8.3实数及其简单运算(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

8.3实数及其简单运算 板块一：知识精讲 1．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 2．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 3．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 4．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 板块二：典题精练 一、单选题 1．下列各数是无理数的为（    ） A． B． C． D． 2．下列四个数中，是无理数的为（    ） A． B． C． D． 3．下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 4．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．下列实数中是无理数的是（    ）． A．0.131289…… B． C．3.14 D． 6．有六个数0.1427、0.010010001、、2π、、，其中无理数的个数是    （      ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．下列实数是无理数的是（　　） A．-2 B．0 C． D． 8．的小数部分是（    ） A． B． C． D． 9．在实数π，－，0.1010010001……，，中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在数轴上表示2，的对应点分别是，是的中点，则点表示的数（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．比较大小： （填“”或“”或“”）． 12．已知函数 ，那么 . 13．试写出两个无理数 和 ，使它们的和为． 14．比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．如图，四边形是正方形，且点在轴上，求顶点和的坐标． 17．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 18．计算： (1) (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是的倒数． (1)填空： ， ， ； (2)求的值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数无理数是解题的关键． 2．B 【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数，含有的最简式子，特殊结构的数（如：），由此即可求解． 【详解】解：、是有理数，不符合题意； 、是开不尽方的数，是无理数，符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念，常见的无理数的性质是解题的关键． 3．B 【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义：“无限不循环小数、根号开不尽的数”是解题的关键，根据无理数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是有理数，此选项不符合题意； B、是无理数，此选项符合题意； C、为有限小数，是有理数，此选项不符合题意； D、为分数，是有理数，此选项不符合题意； 故选：B． 4．A 【分析】此题主要考查了估算无理数．首先得出，进而求出的估计值． 【详解】 解：∵， ， ∴的值在2到3之间． 故选：A． 5．A 【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. 0.131289……是无理数，符合题意； B.是整数，属于有理数，故不符合题意； C. 3.14是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D.是整数，属于有理数，故不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 6．B 【分析】根据无理数与有理数的概念进行判断即可得． 【详解】0.1427是有理数，0.010010001是有理数，是无理数，2π是无理数，是有理数，是无理数，所以无理数有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等． 7．D 【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断． 【详解】解：A、-2是整数，是有理数，选项错误； B、0是整数，是有理数，选项错误； C、是分数，是有理数，选项错误； D、是无理数，选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查无理数，解题关键在于掌握其定义 8．C 【分析】运用夹逼法求得的整数部分，然后用减掉其整数部分即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故选：C 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用夹逼法求得的整数部分是解题的关键． 9．C 【分析】无限不循环小数是无理数，常见的有三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．据此解答即可． 【详解】解：在实数，，0.1010010001……，，中， 是无理数的是，0.1010010001……，，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的知识，解题的关键是理解并掌握无理数的常见形式． 10．C 【分析】设点表示的数是，求出之间的距离，求出，即可得出关于的方程，求出即可． 【详解】解：设点表示的数是， 在数轴上数表示2，的对应点分别是、， 、之间的距离是， 是的中点， ， 点表示的数是2，点表示的数是， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上之间的距离是． 11． 【分析】求出与的平方，再根据实数的大小比较法则比较即可； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小． 12． 【详解】将-1代入函数解析式得 13． , 【分析】由于无理数就是无限不循环小数，而两个无理数的和为有理数，所以此无理数应为有理数与无理数相加的形式，例如6+和-．由此即可求解． 【详解】解：例如6+和-等，答案不唯一． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，是开放性题目，答案不唯一，只要写出的两个无理数的和为6，即符合要求． 14．＜ 【详解】≈-3.14，=-3.1 ∵3.14＞3.1 ∴-3.14＜-3.1， ∴＜. 故答案为＜. 15．(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，实数的混合运算，正确的计算，是解题的关键． （1）从左到右依次计算即可； （2）先进行乘方，开方运算，再进行乘法运算，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 16．，． 【详解】试题分析：根据平面直角坐标系的特点和正方形的性质，可对应求出C、D点的坐标. 试题解析：因为四边形是正方形 所以AB=CD=AD=BC， AO=，BO= ， 所以AB=+ ∴， 17．4 【分析】先根据平方根与立方根的概念可得与的值，估计的值，从而求出的值，最后求算术平方根即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， ， 的立方根是2， ， ， ， ， ， ， ， 的算术平方根为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义及求解，无理数的估算与整数部分的求解，解题的关键是熟练掌握相关概念． 18．(1) (2) 【分析】（1）先分别计算算术平方根、立方根、平方，再进行实数的加减运算即可； （2）先分别计算乘方、算术平方根、立方根和化简绝对值，再进行实数的加减运算即可； 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及算术平方根、立方根、乘方、绝对值及实数的加减运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键． 19．(1)3 (2) 【分析】（1）开立方根和平方根即可求解． （2）先开立方根和平方根、去绝对值和求一个数的平方，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、去绝对值及实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义及实数的混合运算法则是解题的关键． 20．(1) (2)10 【分析】 （1）直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案； （2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案． 【详解】（1）是4的算术平方根，是的立方根，是的倒数， ； 故答穼为∶； （2）原式 ． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$