专题02：实际问题与一元二次方程（易错专项训练）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

专题02：实际问题与一元二次方程（易错专项训练） 【思维导图+核心考点+例题讲解+考点练习】 思维导图 核心考点 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审题：明确题意，找出已知量、未知量及等量关系（核心）。 2.设元：设未知数（直接设元或间接设元，注明单位）。 3.列方程：根据等量关系列出一元二次方程（注意单位统一）。 4.解方程：选择合适方法（因式分解法、公式法等）求解。 5.检验： （1）数学检验：确保解是方程的根； （2）实际检验：判断解是否符合实际意义（如长度、人数、时间不能为负，增长率不能超过100%等）。 6.作答：写出完整答案（带单位）。 二、常见实际问题模型及等量关系 1.增长率/下降率问题 （1）基本模型：若初始量为 ，平均增长率（或下降率）为 ，经过 次增长（或下降）后变为 ，则： （2）关键要点： ①增长率 通常用百分数表示（如“增长20%”即 ）； ②下降率 需满足 （即下降幅度不超过100%）； ③若涉及“连续两次增长”，则 ，方程为 。 （3）示例：某厂2023年利润为100万元，2025年利润为144万元，求这两年利润的年平均增长率。 解：设年平均增长率为 ，则 解得 ，（舍去，增长率不能为负）。 答：年平均增长率为20%。 易错点：增长次数与时间对应（如“2023到2025年”是2次增长，而非3次）。 2.传播问题（传染、分支问题） （1）基本模型： ①若1个传染源每次传染 人，则：第1轮后感染人数：； ②第2轮后感染总人数：； ③若经过两轮传染后共有 人感染，则方程为：（“1”为初始传染源），化简得 。 （2）示例：某种病毒，1人感染后，经过两轮传染共有121人感染，求每轮传染中平均1人传染了多少人？ 解：设每轮传染中平均1人传染 人，则 解得 ，（舍去）。 答：每轮传染中平均1人传染10人。 注意：若题目无“初始传染源”，直接从传播人数开始（如“树枝分叉，第1年1根，第2年每根分 枝，第2年共有121根”，方程为 ）。 3.几何图形问题 （1）常见类型及等量关系： ①面积问题（长方形、正方形、圆形等）： a：直接利用面积公式（如长方形面积=长×宽）； b：涉及“边框”“小路”时，注意“大图形面积 - 小图形面积=边框/小路面积”。 c：示例：一个长方形花园，长20m，宽15m，在它四周修宽为 m的小路，小路总面积为246m²，求小路宽度。 解：大长方形长= ，宽= ，则 化简得 ，解得 ，（舍去）。 答：小路宽3m。 ②体积问题（如无盖长方体盒子）：用长为 、宽为 的长方形铁皮，四角剪去边长为 的正方形，折成无盖盒子，容积 。 ③动态几何问题：动点移动形成的图形面积（如“点P从A向B运动，速度为 m/s，t秒后△PBC面积为S”，根据路程=速度×时间表示线段长度，再列方程）。 易错点：单位不统一（如“厘米”与“米”混淆）；图形边长不能为负（解出 后需满足“原边长 - 2x > 0”等条件）。 4.利润问题 （1）基本关系： ①单件利润=售价 - 进价； ②总利润=单件利润×销售量； ③销售量与价格的关系：若“每涨价 元，销量减少 件”，则销量=原销量 - 。 （2）示例：某商品进价40元/件，售价60元/件时，每周卖300件。若每涨价1元，销量减少10件，设涨价 元，总利润为y元，求涨价多少元时总利润为6250元。 解：单件利润= ，销量= ，则 化简得 ，解得 。 答：涨价5元时总利润为6250元。 注意：售价不能过高导致销量为负（如 ）。 5.数字问题 （1）核心：用字母表示数位上的数字，如两位数=十位数字×10 + 个位数字。 （2）示例：一个两位数，十位数字比个位数字大3，将十位与个位数字对调后，新数与原数的积为5742，求原两位数。 解：设个位数字为 ，则十位数字为 ，原数= ，新数= ，则 设 ，方程化为 ，解得 （负值舍去），则 ，原数= 。 答：原两位数为96。 6.其他类型 （1）行程问题：涉及“相遇”“追及”，但需结合二次关系（如匀变速运动 ）； （2）比赛场次问题：n个队单循环赛，总场次= （如“共赛15场，求队伍数”，方程为 ）。 解题策略与注意事项 1.优先找等量关系： （1）题目中“等于”“是”“比…多/少”“增加到/增加了”等关键词是等量关系的标志； （2）几何问题需画出图形，标注已知量和未知量，直观分析。 2.设元技巧： （1）直接设元：问什么设什么（如“求增长率”设增长率为 ）； （2）间接设元：当直接设元方程复杂时，设与未知量相关的量（如数字问题设个位数字为 ）。 3.检验是关键： （1）解为负数、零或不符合实际意义（如人数为小数）时，必须舍去； （2）对“增长率”“下降率”，需验证是否在合理范围（如增长率>100%时需结合题意判断是否合理）。 4.避免计算错误： （1）列方程时注意括号展开、移项变号（如 需先化为 ，再求解）； （2）用公式法时，准确代入 的值，先计算判别式 ，再判断根的情况。 例题讲解 例题一：一元二次方程的实际应用-百分率问题 【例题1】某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【例题2】某药品原来每盒售价元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每盒售价为元，则每次降价的百分率是　 　． 【例题3】书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道，某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆225人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率． 例题二：一元二次方程的实际应用-传染问题 【例题1】某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（　　） A． B． C． D． 【例题2】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有 名同学，根据题意，列出方程为　 　. 【例题3】某种电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后，就会有100台电脑被感染，求每轮感染中平均1台电脑会感染电脑多少台？ 例题三：一元二次方程的应用-几何问题 【例题1】扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【例题2】如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程　 　． 【例题3】如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 例题四：一元二次方程的实际应用-销售问题 【例题1】一商店销售某种进价为元件的商品，当售价为元时，平均每天可售出件，为了扩大销售，增加盈利、该店采取了降价措施．在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售、发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件，若该商店每天要实现元的利润每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【例题2】“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为元盒的吕梁沙棘汁，按元盒的价格进行销售，每天可售出盒后经市场调查发现，当每盒价格降低元时，每天可多售出盒若要每天盈利元，设每盒价格降低元，则可列方程为　 　 ． 【例题3】某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品. （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由. 例题五：一元二次方程的应用-数字问题 【例题1】两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【例题2】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小，十位上的数字与个位上的数字的积的倍刚好等于这个两位数，这个两位数为　 　． 【例题3】一个数字和为的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是，则这个两位数是多少？ 考点练习 一、一元二次方程的实际应用-百分率问题 1．股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D． 2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　） A． B． C． D． 3．某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到元．设平均每次降价的百分率为x，则列出的方程是　 　． 4．2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元． （1）求该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率． （2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？ 二、一元二次方程的实际应用-传染问题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，则每个支干长出（　　）个小分支. A．9 B．8 C．7 D．6 3．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是　 　人． 4．某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人． （1）现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）； （2）在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？ 三、一元二次方程的应用-几何问题 1．如图，有一个面积为的矩形，一边剪短3cm，另一边剪短4cm，恰好变成一个正方形，则这个正方形的边长为多少？设正方形边长为，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长cm，宽cm．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为cm2，设丝绸花边的宽为xcm，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为　 　． 4．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地． （1）若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽； （2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积． 四、一元二次方程的实际应用-销售问题 1．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋，若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（　　） A．50 B．60 C．50或60 D．100 3．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件．现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为　 　最合适． 4．某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ （2）该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 五、一元二次方程的应用-数字问题 1．两个相邻奇数的积是195，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 3．下面这首诗生动的刻画出了周瑜的一生： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符．(注：而立之年表示人到了30岁) 聪明的同学，你一定能算得出周瑜去世时的年龄是　 　岁． 4．2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02：实际问题与一元二次方程（易错专项训练） 【思维导图+核心考点+例题讲解+考点练习】 思维导图 核心考点 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审题：明确题意，找出已知量、未知量及等量关系（核心）。 2.设元：设未知数（直接设元或间接设元，注明单位）。 3.列方程：根据等量关系列出一元二次方程（注意单位统一）。 4.解方程：选择合适方法（因式分解法、公式法等）求解。 5.检验： （1）数学检验：确保解是方程的根； （2）实际检验：判断解是否符合实际意义（如长度、人数、时间不能为负，增长率不能超过100%等）。 6.作答：写出完整答案（带单位）。 二、常见实际问题模型及等量关系 1.增长率/下降率问题 （1）基本模型：若初始量为 ，平均增长率（或下降率）为 ，经过 次增长（或下降）后变为 ，则： （2）关键要点： ①增长率 通常用百分数表示（如“增长20%”即 ）； ②下降率 需满足 （即下降幅度不超过100%）； ③若涉及“连续两次增长”，则 ，方程为 。 （3）示例：某厂2023年利润为100万元，2025年利润为144万元，求这两年利润的年平均增长率。 解：设年平均增长率为 ，则 解得 ，（舍去，增长率不能为负）。 答：年平均增长率为20%。 易错点：增长次数与时间对应（如“2023到2025年”是2次增长，而非3次）。 2.传播问题（传染、分支问题） （1）基本模型： ①若1个传染源每次传染 人，则：第1轮后感染人数：； ②第2轮后感染总人数：； ③若经过两轮传染后共有 人感染，则方程为：（“1”为初始传染源），化简得 。 （2）示例：某种病毒，1人感染后，经过两轮传染共有121人感染，求每轮传染中平均1人传染了多少人？ 解：设每轮传染中平均1人传染 人，则 解得 ，（舍去）。 答：每轮传染中平均1人传染10人。 注意：若题目无“初始传染源”，直接从传播人数开始（如“树枝分叉，第1年1根，第2年每根分 枝，第2年共有121根”，方程为 ）。 3.几何图形问题 （1）常见类型及等量关系： ①面积问题（长方形、正方形、圆形等）： a：直接利用面积公式（如长方形面积=长×宽）； b：涉及“边框”“小路”时，注意“大图形面积 - 小图形面积=边框/小路面积”。 c：示例：一个长方形花园，长20m，宽15m，在它四周修宽为 m的小路，小路总面积为246m²，求小路宽度。 解：大长方形长= ，宽= ，则 化简得 ，解得 ，（舍去）。 答：小路宽3m。 ②体积问题（如无盖长方体盒子）：用长为 、宽为 的长方形铁皮，四角剪去边长为 的正方形，折成无盖盒子，容积 。 ③动态几何问题：动点移动形成的图形面积（如“点P从A向B运动，速度为 m/s，t秒后△PBC面积为S”，根据路程=速度×时间表示线段长度，再列方程）。 易错点：单位不统一（如“厘米”与“米”混淆）；图形边长不能为负（解出 后需满足“原边长 - 2x > 0”等条件）。 4.利润问题 （1）基本关系： ①单件利润=售价 - 进价； ②总利润=单件利润×销售量； ③销售量与价格的关系：若“每涨价 元，销量减少 件”，则销量=原销量 - 。 （2）示例：某商品进价40元/件，售价60元/件时，每周卖300件。若每涨价1元，销量减少10件，设涨价 元，总利润为y元，求涨价多少元时总利润为6250元。 解：单件利润= ，销量= ，则 化简得 ，解得 。 答：涨价5元时总利润为6250元。 注意：售价不能过高导致销量为负（如 ）。 5.数字问题 （1）核心：用字母表示数位上的数字，如两位数=十位数字×10 + 个位数字。 （2）示例：一个两位数，十位数字比个位数字大3，将十位与个位数字对调后，新数与原数的积为5742，求原两位数。 解：设个位数字为 ，则十位数字为 ，原数= ，新数= ，则 设 ，方程化为 ，解得 （负值舍去），则 ，原数= 。 答：原两位数为96。 6.其他类型 （1）行程问题：涉及“相遇”“追及”，但需结合二次关系（如匀变速运动 ）； （2）比赛场次问题：n个队单循环赛，总场次= （如“共赛15场，求队伍数”，方程为 ）。 解题策略与注意事项 1.优先找等量关系： （1）题目中“等于”“是”“比…多/少”“增加到/增加了”等关键词是等量关系的标志； （2）几何问题需画出图形，标注已知量和未知量，直观分析。 2.设元技巧： （1）直接设元：问什么设什么（如“求增长率”设增长率为 ）； （2）间接设元：当直接设元方程复杂时，设与未知量相关的量（如数字问题设个位数字为 ）。 3.检验是关键： （1）解为负数、零或不符合实际意义（如人数为小数）时，必须舍去； （2）对“增长率”“下降率”，需验证是否在合理范围（如增长率>100%时需结合题意判断是否合理）。 4.避免计算错误： （1）列方程时注意括号展开、移项变号（如 需先化为 ，再求解）； （2）用公式法时，准确代入 的值，先计算判别式 ，再判断根的情况。 例题讲解 例题一：一元二次方程的实际应用-百分率问题 【例题1】某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 【分析】由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程． 【例题2】某药品原来每盒售价元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每盒售价为元，则每次降价的百分率是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 第一次降价后的价格为， 第二降价后的价格为， 现在每盒售价为元， ， 解得或（不合题意，舍去） 每次降价的百分率是． 故答案为：． 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（降价的百分率）降价次数列方程并结合各选项即可判断求解． 【例题3】书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道，某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆225人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率． 【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不合题意，舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为． 【解析】【分析】设进馆人次的月平均增长率为x，由题意分别表示出第一个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆225人次可列关于x的方程，解方程即可求解． 例题二：一元二次方程的实际应用-传染问题 【例题1】某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：有一人患了流感，每一轮传染中平均每人传染了人， 第一轮传染中有人被传染，第一轮结束后有人患流感， 第二轮传染中，人每人又传染了人，即，加上第二轮开始的人， 根据题意列式：， 整理得：， 故答案为：． 【分析】由每一轮传染中平均每人传染了人，可以得到第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意建立方程即可求出答案. 【例题2】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有 名同学，根据题意，列出方程为　 　. 【答案】x(x－1)＝1056 【解析】【解答】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056. 故答案为：x（x-1）=1056. 【分析】全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程. 【例题3】某种电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后，就会有100台电脑被感染，求每轮感染中平均1台电脑会感染电脑多少台？ 【答案】解：设每轮感染中，平均1台电脑感染电脑台， 由题意，得， 解得，（不含题意，舍去）. 答：每轮感染中，平均1台电脑感染电脑9台. 【解析】【分析】设每轮感染中，平均1台电脑感染电脑台 ，第一轮感染后，被感染的电脑 共有1+x台，第二轮感染后，被感染的电脑 共有(1+x)x+x+1台，列方程可求出X，注意要考查解是否符合题意。 例题三：一元二次方程的应用-几何问题 【例题1】扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设花带的宽度为，则可列方程为， 故选D． 【分析】利用割补法先求出空白区域面积，再根据空白区域的面积等于矩形空地的面积的列方程即可. 【例题2】如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形， 由题意得，， 故填：． 【分析】由平移的性质（经过平移，图形中的对应线段保持平行且长度相等）可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形，据此根据矩形面积公式列出方程即可． 【例题3】如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 【答案】（1）解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． （2）解：由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 【解析】【分析】（1）设米，则米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （2）由面积可得，再根据判别式，可得方程无解，即可求出答案. 例题四：一元二次方程的实际应用-销售问题 【例题1】一商店销售某种进价为元件的商品，当售价为元时，平均每天可售出件，为了扩大销售，增加盈利、该店采取了降价措施．在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售、发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件，若该商店每天要实现元的利润每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设每件商品降价元， 根据题意得，， 即. 故答案为：A． 【分析】设每件商品降价元，利用“总利润=每件利润×数量”列出方程即可. 【例题2】“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为元盒的吕梁沙棘汁，按元盒的价格进行销售，每天可售出盒后经市场调查发现，当每盒价格降低元时，每天可多售出盒若要每天盈利元，设每盒价格降低元，则可列方程为　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】解： 设每盒价格降低x元，则每盒的利润为150-80-x，数量为160+8x，则可得方程 故答案为： . 【分析】本题考查一元二次方程的应用--销售问题，熟悉总利润的公式是关键。总利润=单件商品的利润×数量。单件商品的利润=售价-进价。 【例题3】某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品. （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由. 【答案】（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得， ， 即 解得：， 答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元 （2）解：， 即 ∵，原方程无解， ∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元. 【解析】【分析】（1）该批发商场决定降价x元销售该款商品，则每件的利润为(10-x)元，每天的销售量为(3000+1000x)，然后根据每件的利润×每天的销售量=总利润列出关于x的方程，求解即可； （2）同理建立关于x的方程，求出判别式的值，判断出方程根的情况，据此解答. 例题五：一元二次方程的应用-数字问题 【例题1】两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 故答案为：B 【分析】设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为，根据题意列出方程即可求出答案. 【例题2】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小，十位上的数字与个位上的数字的积的倍刚好等于这个两位数，这个两位数为　 　． 【答案】24 【解析】【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 这个两位数为． 故答案为：． 【分析】典型的用一元二次方程解决数字问题，注意数位上的数值只能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，如果解出其他值要舍掉。 【例题3】一个数字和为的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是，则这个两位数是多少？ 【答案】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为， 根据题意得： ， 解得：或， 这个两位数是或． 【解析】【分析】设原两位数个位数字为，则十位数字为，根据“ 两个两位数之积是 ”列出方程，再求解即可. 考点练习 一、一元二次方程的实际应用-百分率问题 1．股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设x为平均每天下跌的百分率， 则：（1+10%）•（1-x）2=1； 故答案为：A. 【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程. 2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可得， 故答案为：D 【分析】根据题意表示出二月份和三月份的营业额，再利用等量关系一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，列出方程即可． 3．某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到元．设平均每次降价的百分率为x，则列出的方程是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：售价原来的元，平均每次降价的百分率为x， ∴第一次降价后的售价为1185（1-x）元， ∴第二次降价后的售价为1185（1-x）（1-x）=元. 故答案为：. 【分析】根据题意可得第一次降价后的售价为1185(1-x)元，第二次降价后的售价为1185(1-x)(1-x)元，然后结合降到580元就可列出方程. 4．2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元． （1）求该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率． （2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？ 【答案】（1）解：设该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率为x，根据题意得， ， 解得：（舍去）， 该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率为； （2）解：元， ， 若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入能达到4200元． 【解析】【分析】（1）根据到2022年，家庭收入为3600元，列方程求解即可； （2）根据（1）所求列式计算求解即可。 二、一元二次方程的实际应用-传染问题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得： 每轮传染中平均一个人传染了x个人 ∴1轮后有个人患了流感，A正确 第2轮又增加个人患流感，B正确 由题意可得：，即，C正确 解得：x1=5，x2=-7（舍去） ∴36(1+x)=36(1+5)=216(人） ∴按照这样的传播速度，三轮后一共会有216人感染，D错误 故答案为：D 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1轮后有个人患了流感，第2轮又增加个人患流感，根据题意建立方程，解方程可得x值，再求出三轮后感染人数即可求出答案. 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，则每个支干长出（　　）个小分支. A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解析】【解答】解：设每个支干长出x根小分支 根据题意可得 解得x= 8或x= -9 (不符合题意，舍去)，.每个支干长出8根小分支 故答案为：B. 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案. 3．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是　 　人． 【答案】5 【解析】【解答】解：设参加会议有x人， 依题意得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：参加这次会议的有5人， 故答案为：5． 【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程求解即可． 4．某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人． （1）现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）； （2）在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？ 【答案】（1）由题意可知：第一轮传染后患病的人数人， （2）设在每轮传染中一人将平均传给人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵，都不是正整数， ∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生． 【解析】【分析】（1）由题意可得，第一轮传染后患病的人数人，即可求出答案. （2）设在每轮传染中一人将平均传给人，根据题意列出方程，解方程即可求出答案. 三、一元二次方程的应用-几何问题 1．如图，有一个面积为的矩形，一边剪短3cm，另一边剪短4cm，恰好变成一个正方形，则这个正方形的边长为多少？设正方形边长为，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， 由题意可得：． 故答案为：A． 【分析】设正方形的边长为，然后根据“长方形的面积为72”列列一元二次方程即可． 2．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长cm，宽cm．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为cm2，设丝绸花边的宽为xcm，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意，可得， 故选：B． 【分析】利用三个长方形的面积计算公式结合丝绸边的面积为cm2列方程求解即可． 3．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：2． 【分析】先设小路的宽为，则得到长方形花坛的长为，宽为，然后利用矩形面积公式得到关于的一元二次方程，解方程即可求解. 4．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地． （1）若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽； （2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积． 【答案】（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ． 答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m． （2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为， 根据题意得：， 即， 解得：， ． 答：新的矩形绿地面积为． 【解析】【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据“ 扩充后的矩形绿地面积为 ”列出方程并解之即可； （2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后新的矩形绿地的长宽之比为，列出方程并解之即可. 四、一元二次方程的实际应用-销售问题 1．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋，若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋， ∴超市每天售出此种粽子的利润． 故答案为：A 【分析】根据“总利润销售数量每一袋粽子的利润”，列式即可求出答案. 2．某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（　　） A．50 B．60 C．50或60 D．100 【答案】B 【解析】【解答】解：设每个定价为x元，则销售量为180-10（x-52）=（700-10x）个， 依题意得：（x-40）（700-10x）=2000， 整理得：x2-110x+3000=0， 解得：x1=50，x2=60． 当x=50时，700-10x=200＞180，不合题意，舍去； 当x=60时，700-10x=100，符合题意． 答：每个定价为60元． 故答案为：B． 【分析】设每个定价为x元，根据题意列出方程（x-40）（700-10x）=2000，再求解即可。 3．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件．现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为　 　最合适． 【答案】16 【解析】【解答】解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x-8）元，每天的进货量为200-20（x-10）=（400-20x）件， 依题意得：（x-8）（400-20x）=640， 整理得：x2-28x+192=0， 解得：x1=12，x2=16． 又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润， ∴x=16． 答：每件商品的售价定为16元最为合适． 故答案为16． 【分析】设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x-8）元，根据每天的利润=一件的利润×销售量可得关于x的方程，解方程并结合题意可求解. 4．某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ （2）该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）解：根据题意得： （千克）， 答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克； （2）解：设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：销售单价应定为80元． 【解析】【分析】（1）利用“ 销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克 ”列式计算即可； （2）设销售单价为x元，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，列一元二次方程，求出x值解题即可. 五、一元二次方程的应用-数字问题 1．两个相邻奇数的积是195，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】 解：设较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2）， 依题意得：. 故答案为：A. 【分析】设较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2），根据“ 两个相邻奇数的积是195 ”列出方程即可. 2．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只 ∴一队猴子数是 根据题意可得： 故答案为：D 【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案. 3．下面这首诗生动的刻画出了周瑜的一生： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符．(注：而立之年表示人到了30岁) 聪明的同学，你一定能算得出周瑜去世时的年龄是　 　岁． 【答案】36 【解析】【解答】 解：设周瑜的年龄个位是x，则十位是x-3， 根据题意得：10（x-3）+x＞30，则x＞ x2=10（x-3）+x 整理得：x2-11x+30=0 （x-5）（x-6）=0 x-5=0或x-6=0 得x1=5（舍），x2=6 则x2=36 则周瑜去世的年龄是36岁. 【分析】本题考查一元二次方程的应用及不等式的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键。根据‘ 十位恰小个位三，个位平方与寿符’可设年龄的各位数字是x，则十位数字为x-3，列出方程即可，注意“而立之年督东吴”说明其年龄的范围，注意对方程根的取舍。 4．2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】解：设这个最小数为． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 答：这个最小数为5． 【解析】【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合题意，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$