17.2勾股定理的逆定理(知识梳理+高频考题)-2024-2025学年八年级下册数学暑假培优讲义人教版

17.2勾股定理的逆定理 1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 3．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 一、单选题 1．的三边满足，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．判断下列各组数能作为直角三角形三边长的是（    ） A．3，4，6 B．4，5，7 C．2，3， D．7，6， 4．下列说法错误的是（    ） A．△ABC中，若有∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形 B．△ABC中，若有∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是直角三角形 C．△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形 D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4 5．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．2，3，4 B．4，4，5 C．5，6，7 D．5，12，13 6．下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．6，8，10 D． 7．若是三角形的三边长，则满足下列条件的不能构成直角三角形的是（  ） A．，， B．， C． D．，， 8．下列叙述中，正确的是（ ） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．中，的对边分别为，若，则 C．若是直角三角形，且，则 D．若，则是直角三角形 9．已知三角形三边的长分别为3、2、，则该三角形的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 10．以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，， C．6，8，10 D．2，1.5，0.5 二、填空题 11．已知三角形的三边长分别为、、，则这个三角形是 ． 12．下列结论：①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；②三边分别为的三角形是直角三角形；③大于－而小于的所有整数的和为－4 ；④若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是5；其中正确的结论是 （填序号）； 13．若三角形三边长为6，8，11，则该三角形是 三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”） 14．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则符合条件的点有 个． 15．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 ． 16．一个三角形的三边分别是、1、，这个三角形的面积是 ． 三、解答题 17．喜迎军运会，青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地现计划在空地上种植草皮，经测量，若每平方米草皮需要元，求这块地种植草皮需要投入多少元？ 18．如图，，，，求四边形的面积．      19．探究题：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从点B出发向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直． 20．如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，    (1)请画出平移后的图形； (2)过点C作边上的高： (3)求的面积． 21．如已知：如图，四边形中，，，且．试求的度数． 22．有一块四边形空地，如图所示，，，，，，求这块地的面积．    23．图①，图②，图③均是55的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．    (1)在图①中，画线段，使其长为（画出一个即可）； (2)在图②中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）； (3)在图③中，画等腰直角三角形，使其面积为5（画出一个即可）． 24．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝1.5米，AD＝2米，BC＝6米，AB＝6.5米． (1)求证：∠ADC＝90°； (2)求图中阴影部分土地的面积． 25．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C都在格点上，画图过程用虚线表示．    (1)在图1中，画出格点C，使． (2)在图2中，在上画点E，使． (3)在图3中，点D是上一点，在的下方画． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性可得，再根据勾股定理的逆定理即可得． 【详解】解：， ， 解得， ， 又， 为直角三角形，不是等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了偶次方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 2．D 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】A.∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不符合题意； B.∵62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，不符合题意； C.∵72+242=625=252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意； D.∵82+122=208≠152，∴此三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3．D 【分析】利用勾股定理的逆定理验证三边是否满足即可判断． 【详解】解：A选项中，,不能组成直角三角形，故该选项不合题意； B选项中，,不能组成直角三角形，故该选项不合题意； C选项中，,不能组成直角三角形，故该选项不合题意； D选项中，,能组成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．D 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可． 【详解】解：A、△ABC中，若有∠A＋∠B＝∠C，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确； B、△ABC中，若有∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确； C、△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形，说法正确； D、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4或，说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5．D 【分析】利用勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形； B、∵42+42≠52，∴不能构成直角三角形； C、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形； D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 6．C 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可． 【详解】解：A、12+22=5≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、22+42=20≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、62+82=100=102，能构成直角三角形，故符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 7．D 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断能否构成直角三角形． 【详解】A、∵52＋122＝132，∴能构成直角三角形； B、∵52＋52＝（5）2，∴能构成直角三角形； C、∵32＋42＝52，∴能构成直角三角形； D、∵112＋122≠152，∴不能构成直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形必须符合勾股定理的逆定理，三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8．D 【分析】根据勾股定理及三角形的性质对各个选项进行分析，从而确定答案． 【详解】解：A不正确，应该为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； B不正确，应该为∠C=90°； C不正确，应该为如c2=b2+a2； D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 9．B 【分析】两小边的平方和等于最长边的平方，即可由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形． 【详解】解：， 该三角形是直角三角形， 故选． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 10．C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项错误； B、，故不是直角三角形，故此选项错误； C、，故是直角三角形，故此选项正确； D、，故不是直角三角形，故此选项错误． 故选C． 11．直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可. 【详解】∵, ∴三边长分别为、、的三角形是直角三角形. 故答案是：直角三角形. 【点睛】考查的是勾股定理的逆定理,解题关键是利用了勾股定理的逆定理进行判断. 12．①③ 【分析】①根据等腰三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理即可得到结论；③估算无理数的大小即可得到结论；④根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形，正确； ②，∴三边分别为的三角形不是直角三角形， 错误； ③大于-而小于的所有整数有：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，它们的和为-4； 正确； ④当3和4为直角边时，第三边为5；当4位斜边时，第三边是，∴一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是5或， 错误； 故答案为①③． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，估算无理数的大小，勾股定理，熟记个定义和性质是解题的关键． 13．钝角 【分析】先判断三角形三边长为6，8，10，可以构成直角三角形，11比直角三角形的斜边10还长，即构成的是钝角三角形，据此即可作答． 【详解】∵， ∴三角形三边长为6，8，10，可以构成直角三角形， ∵， 即：， ∴三角形三边长为6，8，11，此时构成的是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理以三角形形状的判断等知识，掌握三角形中两条较短边的平方和小于第三边的平方，此时三角形为钝角三角形，是解答本题的关键． 14． 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角的底边；②为等腰直角其中的一条腰；分别找出符合题意的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论：①为等腰直角的底边时，符合条件的点有， ，共个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有 ， ， ，，共个， 综上可得：符合条件的点有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三角形的判定和性质、分情况探寻是解本题的关键． 15．40海里 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里， 根据勾股定理得：=40（海里）． 故答案为：40海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 16． 【分析】首先根据勾股定理逆定理可判定此三角形是直角三角形，然后再计算面积即可． 【详解】解：∵()2+12＝3＝()2， ∴这个三角形是直角三角形， ∴面积为：×1×＝， 故答案为． 【点睛】考查了二次根式的应用以及勾股定理逆定理，关键是正确判断出三角形的形状． 17．这块地种植草皮需要投入7200元． 【分析】在中，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，根据四边形面积等于两直角三角形面积和即可计算面积，由面积可计算投入． 【详解】解：∵， ∴中，， ， ， 为直角三角形，， ， (元)， 故这块地种植草皮需要投入7200元． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理．本题中容易忽略利用勾股定理逆定理证明为直角三角形这一步骤，需注意． 18．36 【分析】先由勾股定理求出，然后由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 在中，， ∴， 又∵， ∴． ∴是直角三角形． ∴ 【点睛】本题考查勾股定及其逆定理，熟练掌握勾股定及其逆定理应用是解题的关键． 19．当点P运动的时间为7 s或25 s时，点P与顶点A的连线与腰垂直． 【分析】利用勾股定理求出AD的长，再利用勾股定理逆定理即可证明垂直. 【详解】（1）过点A作AD⊥BC于点D. ∵AB＝AC，BC＝8 cm， ∴BD＝CD＝BC＝4 cm. 由勾股定理，得AD＝＝3(cm)． 分两种情况：(1)如图，当点P运动t秒后有PA⊥AC（P在线段BD上）时， ∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2， ∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25 cm， ∴BP＝4－2.25＝1.75， ∴0.25t＝1.75，解得t＝7. (2)当点P运动t秒后有PA⊥AB（P在线段CD上）时，同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25， ∴0.25t＝6.25，解得t＝25. 综上所述，当点P运动的时间为7 s或25 s时，点P与顶点A的连线与腰垂直． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的应用，熟悉概念是解题关键. 20．(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）按题中给出的平移方式作图即可； （2）利用勾股定理及其逆定理即可证明是直角三角形，即点C作边上的高即为； （3）采用割补法即可求解． 【详解】（1）如图所示    即为所求； （2）利用网格可知：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴点C的边上的高即为， 如图，    即为所求； （3）， 即所求面积为6． 【点睛】本题考查了直角坐标系中图形的平移，利用网格图求解三角形的面积，以及勾股定理及其逆定理等知识，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 21．135° 【分析】连接AC，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，即可求得． 【详解】解：如图，连接AC ∵， ∴，∠BAC=45° 又∵，， ∴△ACD为直角三角形 ∴∠CAD=90° ∴=135° 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理证明直角三角形是解题关键． 22．平方米 【分析】连接．根据勾股定理求得的长，从而根据勾股定理的逆定理得到，进而求得该四边形的面积． 【详解】连接．    ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 这块地的面积的面积的面积 平方米． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理，结合网格画图即可； （2）取格点 ，使 的底是 2 ，高是 3 ， 即可； （3）由勾股定理可知，，取格点 ，使 ，且 即可； 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； 理由：由图可知 （2）如图②中，即为所求； 理由：由图可知 （3）如图③中，即为所求 理由：由图可知 且 为等腰直角三角形    【点睛】本题考查作图一应用与设计作图、等腰直角三 角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理, 熟练掌握相关知识点是解答本题的关键 24．(1)见解析 (2)阴影部分土地的面积为6平方米 【分析】（1）先由勾股定理求出AC=2.5米，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC=90°即可； （2）由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，BC=6米，AB=6.5米， ∴AC==2.5（米）， ∵CD=1.5米，AD=2米， ∴AD2+CD2=4+2.25=6.25， ∴AD2+CD2=AC2=6.25， ∴∠ADC=90°； （2）解：图中阴影部分土地的面积=AC•BC-AD•CD =×2.5×6-×2×1.5 =6（平方米）． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 25．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）构造等腰直角三角形即可； （2）构造等腰直角三角形，交一点E，点E即为所求； （3）构造等腰直角三角形，取格点P，Q，连接交于点T，可得的中点T，连接，连接交于点O，连接，延长交一点F，连接，即为所求（由证明，再根据证明，推出，，可得）． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求；    （2）解：如图2中，点E即为所求；    （3）解：如图3中，即为所求．    【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$