第4章 【教材变式专题】 比例式、等积式的常见证明方法-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

BS 数 学 9年级 上册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 ——教材P102习题4.9第3题的变式训练 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 【教材原题呈现】 已知：如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB．求证：AE2＝AD·AC． -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 变式1　找线段对应的三角形，证明相似 1．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，求证：AC·DE＝AE·BC． 证明：∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E， ∴△ADE∽△ABC， ∴，∴AC·DE＝AE·BC． 1 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：． 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD． 又∵∠AEB＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋ ∠ADE，∠DAE＝∠BDC， ∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴． 2 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 变式2　利用等线段代换，证明三角形相似 3．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．求证：AD·AE＝AM·EF． 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，AD＝AB，∠B＝90°，∴∠AMB＝∠MAD． ∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴△ABM∽△EFA， ∴，即，∴AD·AE＝AM·EF． 3 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，P为AD上一点，过点C作CG∥AB，延长BP交AC于点E，交CG于点F．求证：BP2＝PE·PF． 4 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：连接PC． ∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴AD所在的直线是△ABC的对称轴， ∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP． ∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP， ∴∠PFC＝∠PCE． 又∵∠FPC＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC， ∴，∴PC2＝PE·PF． ∵PC＝BP，∴BP2＝PE·PF． 4 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，BD2＝AD·BC． (1)求证：AD∥BC． (2)过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形，并求证：CD2＝BE·BC． 5 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：(1)∵BD2＝AD·BC，∴． ∵∠BAD＝∠BDC＝90°， ∴△DAB∽△BDC， ∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC． 5 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)如图所示． ∵AD∥BC，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形，∠AEB＝∠BCD， ∴AE＝CD． 又∵∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠BDC，∴△ABE∽△BDC， ∴，∴AE·CD＝BE·BC． ∵AE＝CD，∴CD2＝BE·BC． 5 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 变式3　找中间比，利用等积式代换 6．如图，在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，连接EC交AD于点F，交对角线BD于点G．求证：． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC，EB∥CD， ∴． ∵AB＝CD，∴． 6 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，以线段AD为边作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，DE与AC相交于点F．求证：． 7 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E， ∴△ABC∽△ADE，∴． ∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDF＝∠B＋∠BAD， ∴∠CDF＝∠BAD，∴△ABD∽△DCF， ∴，∴， ∴． 7 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 8．如图，在△ABC中，E是AB的中点，延长AC到点D，连接DE交BC于点F，求证：DC·BF＝CF·AD． 证明：过点C作CG∥AB交DE于点G． 由题意知△DCG∽△DAE，∴． ∵CG∥AB，∴△CFG∽△BFE， ∴． ∵AE＝BE，∴， ∴DC·BF＝CF·AD． 8 -‹#›- 【教材变式专题】　比例式、等积式的常见证明方法 1 2 3 4 5 6 7 8 $$