先化简，再从左到右依次计算即可； （2）先化简，再算除法和利用完全平方公式计算，最后算减法即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】（24-25八年级下·云南大理·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次根式的加减法和乘除法．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可． 【规范解答】解：A、与不是同类二次根式，不能相加，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 考点11：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先计算二次根式的乘法运算，再化简即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； 【变式训练】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了二次根式运算、利用平方差公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先去括号并化简各数，然后相加减即可； （2）首先根据平方差公式进行运算，然后进行减法运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点12：分母有理化 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C都在格点上．若是中边的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查勾股定理，三角形面积；根据勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 解得：， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      (1)的值为_____； (2)请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      (3)我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到的值； （2）仿照（1）的作法，取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形，解答即可． （3）请仿照方法化简解答即可． 本题考查了勾股定理，分母有理化，无理数的作图，熟练掌握勾股定理，分母有理化是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据勾股定理，得，根据同圆的半径相等，即可得到； 故答案为：． （2）解：取一直角边长为2，另一直角边长为1，构造直角三角形， 以原点为圆心，以斜边长为半径画弧，于数轴交于点C， 如图：    则点C即为所求． （3）解：， 故 ． 考点13：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1)； (2)已知：，，求． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算、代数式求值，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解答的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式，结合二次根式相关运算法则求解即可； （2）先求得，，然后分解因式，最后代值求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴ ． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：_____（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ∴ ∴ 考点14：比较二次根式的大小 【典例精讲】（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ，， ∵， ∴， ∴； （2）解： ，， 又，即， ， ∴， ∴． 【变式训练】 （填“>、=”或“<”） 【答案】> 【思路引导】本题考查二次根式的化简，二次根式比较大小．根据，，而即可判断． 【规范解答】解：∵，，而， ∴． 故答案为：＞ 考点15：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【规范解答】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 【答案】(1)落到地面的时间为 ； (2)这串钥匙在下落后会对人体造成危害，理由见解析． 【思路引导】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，则，进而可以得解； （2）依据题意，由，，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解． 【规范解答】（1）解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为； （2）由题意，，， ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害． 考点16：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根的定义和零指数幂的意义是解答本题的关键． （1）先逐项化简，再算加减即可； （2）先移项，再两边都除以3，然后利用立方根的定义求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，掌握负指数幂和零次幂、去绝对值是解题的关键． （1）先进行求算术平方根、负指数幂和零次幂运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行乘方、求算术平方根，化简绝对值，再进行加减运算，即可求解； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点17：新定义下的实数运算 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2)m的值是 【思路引导】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，准确计算，并注意进行分类讨论． （1）根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况进行讨论，①当时，②当时，分别求出m的值即可． 【规范解答】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下： ∵，，， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵， ∴分两种情况讨论： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴（不符合题意，舍之）； 综上，m的值是． 【变式训练】（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（    ）． A． B． C．14 D．10 【答案】D 【思路引导】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义的运算规则，分别计算和的值，再求它们的差． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 故选D． 考点18：实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【规范解答】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 考点19：与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【思路引导】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 1．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【规范解答】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 2．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中． 【答案】，4 【思路引导】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【思路引导】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：60． 4．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【规范解答】解：原式 5．（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【规范解答】解：A： 与不是同类项，无法合并，故A错误； B：中，与的字母部分不同，无法合并，故B错误； C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确； D：、、均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误； 故选：C 基础夯实 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了最简二次根式，化简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，逐一验证各选项即可． 【规范解答】A、可化简为，故不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，被开方数，含分母，需有理化为，故原式不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，需有理化为，故原式不是最简二次根式； 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西百色·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查最简二次根式的定义，掌握判断最简二次根式的依据是解本题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，逐项判断解答即可． 【规范解答】解：A. 是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. ，不是最简二次根式； D. ，不是最简二次根式； 故选：A． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二次根式有意义的条件，零指数幂，根据二次根式的定义域确定x的值，进而求出y的值，最后计算x的y次方． 【规范解答】解：根据题意得：， 解得： ∴， ∴， 故选：B 4．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知长方体的体积，高，则它的底面积为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了二次根式除法在计算长方体底面积中的应用，根据长方体的底面积等于体积除以高列式计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查二次根式的运算、积的乘方的逆运算，先利用积的乘方的逆运算得到，然后根据二次根式的运算法则，结合平方差公式求解即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，根据二次根式的除法计算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，进行求出的值，再进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，最后把方程两边同时开平方即可得到答案． 【规范解答】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据二次根式的除法运算计算即可； （2）根据二次根式乘法运算计算即可． 本题考查了二次根式的乘法，除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【规范解答】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 培优拔高 11．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二次根式的运算和性质，分别对各选项进行计算，判断其正确性即可． 【规范解答】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C正确． D．，而，显然不等，故D错误． 故选：C． 12．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）若规定为的整数部分，即，为的小数部分，即，计算的结果为（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了无理数的估算、二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据无理数的估算可得，则可得，，再代入计算即可得． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故选：B． 13．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据差倒数的定义，计算前几项发现数列呈现周期性循环，周期为3。进一步分析符号交替规律，确定每三个项的和交替为和，总项数为2025，可整除周期3，得到总和的表达式． 本题考查了新定义，有理数的混合计算，循环节，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：1. 计算数列前几项： ，，， 由此可知，循环节为3：． 2. 分析符号交替规律： 表达式为，符号按交替。每三个项为一组，符号模式依次为和，对应的和分别为： 第一组：， 第二组：， 每两组（6项）的和为，但总项数2025为奇数个周期（675组），最后一组为奇数组，和为． 3. 计算总和： 总组数组，奇数组（338组）和为，偶数组（337组）和为，总和为： 故选：D． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【答案】2或64 【思路引导】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 【规范解答】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 15．（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义及运算，熟练掌握这些数学概念的定义和性质是解题的关键．本题需要分别根据算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义，逐步化简式子中的各项，然后按照运算顺序进行计算． 【规范解答】解：原式 故答案为： ． 16．（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数的运算，数字变化的规律，利用新定义的规定，从第一个数开始，每4个数的和为0，则，再利用幂的乘方与积的乘方法则运算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中，． （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题主要考查了整式化简求值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再相加减完成化简，然后将，代入求值即可； （2）首先根据负整数指数幂运算法则、二次根式性质、绝对值的性质以及零指数幂运算法则进行运算，然后相加减即可． 【规范解答】解：（1）原式 ， 当，时， 原式 ； （2）原式 ． 18．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先进行零指数幂和负整数指数幂，化简绝对值和二次根式的运算，再合并即可； （2）先根据除法法则和平方差公式进行计算，再进行合并即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式． 19．（2021·重庆九龙坡·一模）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x）＝，例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）＝＝﹣431． （1）计算：f（5234）＝　 　，f（3215）＝　 　． （2）若x的前三位所表示的数与最后一位数之差能被11整除，求证：f（x）能被11整除． （3）若s＝1100+20a+b，t＝1000b+100a+23（1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数），若f（s）+f（t）被7除余2，求满足条件的f（t）的最小值． 【答案】（1）79，-234；（2）证明见详解；（3）-211． 【思路引导】（1）根据f（x）的定义计算即可求解； （2）．设x的最后一位为a，前三位为b，则b-a=11k，∴b=11k+a，由题意得x=10b+a，y=1000a+b，得到，根据k、a都是整数，问题得证； （3）分别计算出，，进而得到，根据被7除余2，得到（k为整数），根据1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数，分别把a、b的值代入试算，得到当a=2，b=1时，k为整数，且f（t）最小，即可求出． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：79，-234； （2）设x的最后一位为a，前三位为b，则b-a=11k，∴b=11k+a， 由题意得x=10b+a，y=1000a+b， ∴ ， ∵k、a都是整数， ∴f（x）能被11整除； （3）由s＝1100+20a+b，t＝1000b+100a+23（1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数），得s的个位数字为b，t的个位数字为3， ∴， ， ∴， ∵被7除余2， ∴（k为整数）， ∵1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数， ∴在a、b的几组值中试算，当a=2，b=1时，k为整数，且f（t）最小， 此时． 【考点评析】本题考查了新定义问题，求代数式的值与系数整数值之间的关键，对整除概念的理解，综合性较强，理解f（x）的含义，并结合所学知识灵活应用是解题关键． 20．（2021·重庆九龙坡·三模）对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字或去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”，对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：；例如：，因为，故：7513是一个“差同数”．所以：，，则：． （1）请判断2586，8734是否是“差同数”，如果是，请求出的值； （2）若自然数，都是“差同数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被11整除时，求的最小值． 【答案】（1）2586不是“差同数”，8734是“差同数”，1；（2）． 【思路引导】（1）根据新定义，先判断2586，8734是否是“差同数”，再仿照样例进行解答便可； （2）根据新定义与已知条件，用一个字母的代数式表示，再根据此字母的取值范围便可求出的最值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴2586不是一个“差同数”， ∵， ∴8734是“差同数”， ∴，， ∴； （2）∵，，且，都是整数， ∴的千位数为,百位数为6，十位数为，个位数为6， ∵是“差同数”， ∴ 即， ， ， ∴， ∵，，且，都是整数， ∴的千位数为3，百位数为，十位数为4，个位数为， ∵是“差同数”， ∴，即， ， ， ∴ ， ∴， ∵且，， ∴， ∵且，， ∴， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴或0或11， 、当时，， 此时，， 、时，， 此时，， 、当时，， 结合，，有， 此时，，不存在， 综上，的最小值为． 【考点评析】此题为新定义题型，考查新定义下的实数运算，根据题干中所给的新定义及运算规则来完成相关计算．该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．难度较大，要善于把新知识转化为常规知识来解决问题，方能突破难点． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次根式 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01:二次根式的概念 2 知识点梳理02:二次根式的乘除法 2 知识点梳理03:二次根式的性质 3 知识点梳理04:最简二次根式 3 知识点梳理05:分母有理化(拓展点) 3 知识点梳理06:二次根式的加减法 4 知识点梳理07:二次根式的混合运算 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：求二次根式的值 4 考点2：求二次根式中的参数 4 考点3：二次根式有意义的条件 5 考点4：利用二次根式的性质化简 5 考点5：二次根式的乘除混合运算 6 考点6：最简二次根式的判断 7 考点7：化为最简二次根式 7 考点9：已知最简二次根式求参数 7 考点10：二次根式的加减运算 7 考点11：二次根式的混合运算 8 考点12：分母有理化 8 考点13：已知字母的值，化简求值 9 考点14：比较二次根式的大小 10 考点15：二次根式的应用 11 考点16：实数的混合运算 11 考点17：新定义下的实数运算 12 考点18：实数运算的实际应用 12 考点19：与实数运算相关的规律题 13 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 17 知识点梳理01:二次根式的概念 概念 一般地，形如 ( ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， 叫做被开方数 示例 特征 (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ≥ 0， ≥ 0 知识点梳理02:二次根式的乘除法 语言叙述 符号表示 乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 法则推广 知识点梳理03:二次根式的性质 语言叙述 符号表示 积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点梳理04:最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点梳理05:分母有理化(拓展点) 1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。 2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。(二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。) 3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。 常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ 与 － 等。 知识点梳理06:二次根式的加减法 二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 . 法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项 步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点梳理07:二次根式的混合运算 混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用 考点1：求二次根式的值 【典例精讲】（21-22八年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 【变式训练】（21-22八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 考点2：求二次根式中的参数 【典例精讲】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【变式训练】（21-22八年级下·江西赣州·期末）已知是整数，a是正整数，a的最小值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．24 考点3：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 考点4：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【变式训练】（20-21八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 考点5：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·天津河北·期末）计算下列各题． (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25九年级下·山东威海·期中）计算： (1) ； (2)； (3)已知，A、B为最简二次根式，且，求． 考点6：最简二次根式的判断 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在根式①  ②  ③  ④中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·河南漯河·期中）下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 考点7：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江舟山·期中）下列式子中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（21-22八年级上·全国·课后作业）化简： ； ． 考点9：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 考点10：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25八年级下·云南大理·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点11：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）计算： (1) (2) 考点12：分母有理化 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C都在格点上．若是中边的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）利用尺规作图可以将一些带有根号的无理数在数轴上表示出来，如图①，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，点表示的实数为，根据要求完成下列问题．      (1)的值为_____； (2)请利用尺规在图②中的数轴上找出表示实数对应的点（不写作法，保留作图痕迹）；      (3)我们知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母就变成了4，利用这种方法对进行化简可得到，请仿照这种方法化简：． 考点13：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) ； (2) 已知：，，求． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：_____（填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 考点14：比较二次根式的大小 【典例精讲】（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【变式训练】 （填“>、=”或“<”） 考点15：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 (1)求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； (2)已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 考点16：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2)解方程： 【变式训练】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1) (2) 考点17：新定义下的实数运算 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 【变式训练】（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（    ）． A． B． C．14 D．10 考点18：实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【变式训练】（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 考点19：与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 1．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中． 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 4．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西百色·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知长方体的体积，高，则它的底面积为 ． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）计算： ． 6．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）计算的结果是 ． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为 ． 8． （24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）计算：； （2） 解方程：． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）计算： (1) (2) 10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3） 已知，，为的三边长．化简：． （4） 培优拔高 11．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）若规定为的整数部分，即，为的小数部分，即，计算的结果为（    ） A．2 B．5 C． D． 13．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 15．（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 16．（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ． 17．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中，． （2） 计算：． 18．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算 (1)； (2)． 19．（2021·重庆九龙坡·一模）任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x）＝，例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）＝＝﹣431． （1）计算：f（5234）＝　 　，f（3215）＝　 　． （2）若x的前三位所表示的数与最后一位数之差能被11整除，求证：f（x）能被11整除． （3）若s＝1100+20a+b，t＝1000b+100a+23（1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数），若f（s）+f（t）被7除余2，求满足条件的f（t）的最小值． 20．（2021·重庆九龙坡·三模）对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字或去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”，对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：；例如：，因为，故：7513是一个“差同数”．所以：，，则：． （1）请判断2586，8734是否是“差同数”，如果是，请求出的值； （2）若自然数，都是“差同数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被11整除时，求的最小值． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$