7.1相交线(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

7.1相交线 板块一：知识精讲 1．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 2．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 3．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 4．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 5．同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 板块二：典题精练 一、单选题 1．如图，和不是同位角是（    ） A．  B．  C．  D．   2．如图，直线，相交于点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（    ） A．①④ B．①② C．③④ D．②③④ 4．如图，三角形中，，，则图中能表示点到直线的距离的线段有（    ）条． A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，下列说法正确的是（    ） A．∠1 和∠3 是对顶角 B．∠2 和∠4 是同位角 C．∠1 和∠2 是同旁内角 D．∠1 和∠4 是同位角 6．如图，A、B、O在一条直线上，，，平分，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，下列判断中，正确的是（       ） A．∠2和∠4是同位角 B．∠1和∠B是内错角 C．∠3和∠5是同旁内角 D．∠5和∠B是同旁内角 8．如图，直线，相交于点，射线平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽站在点A处，她觉得沿AP走过斑马线到达马路边BC更节省时间，这一想法体现的数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 二、填空题 10．如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．    （1）若，则的度数为 ； （2）与的数量关系为 ． 11．某村庄A为方便出行想向公路a修一条乡村公路，为了尽可能的节省费用，选择了如图的方案，这样做的原因是 ．    12．如图，当剪刀口∠AOB增大21°时，∠COD增大 13．如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE=44°，则∠AOD= ． 14．如图，∠E的同位角有 个． 15．如图，三条直线AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF，∠AOE=68°．若OG平分∠BOF，则∠DOG= 度． 三、解答题 16．如图，直线a，b相交． (1)已知∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4； (2)已知∠2＋∠4＝280°，求各角； (3)已知∠1∶∠2＝2∶7，求各角． 17．如图，已知直线AB和CD相交于点，，平分，，求的度数． 18．【问题背景】已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)【问题再现】如图1，射线均在直线上方．若，求和的度数； (2)【问题推广】如图2，射线在直线下方，射线在直线上方．请求出与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图3，射线均在直线下方．求的度数． 19．如图，直线与相交于点，平分，，． （1）求证：； （2）若，求、的度数． 20．如图，已知． (1)若射线，射线，请你画出所有符合要求的图形； (2)请根据（1）所画出的图形，求的度数． 21．如图，直线与相交于点F，于点F．    (1)图中与相等的角是 ，与互余的角是 ； (2)若，求的度数． 22．如图，点M在直线上，点N在直线外． (1)作射线； (2)过点N作直线，使得； (3)过点N作直线的垂线段；点N到直线的距离是线段　 　的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据同位角的定义即可得到结论． 【详解】解：根据同位角的定义可知选项B中的和不是同位角， 故选：B． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键． 2．A 【分析】根据平角的定义先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据对顶角相等求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查的是对顶角、角平分线的定义、平角定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键． 3．A 【分析】根据点到直线的距离，直线的性质，线段的性质，可得答案． 【详解】①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，利用了两点确定一条直线，故①正确； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用“两点之间线段最短”，故②错误； ③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，利用了点到直线的距离，故③错误； ④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，利用了两点确定一条直线，故④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了线段的性质，熟记性质并能灵活应用是解答本题的关键． 4．B 【分析】根据点到直线的距离的定义，得结论． 【详解】解：线段CD的长度是点C到的距离， 线段BD的长度是点B到的距离， 线段AD的长度是到的距离， 线段的长度是到的距离， 线段的长度是到的距离， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，理解点到直线的距离是解决本题的关键． 5．D 【分析】根据对顶角、同位角、同位角、内错角定义进行分析即可． 【详解】解：A. ∠1 和∠3 是对顶角, 说法错误，故本选项错误； B. ∠2 和∠4 是同位角, 说法错误， 故本选项错误； C. ∠1 和∠2 是同旁内角, 说法错误，故本选项错误； D. ∠1 和∠4 是同位角，说法正确.故本选项正确． 故选D 【点睛】考查了内错角，对顶角，同位角以及同旁内角的概念．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 6．B 【分析】先根据邻补角的定义得出的度数，再根据角平分线求出的度数，最后根据垂直的定义求出的度数即可得出答案． 【详解】 平分， ， 故选B． 【点睛】本题考查了邻补角的定义、垂线的定义以及角的平分线的计算，根据图得出角的关系是解题的关键． 7．D 【分析】根据三线八角的相关定义逐个判断，同位角在截线的同侧，在被截线的同一方向上，内错角在截线的两侧，在被截线的内侧，同旁内角在截线的同侧，在被截线的内侧. 【详解】A、∠2和∠4无关系；B、∠1和∠B无关系；C、 ∠3和∠5是内错角；D、∠5和∠B是同旁内角，正确，故选D. 【点睛】熟记三线八角的相关定义是解题关键. 8．C 【分析】根据角平分线定义，可求，再根据补角性质可求即可． 【详解】解：平分， 答案：． 【点睛】本题考查角平分线定义，互为补角性质，掌握角平分线定义，互为补角性质是解题关键． 9．D 【分析】 本题考查垂线的性质，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线的性质进行解答即可． 【详解】解：A、连接两点的所有线中，线段最短，故A不符合题意； B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意． C、垂线的性质，故C不符合题意； D、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故D符合题意； 故选：D． 10． 【分析】（1）邻补角求出，角平分线求出，再根据对顶角相等，即可得解； （2）垂直和角平分线，得到，平角的定义，推出，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，平分， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，找准角之间的和差，倍数关系，是解题的关键． 11．垂线段最短 【分析】根据垂线段最短的性质解答即可． 【详解】解：为了尽可能的节省费用，选择了如图的方案，这样做的原因是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 12．21 【分析】根据对顶角相等即可解答． 【详解】∵两直线相交，对顶角相等，且对顶角中两个角的变化一致， ∴当∠AOB增大21°时，∠COD也增大21°． 故答案为21. 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，属于基础题． 13．134° 【详解】解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°， ∵∠COE=44°， ∴∠AOC=46°， ∴∠AOD=180°－∠AOC=180°－46°=134°， 故答案为：134°． 14．2 【分析】由题意直接根据同位角的定义进行解答即可． 【详解】解：根据同位角的定义可得：∠BAD和∠E是同位角；∠BAC和∠E是同位角； ∴∠E的同位角有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查同位角的概念，熟记同位角的定义是解题的关键． 15．56 【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOC=∠BOD的度数，再利用角平分线的定义得出答案． 【详解】∵CD⊥EF， ∴∠COE=90°， ∵∠AOE=68°， ∴∠AOC=∠BOD=22°，∠BOF=68°， ∵OG平分∠BOF， ∴∠BOG=∠BOF=34°， ∴∠DOG=∠DOB+∠BOG=56°． 故答案是：56． 【点睛】考查了垂线以及角平分线的定义和角的计算，正确应用垂直的定义是解题关键． 16．(1) 140°；(2) 40°；(3) 140° 【分析】(1)根据邻补角互补和对顶角相等的性质可进行求解, (2)根据对顶角相等的性质可得∠2=∠4,再根据∠2＋∠4＝280°,可进行求解, (3)根据邻补角的性质可得:∠1+∠2=180°,再根据∠1∶∠2＝2∶7,进行计算即可. 【详解】(1)因为∠1与∠3为对顶角,故∠3＝∠1＝40°, 因为∠1与∠2,∠1与∠4是邻补角, 所以∠1＋∠2＝180°,∠1＋∠4＝180°, 所以∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°, ∠4＝∠2＝140°, (2)因为∠2与∠4对顶角,故∠2＝∠4, 又因为∠2＋∠4＝280°, 所以∠2＝∠4＝140°,∠1＝∠3＝180°－140°＝40°, (3)设∠1＝2x,∠2＝7x,因为∠1＋∠2＝180°, 即2x＋7x＝180°,x＝20°, 所以∠1＝∠3＝2x＝40°, ∠2＝∠4＝7x＝140°, 【点睛】本题主要考查邻补角和对顶角的性质,解决本题的关键是要熟练掌握邻补角和对顶角的性质. 17．34° 【分析】首先根据直角由已知角求得它的余角，再根据角平分线的概念求得∠AOE，再利用角的关系求得∠AOC，根据上述结论，即求得了∠BOD． 【详解】解：∵∠COE是直角，∠COF=28°， ∴∠EOF=62°， 又OF平分∠AOE， ∴∠AOE=124°， ∴∠AOC=34°， ∴∠BOD=∠AOC=34°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解． 18．(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）利用角的和差以及角平分线定义进行计算即可； （2）由图2，根据角平分线、平角，角的和差得到和之间的数量系即可； （3）由图3和已知条件确定各个角之间的关系，然后运用等量代换计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ， ∵平分， ， ． （2）解：，理由如下： ∵平分， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 19．（1）见解析；（2）， 【分析】（1）根据垂直的性质，即可求得，即可求解； （2）根据对顶角、平角和角平分线的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ，， ． （2）解：， ，． 平分， ． ， ． ． 【点睛】此题主要考查了垂直、对顶角、角平分线等有关几何性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)30°或150° 【分析】（1）分OC、OD在射线OA的同一侧与两侧两种情况分别作出即可； （2）结合各图形，利用各角的度数分别进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图1，∵∠AOB＝30°，射线OC⊥OA，射线OD⊥OB， ∴∠AOB＋∠BOC＝90°，∠COD＋∠BOC＝90°， ∴∠AOB＝∠COD＝30°． 如图2，∵∠AOB＝30°，射线OC⊥OA，射线OD⊥OB， ∴∠AOB＋∠AOC＋∠BOD＝30°＋90°＋90°＝210°， ∴∠COD＝360°−210°＝150°． 同理可得：图3，∠AOB＝∠COD＝30°， 图4，∠COD＝∠COA＋∠BOD−∠BOA＝90°＋90°−30°＝150°． 【点睛】本题考查了基本作图，角的计算，注意分OC、OD在OA的同一侧与两侧两种情况分别作图，注意不要漏解． 21．(1)； (2)． 【分析】本题考查了垂线，余角和补角，对顶角， （1）根据对顶角相等得出，根据余角的性质得出与互余的角是； （2）根据邻补角的性质求出的度数，再根据垂线的定义求出的度数，即可求出的度数； 熟练掌握这些知识点是解此题的关键． 【详解】（1）∵和的对顶角， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即与互余的角是， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析， 【分析】（1）作射线即可； （2）过点N作直线，使得即可； （3）过点N作直线的垂线段；进而可得点N到直线的距离． 【详解】（1）如图，射线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）如图，垂线段即为所求； 所以点N到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，垂线，点到直线的距离，平行线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$