9.2坐标方法的简单应用(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

9.2坐标方法的简单应用 板块一：知识精讲 1．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 2．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 板块二：典题精练 一、单选题 1．如果将三角形的三个顶点的横坐标都加上，纵坐标都减去后，得到新的三角形，那么三角形在三角形的基础上（  ） A．先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 C．先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 2．如图，在中，顶点A在x轴的负半轴上，且，顶点B的坐标为，P为AB边的中点，将沿x轴向右平移，当点A落在上时，点P的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，若炮的位置是，那么卒的位置可以记作（  ） A． B． C． D． 4．生态园位于县城东北方向5千米处，如图中表示准确的是(　　) A． B． C．D． 5．四边形ABCD经过平移得到四边形A′B′C′D′，若点A(a，b)变为点A′(a－3，b＋2)，则对四边形ABCD进行的变换是(  ) A．先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 B．先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 6．已知线段AB，点A的坐标为(3，3)，点B的坐标为(2，6)，线段AB平移变换后得到线段，已知点A的对应点的坐标为(6，6)，那么点的坐标为（　　） A．(5，6) B．(2，9) C．(5，9) D．(﹣1，3) 7．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（    ） A．某楼2单元5楼1号 B．黄海路8号 C．北偏西 D．东经，北纬 8．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，若该圆向x轴正方向滚动2017圈（滚动时在x轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为（　　） A．（2018，1） B．（4034π+1，1） C．（2017，1） D．（4034π，1） 二、填空题 9．以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为 ． 10．如图点 A、B 的坐标分别为（1，2）、（3，0），将△AOB 沿 x 轴向右平移，得到△CDE． 已知点 D 在的点 B 左侧，且 DB＝1，则点 C 的坐标为 ． 11．在平面直角坐标系中，点P(1,2)向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位得到的点的坐标为 . 12．将点向左平移4个单位，它的像是点 ． 13．如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（－1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是 ． 14．已知在轴上，在轴上，则向左平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后的坐标为 ． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为个单位长度，三角形的顶点的坐标分别为．    (1)直接写出点的坐标为 　 　； (2)平移三角形，将点移动到点点，其中点的对应点为，点的对应点为．①求点的坐标；②在平面直角坐标系中画出三角形；③求三角形的面积． 16．在如图所示的平面直角坐标系中，描出下面六个点：，，，，，． (1)到原点O的距离为4的点是______，点E到y轴的距离是______； (2)将点F向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，它与点______重合； (3)若连接CD，则线段CD与x轴的位置关系是______． 17．如图是某学校的平面示意图，在8×8的正方形网格中，如果实验楼所在位置的坐标为(－2，－4)，旗杆所在位置的坐标为(0，－1)． (1)请画出符合题意的平面直角坐标系； (2)在(1)的平面直角坐标系内表示下列位置： 校门________；图书馆________；教学楼________． 18．如图，在平面直角坐标系中，1cm对应坐标轴上的1个单位长度，ABCDx轴，BCDEy轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动． (1)直接写出B，C，D三个点的坐标； (2)当P，Q两点出发3s时，求三角形PQC的面积； (3)设两点运动的时间为ts，当三角形OPQ的面积为16cm2时，求t的值（直接写出答案）． 19．如图所示，一条线段AB平移一段距离后得到线段A’B’，连接AA’,BB’可以得到一个平行四边形ABB’A’请据此回答下面问题： 在平面直角坐标系中有A点（1，0），B点（-2，1），C点（-1，-3），若坐标平面内存在点D，使得A，B，C，D四点恰好能构成一个平行四边形，求D点的坐标. 20．如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接． (1)写出点的坐标； (2)在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 21．在纸上建立直角坐标系，根据点的坐标描出下列各点：(0,0)，(5,3)，(3,0)，(5,1)，(5，－1)，(4，－2)，然后按照(0,0)→(5,3)→(3,0)→(5,1)→(5，－1)→(3,0)→(4，－2)→(0,0)的顺序用线段连接起来． (1)看看你得到的图案像什么？ (2)如果把这些点的横坐标都加上1，纵坐标都减去2，再按照原来的顺序将得到的各点用线段连接起来，这个图案与原图案在大小、形状和位置上有什么变化？ 22．如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1） （1）直接写出C，D，E，F的坐标； （2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？ 23．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，线段AB的端点在格点（小正方形顶点）上． （1）请建立适当的平面直角坐标系xOy，使得A点的坐标为（-3，-1），在此坐标系下，写出B点的坐标； （2）在（1）的坐标系下将线段BA向右平移3个单位，再向上平移2个单位得线段CD，使得C点与点B对应，点D与点A对应．写出点C，D的坐标， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】利用平移的性质，解决问题即可． 【详解】解：的三个顶点的横坐标都加上，纵坐标都减去后，得到新的三角形A'B'C'， A'B'C'是由向右平移个单位，再向下平移个单位得到的， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，以及平移的性质，在直角坐标系中准确找出各点的位置是解题的关键． 2．D 【分析】先求出点A的坐标，然后利用中点坐标公式求出点P的坐标，将点P和点A向右平移相同的单位长度即可． 【详解】解：过点B作轴，垂足为D，如图， ∵B，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵P为AB边的中点， ，即， 当点A落在上时，相当于将A水平向右平移了5个单位长度， 将向右平移5个单位长度后，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形中的点的平移，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式等，得到是由P向右平移5个单位长度得到的是解决这题的关键． 3．B 【分析】根据炮的位置所代表的点的横纵坐标，与卒的位置所代表的点的横纵坐标之间的数量关系确定卒的位置即可． 【详解】解：∵炮的位置（4，7）， 观察图可知，炮的横坐标比卒大3，纵坐标比卒大2， ∴卒的横坐标为：，卒的纵坐标为：， ∴卒的位置应该表示为：（1，5）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确找出两点间的坐标位置关系是解题关键． 4．B 【分析】根据方向角的定义，东北方向是指北偏东45°解答即可． 【详解】∵生态园位于县城东北方向5公里处， ∴生态园在县城北偏东45°距离县城5公里． 故选B． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 5．D 【分析】根据平面直角坐标系中坐标的平移规律即可解题. 【详解】解：坐标A(a，b)变为点A′(a－3，b＋2)，说明横坐标减小3个单位长度,纵坐标增大2个单位长度,即先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度, 故选D. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 6．C 【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移3个单位，向上平移了3个单位，然后可得B′点的坐标； 【详解】解：∵A（3，3）平移后得到点A′的坐标为（6，6）， ∴向右平移3个单位，向上平移了3个单位， ∴B（2，6）的对应点坐标为（5，9）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了图形平移与点坐标之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质. 7．C 【分析】根据确定物体的位置需要两个数据，依次判断各个选项即可． 【详解】解：北偏西只有方向，没有距离，不能确定物体位置的， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了确定物体的位置，解题的关键是掌握确定物体的位置需要两个数据． 8．B 【分析】首先求出圆心坐标（1,1），再根据圆的滚动情况求出平移距离，再根据点平移时其坐标变化规律求解即可． 【详解】解：∵圆的半径为1，且圆心到两坐标轴的距离都等于半径， ∴圆心坐标（1,1）． ∵圆向x轴正方向滚动2017圈， ∴圆沿x轴正方向平移个单位长度． ∴圆心沿x轴正方向平移个单位长度． ∴平移后圆心坐标． 故选：B． 【点睛】本题考查了点平移时其坐标变化规律，点向左（右）平移时，横坐标减（加）平移距离，点向下（上）平移时，纵坐标减（加）平移距离． 9．（﹣2≤y≤7）． 【分析】根据平移的特点可知，向右平移横坐标变化，纵坐标不变可得解； 【详解】A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）向右平移7个单位可得，， ∴所得图形上任意一点的坐标可表示（﹣2≤y≤7）． 故答案是：（﹣2≤y≤7）． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，准确分析计算是解题的关键． 10． 【分析】根据平移的性质，得到对应点的变化，即可得到答案 【详解】解：的坐标为， ， ， ， 向右平移了2个单位长度， 点的坐标为， 点的坐标为：． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移距离是解题关键． 11．（4，3） 【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加即可得解． 【详解】解：将点P(1,2)向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的点的坐标为（1+3，2+1），即（4，3） 故答案为：（4，3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，熟记点坐标的平移变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题关键． 12． 【分析】根据坐标平移的规律，把点A（-3，1）向左平移4个单位得到点A'，则点A的纵坐标不变，横坐标减去4即可得出答案． 【详解】解：根据坐标平移的规律，把点A（-3，1）向左平移4个单位得到点A'， 则点A'的坐标为（-7，1）． 故答案为：（-7，1）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，明确已知点的变化规律是解答本题的关键． 13．（1，） 【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可． 【详解】解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0）， 所以图形向右平移1个单位长度， 所以点B的对应点B'的坐标为（0+1，），即（1，）， 故答案为：． 【点睛】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点． 14． 【分析】先根据轴上的点的横坐标为0、轴上的点的纵坐标为0可求出的值，从而可得点的坐标，再根据点的坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：在轴上，在轴上， ，， 解得， ， 则向左平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后的坐标为，即为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标、点的坐标的平移变换规律，熟练掌握点的坐标的平移变换规律是解题关键． 15．(1) (2)①，；②图见解析；③三角形的面积为 【分析】（1）在平面直角坐标系结合图形即可求解； （2）①根据点的平移的性质即可求解；②找出点，连接即可求解；③根据点的特点求出边的长度，图形结合及图形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题目中的图示可得，， 故答案为：． （2）解：①∵点，经过平移后移动到点， ∴点到点的平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点的坐标为， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点的坐标为， ∴，； ②由①找出点，，，连接即可，如图所示，    ∴即为所求图形； ③如图所示，，，与轴的交点为，    ∴，， ∴， ∴三角形的面积为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移变换，掌握图形平移，点平移的性质，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 16．(1)A和B，3 (2)D (3)平行 【解析】略 17．（1）详见解析；（2）校门(－4，－1)，图书馆(－5，2)，教学楼(－1，1)． 【分析】（1）实验楼向右2个单位，向上4个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系写出各位置的坐标即可． 【详解】解：(1)建立平面直角坐标系如图所示． (2)校门(－4，－1)，图书馆(－5，2)，教学楼(－1，1)． 【点睛】本题考查了坐标位置的确定，比较简单确定出坐标原点的位置是解题的关键． 18．(1)B（4，5），C（4，2），D（8，2） (2)2 (3)t＝3.2或t＝4.5 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）过点P作PM⊥x轴，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K，先求出点P、Q的坐标，再求出点M、N、K的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）由题意点P从A运动到C用时需要7秒，点Q从O运动到D用时需要5秒，根据其中一点到达终点时，运动停止，可知运动时间t的取值范围为0≤t≤5，然后分两种情况讨论即可，两种情况分别为①0≤t＜4，此时点P在AB上，点Q在OE上；②4≤t≤5，此时点P在BC上，点Q在DE上． 【详解】（1）解：∵AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4，OA＝5，DE＝2，4+4＝8， ∴B（4，5），C（4，2），D（8，2）； （2）解：过点P作PM⊥x轴，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K， 当P，Q两点运动3s时，此时点P（3，5），Q（6，0），如图1， ∵C（4，2）， ∴M（3，0），N（4，0），K（3，2）， ∴QM＝MQ＝3，CK＝MN＝1，PK＝BC＝3，CN＝NQ=2， ∴ =×3×5-×1×3-×2×2-2×1＝2； （3）解：点P运动的路径长为AB+BC＝4+3＝7，用时需要7秒， 点Q运动的路径长为OE+DE＝8+2＝10，用时需要5秒， 根据其中一点到达终点时，运动停止，可知运动时间t的取值范围为0≤t≤5； ①当0≤t<4时（如图2），OA＝5，OQ＝2t， S△OPQ＝OQ•OA ＝×2t×5 =5t； ②当4≤t≤5时（如图3），OE＝8，，PM＝4，，， ， 综上，S＝， 当S＝16时，解得t＝3.2或t＝4.5． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积，平行线等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握坐标与图形性质，三角形的面积公式，平行线的性质，分情况讨论． 19．（0，4）或（-4，-2）或（2，-4） 【分析】根据平移的性质，分三种情况进行平移即可求得答案. 【详解】如图，若将点A平移到点C，则点B平移到的点即为点D，此时的坐标为(-4，-2)； 若将点B平移到点A，则点C平移到的点即为点D，此时的坐标为(2，-4)； 若将点C平移到点B，则点A平移到的点即为点D，此时的坐标为(0，4)； 综上所述，点D的坐标为：(0，4)或(-4，-2)或(2，-4). 【点睛】本题考查了阅读理解题，平移的性质，理解题意，正确画出图形是解题的关键. 20．(1) (2)存在， 【分析】（1）根据几何图形在平面直角坐标系中各边长，各顶点与轴的关系，平移的性质即可求解； （2）根据题意，设，则，根据三角形的面积计算公式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∵点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得对应点， ∴． （2）解：如图所示， ，设，则， ∴，， ∴，解得，， ∴点存在，且坐标为． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，掌握几何图形的性质，平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的关键． 21．(1)一条可爱的小鱼;(2)见解析. 【分析】（1）根据题意画出图形，观察即可解答；（2）根据题意画出图形，与原图形比较即可解答. 【详解】解：(1)建立平面直角坐标系，将各点描出，连接后我们可以得到一条可爱的小鱼，如图①. (2)如果把这些点的横坐标都加上1，纵坐标都减去2，再按原来的顺序连接，仍得到一条小鱼，这条小鱼的大小、形状与原来的完全一样，它的位置可以看作将原来的小鱼先向右平移1个单位长度，然后再向下平移2个单位长度得到，如图②. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，利用已知点得出在坐标系中位置是解题关键． 22．（1）C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）；（2）高度是10，长度为10 【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可； （2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可． 【详解】解：（1）以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系． 所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）． （2）每级台阶高为1，宽也为1， 所以10级台阶的高度是10，长度为10． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质确，主要利用了平面直角坐标系，从平移的角度考虑求解是解题的关键． 23．（1）见解析；B（-1，2）；（2）见解析，C（2，4），D（0，1） 【分析】（1）根据点A坐标，确定坐标系即可解答； （2）根据平移方式即可得出点C，D的位置，进一步可知坐标． 【详解】解：（1）建立坐标系如图所示： 根据直角坐标系即可得出B点的坐标为：B（-1，2） （2）平移如上图，由平移后的图即可得出C（2，4），D（0，1）． 【点睛】本题考查了坐标和图形，解题的关键是确定直角坐标系． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$