11.3一元一次不等式组(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

11.3一元一次不等式组 板块一：知识精讲 1．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 3．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 板块二：典题精练 一、单选题 1．关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（　　） A．m≥﹣1 B．m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1＜m＜0 2．把一些笔分给几名学生，如果每人分支，那么余支；如果前面的学生每人分支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于支，则共有学生（  ） A．人 B．人 C．或人 D．人 3．某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 4．已知关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是（    ） A． 或 B． C． D． 或 5．下列不等式组中，它的解集在数轴上表示成如图所示，则这个不等式组为（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式组 恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）． A． B． C． D． 8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若 使得关于 的不等式组 有且只有 4 个整数解， 且使得关于 的一元一次方程 的解为整数， 则满足条件的所有整数 之和为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若一个四位正整数的千位上的数的倍与百位上的数的倍之和刚好等于十位与个位组成的两位数，则称这个数为“奇巧数”，若一个“奇巧数”的千位为，百位为，十位为，个位为，，，且、、、为正整数)，与的和能被整除，求符合条件的“奇巧数最大值为 ． 11．不等式组的解集是 ． 12．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2016= ． 13．若 x 的一半与 1 的和为非负数，且 x＜0，则 x 可取的所有整数解的和是 ． 14．关于x的一元一次不等式的解集为x≥4，则m的值为 ． 三、解答题 15．解不等式组． 16．解不等式组：并求该不等式组的非负整数解. 17．解不等式：﹣≤1 18．解下列不等式（组）． （1）求正整数解． （2）（并把解表示在数轴上）． 19．解不等式（组） （1）解不等式 （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 20．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 21．对定义一种新运算，规定: (其中均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如: ． (1)已知． ①求的值: ②若关于的不等式组无解，求实数的取值范围． (2)若对任意实数都成立(这里和均有意义)，则应满足怎样的关系式 22．为迎接六·一儿童节的到来，某玩具厂每天生产A、B两种玩具共60件,这两种玩具每件的成本和售价如下表： 成本(元/件) 售价(元/件) A种玩具      50      70 B种玩具      35      50 设每天生产A种玩具件，每天获得的利润为元： (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该玩具厂每天最多投入成本为2640元，那么每天生产多少件A种玩具时，所获得利润最大，并求出这个最大利润. 23．为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　 　辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围． 【详解】解：在中， 解不等式①可得x＞m， 解不等式②可得x≤3， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为m＜x≤3， ∵该不等式组恰好有四个整数解， ∴整数解为0，1，2，3， ∴﹣1≤m＜0， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 2．C 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出5x+7≥6（x-1），且6（x-1）+3＞5x+7，分别求出即可． 【详解】解：假设共有学生x人，根据题意得出：， 解得：10＜x≤13． 因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 3．B 【分析】设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可． 【详解】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个 由题意得：，解得4≤x≤6 则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式． 故答案为B． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键． 4．D 【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集与0≤x≤4的关系，可得答案． 【详解】解：解，得 a－1＜x＜a+2， 由不等式组的解集中任意一个x的值均不在0≤x≤4的范围内，得 a+2≤0或a－1≥4， 解得a≥5或a≤－2， 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用解集中任意一个x的值均不在0≤x≤4的范围内得出不等式是解题关键． 5．C 【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法即可得出结论． 【详解】解：，4处均为空心圆点，且折线向左， 不等式组为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 6．C 【分析】解不等式组得，再由不等式组恰好只有四个整数解得，即可解出a的取值范围． 【详解】解：解不等式组， 由①得：， 解得， 由②得：， 解得， 所以由不等式组得 ， 又因不等式组有解得不等式组的解集为 ， 因为不等式组只有四个整数解为11、10、9、8，所以可得，解得， 故选：C. 【点睛】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了． 7．D 【详解】试题分析：首先确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 考点：1．一元一次不等式组的解；2．数轴． 8．C 【分析】分别解出两个不等式的解集，再将不等式的解集表示在数轴上，即可解题． 【详解】解：不等式 解不等式①得， 解不等式②得，， 将不等式的解集表示在数轴上，如图， 故选：C． 【点睛】本题考查解不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 9．D 【分析】根据“该不等式组有且仅有4个整数解”，得到关于a的不等式，解此不等式，解一元一次方程2y+2 = a，根据解为整数，得到a的取值，取所有符合题意的整数a，即可得到答案． 【详解】解： 解得；解得； ∴不等式组的解集为 ， ∵该不等式组有且仅有4个整数解， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于 的一元一次方程 的解为整数， ∴a= -10或-8或- 6， ∴-10+(-8)+(-6)= -24． 故选∶ D． 【点睛】本题考查了一-元一次方程的解和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 10． 【分析】根据题意得出，，进而表示出，根据得出，根据整除，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵一个“奇巧数”的千位为，百位为，十位为，个位为， 则，， 又∵与的和能被整除， ∴ ∴是整数，且， 若，则， ∵是整数， ∴， ∴，则； 若，是整数，则，则， ∴（舍去）， 若，则， ∴，，或， 则或； 若，则 ∴, ∴， ∴最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不定方程，不等式组的应用，整除，分类讨论是解题的关键． 11． 【分析】求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 12．1 【分析】解出不等式组的解集，与已知解集-1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2016次方，可得最终答案． 【详解】由不等式x-a＞2得x＞a+2，由不等式b-2x＞0得x＜b， ∵-1＜x＜1， ∴a+2=-1，b=1 ∴a=-3，b=2， ∴（a+b）2016=（-1）2016=1． 故答案为1． 【点睛】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数． 13．-2 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含x的式子表示，可以确定有哪些整数解. 【详解】由已知可得 解得： 所以x 可取的所有整数解是-2，-1，和是-3 【点睛】正确解出不等式组的解集，正确确定x的范围，是解决本题的关键． 14．2 【分析】首先根据求不等式的方法得出不等式的解，然后根据解得出答案． 【详解】解：两边同乘以3可得：m－2x≤－6， 移项可得：－2x≤－m－6， 两边同除以－2可得：x≥， ∴=4， 解得：m=2． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查的就是解不等式的方法，属于基础题型．在解不等式时，如果在不等式的两边同时除以一个负数，不等符号一定要改变． 15． 【分析】先分别解出两个不等式，求出各不等式的解集，进而即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解不等式组，准确求出各不等式的解集是解题关键．注意确定不等式组的解集可以借助数轴进行，也可以根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定． 16．0和1 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】 不等式的解集是 不等式的解集是 不等式组的解集是 该不等式组的非负整数解是和 【点睛】考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 17．x≥． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】 2（2﹣3x）﹣3（x﹣1）≤6， 4﹣6x﹣3x+3≤6， ﹣6x﹣3x≤6﹣4﹣3， ﹣9x≤﹣1， x≥． 【点睛】考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 18．（1） （2），画图见解析 【分析】（1）先解出不等式，再画出数轴，求出正整数解； （2）解不等式组，画数轴表示解集． 【详解】（1），解得， 求其正整数解， 观察数轴可得，其正整数解为x=1，2，3； （2）解不等式组 解①式得：，解②式得：， 故不等式解集为：， 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查解不等式和不等式组，以及用数轴表示解集，解题的关键是掌握解不等式（组）的方法，需要注意画数轴时要体现数轴的三要素． 19．（1）x≤;（2）1，2，3． 【分析】（1）先去分母和去括号得到6-2x+4≥3x+3，然后移项后合并同类项，再把x的系数化为1即可，接着用数轴表示解集； （2）分别解两个不等式得到x≥1和x＜4，再根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，然后在次范围内找出整数即可． 【详解】（1）去分母得6-2（x-2）≥3（x+1）， 去括号得6-2x+4≥3x+3， 移项得-2x-3x≥3-6-4， 合并得-5x≥-7， 系数化为1得x≤; （2） ， 解①得x≥1， 解②得x＜4， 所以不等式组的解集为1≤x＜4， 不等式组的整数解为1，2，3． 【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题关键在于掌握分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 20．x>6 【详解】试题分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可. 试题解析：（1）， 由①得，x＞-5， 由②得，x＞6， 在数轴上表示为： ． 故原不等式组的解集是x＞6. 21．（1）①，；②；(2)应满足的关系式是． 【分析】（1）①根据题中的新定义列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值； ②根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围即可； （2）利用已知，可得，再根据比例的性质得到的新定义确定出与满足的条件即可． 【详解】（1）①根据题中的新定义得：， 解得：， 故答案为：，； ②由①知：，， 根据题中的新定义化简得：， 整理得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 化简得：， ∵对任意实数都成立， ∴应满足的关系式是． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组以及实数的运算，熟练掌握定义新运算的运算法则是解本题的关键． 22．（1）y与x之间的函数关系式为y=5x+900；（2）当每天生产A种玩具最多36件时，所获利润最大，最大是1080元． 【分析】（1）根据表格可以求得A的利润与B的利润，从而可以求得总利润，写出相应的函数关系式； （2）根据题意列出不等式，求出自变量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到问题的答案． 【详解】（1）由题意，得y=（70-50）x+（50-35）（60﹣x） =20x+15（60﹣x） =5x+900． 所以y与x之间的函数关系式为y=5x+900． （2）50x+35（60﹣x）≤2640， 解得x≤36． ∵k=5>0，y随x的增大而增大， ∴当x=36时，y取得取大值，y=5×36+900=1080． ∴当每天生产A种玩具最多36件时，所获利润最大，最大是1080元． 【点睛】考查一次函数的性质，一元一次不等式的应用等，掌握一次函数的性质是解题的关键. 23．（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）8；（3）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元． 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据题意列出方程组即可求解； （2）利用租车总辆数=总人数÷35，再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解； （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，根据题意列出不等式组即可求解. 【详解】解：（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：， 解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）（辆）（人），（辆）， 租车总辆数为8辆． 故答案为8． （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 共有4种租车方案． 设租车总费用为元，则， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为2720． 学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，熟练掌握两者是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$