第1章 【教材变式专题】 特殊平行四边形中的折叠问题-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

该初中数学单元复习课件聚焦特殊平行四边形中的折叠问题，系统梳理教材原题及变式训练，按矩形、菱形、正方形三大类型分层整合，将折叠的轴对称性质与特殊平行四边形的边角、对角线特性紧密结合，构建知识逻辑网络。 其亮点在于采用“教材原题—变式拓展—综合应用”的递进设计，通过选择、证明、解答等多元题型，如矩形折叠中结合方程思想求线段长，菱形折叠融入对角线性质证平行，培养学生几何直观与推理意识。分层训练适配不同水平学生，教师可精准实施个性化复习，有效巩固知识要点。

BS 数 学 9年级 上册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【教材变式专题】　 特殊平行四边形中的折叠问题 ——教材P28复习题第15题的变式训练 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【教材原题呈现】 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形?试说明理由． 1 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 变式1　矩形中的折叠 1．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于( ) A．66° B．60° C．57° D．48° C 1 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2．[方程思想]如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处．若AB＝9，BC＝6，则FC'的长为( ) A． B．4 C． D．5 D 2 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F．若CE平分∠ACD，AF＝2，则CD的长是( ) A．1.5 B． C．＋1 D． B 3 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4．如图，将一张矩形纸片ABCD先沿AF折叠，使点D落在BC上的点D'处，再将△ABE沿AE折叠，使点B落在AD'上的点B'处．若AD＝10，AB＝8，则BE的长为 _____　． 4 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5．如图，在矩形ABCD中，E为CD上的一点，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FH⊥BC于点H，交BE于点G，连接CG． (1)求证：四边形CEFG是菱形； 解：(1)∵FH⊥BC，∠BCD＝90°， ∴FG∥CD，∴∠FGE＝∠CEG． 由折叠的性质得EF＝EC，∠FEG＝∠CEG， ∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝EF＝EC． ∵FG∥EC，FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形． 又∵EF＝EC，∴四边形CEFG是菱形． 5 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)若AB＝8，BC＝10，求四边形CEFG的面积． (2)由折叠的性质得BF＝BC＝10， 在Rt△ABF中，AF＝＝6， ∴DF＝AD－AF＝4． 设CE＝EF＝x，则DE＝8－x． 在Rt△DEF中，DF2＋DE2＝EF2， 即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5， ∴S四边形CEFG＝CE·DF＝5×4＝20． 5 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 变式2　菱形中的折叠 6．如图，将边长为4的菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处．若折痕EF＝2，则∠BAD＝( ) A．120° B．100° C．60° D．30° A 6 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C的对应点为C'．若DC'是线段AB的垂直平分线，则∠DEC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．75° D 7 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8．[综合与实践][2024·芜湖无为月考]【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形纸片ABCD中，E为BC的中点，将该菱形纸片沿过点E的直线折叠，使得点C的对应点C'落在AB的延长线上，试猜想CC'与AB的位置关系，并加以证明． (1)【数学思考】请解答老师提出的问题； 解：(1)CC'⊥AB． 证明：由折叠可知CE＝C'E，∴∠ECC'＝∠EC'C， ∵E为BC的中点，∴CE＝BE，∴BE＝C'E，∴∠EBC'＝∠EC'B， ∵∠ECC'＋∠CC'B＋∠EBC'＝180°，∴2∠BC'E＋2∠CC'E＝180°， ∴∠BC'E＋∠CC'E＝90°，即∠CC'B＝90°，∴CC'⊥AB． 图1　　 图2 8 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图1　　　 图2 (2)【拓展再探】如图2，“兴趣小组”受到老师所提问题的启发，将菱形纸片沿直线DE折叠，点C的对应点为C'，连接C'B并延长与AD交于点F，他们认为四边形BEDF是平行四边形．“兴趣小组”得出的结论是否正确?请说明理由． (2)“兴趣小组”得到的结论是正确的． 理由如下：连接CC'，延长DE交CC'于点H． 由(1)可知CC'⊥BF，∵点C，C'关于DH对称， ∴DE⊥CC'，∴BF∥DE， ∵四边形ABCD是菱形，∴DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形． 8 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 变式3　正方形中的折叠 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠BEF＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上的点B'处，则AB'的长度为( ) A．1 B． C． D．2 C 9 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10．如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平．若P为AD上一点，沿BP折叠，使点A的对应点M在EF上，延长PM交CD于点Q，连接BQ，则∠CBQ＝　 　°． 　15　 10 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11．如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG． (1)求∠EDG的度数． 图1　　 　图2 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°． 由折叠可知∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠CDE＝∠FDE， ∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF， ∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL)，∴∠ADG＝∠FDG， ∴∠EDG＝∠ADG＋∠FDE＝∠ADF＋∠FDC＝∠ADC＝45°． 11 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)①由题意得CE＝EF＝BE，∠DEF＝∠DEC， ∴∠EBF＝∠EFB． ∵∠FEC＝∠DEF＋∠DEC＝∠EBF＋∠EFB， ∴2∠EBF＝2∠DEC，即∠EBF＝∠DEC， ∴BF∥DE． 图1 　 　图2 (2)如图2，若E为BC的中点，连接BF． ①求证：BF∥DE； 11 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ②设AG＝x，则GF＝x，BG＝6－x． 在Rt△GBE中，BE＝EF＝BC＝3， 根据勾股定理得(6－x)2＋32＝(3＋x)2，解得x＝2， ∴线段AG的长为2． 图1　　 　图2 ②若正方形的边长为6，求线段AG的长． 11 -‹#›- 【教材变式专题】　特殊平行四边形中的折叠问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$