10.3实际问题与二元一次方程组(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

10.3实际问题与二元一次方程组 板块一：知识精讲 1．方程的应用 利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 2．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 3．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 板块二：典题精练 一、单选题 1．若是二元一次方程和的公共解，则的值为（    ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 2．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵设男生有人，女生有人，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若和有相同的解，则相同的解是（    ） A． B． C． D． 4．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表如下： 捐款（元） 3 5 8 10 人数 2 ■ ■ 31 表格中捐款5元和8元的人数不小心被墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（　　） A． B． C． D． 5．（我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已知5大桶加上1小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），已知1大桶加上5小桶可以盛酒2斛，1大桶加上1小桶可以各盛酒多少斛？如果设1大桶x斛、1小桶长y斛，则列出正确的方程组是（　　） A． B． C． D． 6．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（    ） A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子 7．在方格上做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则右表中的值是 3 4 A． B． C． D． 8．甲、乙两人相距6千米，若同向而行，则甲3小时可追上乙；若相向而行，则1小时后两人相遇．则甲、乙的速度分别是(　　) A．3千米/时，4千米/时 B．2千米/时，4千米/时 C．4千米/时，2千米/时 D．4千米/时，3千米/时 二、填空题 9．已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是 . 10．一次数学竞赛有12道题，评分规定为：做对一道题得10分，做错一道题扣5分．小明答了全部题目，但只得了90分，他答对了 道题． 11．已知关于的方程组的解是 ，则关于的方程组的解是 ． 12．已知关于的方程组的解为，则的平方根为 ． 13．某中学为积极开展校园足球运动，计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球价格为120元，一个品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，请写出一种购买方案：买 个品牌足球，买 个品牌足球． 三、解答题 14．已知关于的方程组与有相同的解，求的平方根． 15．某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，商场共盈利49元，甲、乙两种商品的进价分别为多少元？ 16．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的得解为，小红看错了方程组中的，得解为； (1)小军把看成了什么数？小红把看成了什么数？ (2)正确的解应该是怎样的？ 17．某班进行个人投篮比赛，有1人未进球，有2人各进一球，有7人各进2球，有2人各进5球，没有人进5球以上，小英和一些同学各进3球，小亮和一些同学各进4球．已知进球3个或3个以上的同学平均进3.5个球，进球4个或4个以下的同学平均每人进2.5个球，问进3个球和进4个球的人数各是多少? 18．为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行了专项训练．在某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度． 19．我市为了打造湿地公园，今年计划改造一片绿化地种植，两种景观树．种植棵种、棵种景观树需要元，种植棵种、棵种景观树需要元．种植每棵种景观树和每棵种景观树各需要多少元？ 20．某工厂为了扩大生产，决定购买6台机器用于生产零件，现有甲、乙两种机器可供选择．其中甲型机器每日生产零件106个，乙型机器每日生产零件60个，经调查，购买3台甲型机器和2台乙型机器共需要31万元，购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多2万元 （1）求甲、乙两种机器每台各多少万元？ （2）如果工厂期买机器的预算资金不超过34万元，那么你认为该工厂有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，如果要求该工厂购进的6台机器的日产量能力不能低于380个，那么为了节约资金．应该选择哪种方案？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】把代入，即可得到答案. 【详解】解： 是二元一次方程和的公共解， 故选： 【点睛】本题考查的是二元一次方程的公共解的含义，理解方程的解是方程的左右两边的值相等是解题的关键. 2．D 【分析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可． 【详解】解：设男生有x人，女生有y人， 根据题意可得：， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 3．A 【分析】根据题意，将题目中的两个方程组成方程组，然后求出方程组的解，即可解答本题． 【详解】由题意得到二元一次方程组， 解得， 故选A. 【点睛】本题考查二元一次方程的解，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的解法． 4．A 【分析】设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，利用八（1）班学生人数为45得出一个方程，然后利用共捐款400元得出另外一个方程，再组成方程组即可． 【详解】解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得： ，即． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，关键是利用总人数和总钱数作为等量关系列方程组． 5．D 【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛， 根据题意得： 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 6．A 【分析】设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可． 【详解】解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 ， 当x=1时，原方程组为，解得，符合题意； 当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 故选：A． 【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组． 7．D 【分析】根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，即， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．C 【分析】先设未知量，根据两种情况分别列出方程，组成二元一次方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时， 故甲的速度是4千米/时，乙的速度是2千米/时． 故选C 【点睛】此题重点考查学生对二元一次方程组的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键. 9． 【分析】将已知方程按a整理得（x+y-2）a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，所以只须x+y-2=0且x-2y-5=0．联立以上两方程即可求出结果． 【详解】解：将方程化为a的表达式：（x+y-2）a=x-2y-5， 由于x，y的值与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解， 所以有 ， 解得 ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查关于x的方程ax=b有无穷解的条件：a=b=0，二元一次方程组的解法．解题的关键在于将已知方程按a整理以后，能够分析得出这个方程的解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，从而转化为求解关于x、y的二元一次方程组． 10．10 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小明做对x道题，做错了y道题，根据赛题有12道题，小明答了全部题目，但只得了90分，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小明做对x道题，做错了y道题，由题意得：， 解得：， 即小明答对了10道题， 故答案为：10． 11． 【分析】根据条件及所求，由同解方程组的性质得到方程组求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组的解是 ， ， 若令，则方程组的解为， 解方程组得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解及同解方程组，利用整体思想是解决问题的关键． 12． 【分析】根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m、n,再代入求平方根. 【详解】将代入方程组得 ， 解得 . 所以 所以的平方根为 故答案为： 【点睛】考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键． 13． 10 12 【分析】设买个品牌足球，买个品牌足球，根据题意列出二元一次方程，根据整数解确定的值即可求解． 【详解】解：设买个品牌足球，买个品牌足球，根据题意得， ， 整理得：， ，是正整数， 是5的倍数， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，整除，根据题意列出方程是解题的关键． 14．±3 【分析】首先把3x-2y=4和5y-x=3联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，再进一步联立关于m、n的方程组，进一步解方程组求得m、n的值，最后代入2m-n求解即可． 【详解】解：由题意知可重组方程为①和② 解方程①得： 把代入得： ，解得： 则2m-n=2×4-(-1)=9， ∴2m-n的平方根为±3． 【点睛】此题考查方程组解的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 15．甲种商品的进价为150元，乙种商品的进价为200元． 【分析】1、根据题意设出合适的未知数,本题求什么设什么,设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元.找出题中的等量关系; 2、等量关系为“原销售价之和为490元”,“打折后的总价为399元”; 3、根据“加价40%作为销售价”可得出甲、乙两种商品的销售价分别为(1+40%)x、(1+40%)y.进而可列出方程组; 4、求解此方程组解出x、y的值即可. 【详解】解：设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种商品的进价为150元，乙种商品的进价为200元． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用-销售和利润，解题关键是根据题意设出合适的未知数,找出题中的等量关系. 16．(1)5；1 (2) 【分析】（1）依题意，得，解得，同理，得，解得，即可得出答案； （2）依题意，得，解得，同理，得，解得，解二元一次方程组即可. 【详解】（1）解：∵小军看错了方程组中的， 把代入，得， 解得， ∴小军把看成了5； ∵小红看错了方程组中的， 把代入，得， 解得， ∴小红把看成了1； （2）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴原方程组为， 得，， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，考查方式较为新颖，要熟练掌握该知识点. 17．解：设有人进3个球，人进4个球，根据题意，得： 解得： 答：有9人进3个球，3人进4个球． 【详解】略 18．自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米 【分析】设自行车路段的长度为米，长跑路段的长度为米，根据“李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设自行车路段的长度为米，长跑路段的长度为米，根据题意得： ，解得：． 答：自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 19．种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元 【分析】设种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元，根据种植棵种、棵种景观树需要元，种植棵种、棵种景观树需要元列出二元一次方程组进行解答即可． 【详解】解：设种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题中给出的等量关系列出方程组是解答本题的关键． 20．（1）甲种机器每台7万元，乙种机器每台5万元；（2）有三种购买方案，①购买甲种机器0台，乙种机器6台，②购买甲种机器1台，乙种机器5台，③购买甲种机器2台，乙种机器4台；（3）购买甲种机器1台，乙种机器5台满足条件． 【分析】(1)设甲种机器每台x万元，乙种机器每台y万元，根据题意列方程组进行求解即可； (2)设购买甲种机器a台，乙种机器(6﹣a)台，根据资金不超过34万元列不等式进行求解即可； (3)根据(2)的方案分别计算出每种方案的日产量，继而根据费用进行判断即可. 【详解】(1)设甲种机器每台x万元，乙种机器每台y万元． 由题意， 解得， 答：甲种机器每台7万元，乙种机器每台5万元； (2)设购买甲种机器a台，乙种机器(6﹣a)台． 由题意7a+5(6﹣a)≤34， 解得a≤2， ∵a是整数，a≥0， ∴a＝0或1或2， ∴有三种购买方案， ①购买甲种机器0台，乙种机器6台， ②购买甲种机器1台，乙种机器5台， ③购买甲种机器2台，乙种机器4台； (3)①费用6×5＝30万元，日产量能力360个， ②费用7+5×5＝32万元，日产量能力406个， ③费用为2×7+4×5＝34万元，日产量能力452个， 综上所述，购买甲种机器1台，乙种机器5台满足条件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系或不等关系列出方程组或不等式是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$