专题1.1 空间向量及其运算 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题1.1 空间向量及其运算 高中数学辅导资料 专题1.1 空间向量及其运算 一、知识归纳： 1．空间向量：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量.空间向量的 叫做空间向量的长度或 ． 2．几类特殊向量： （1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为. （2）单位向量：模为 的向量叫做单位向量. （3）相反向量：与长度 而方向 的向量叫做的相反向量，记为. （4）共线向量或平行向量：若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量；规定：零向量与任意向量 ．即对任意向量，都有. （5）相等向量：方向 且模 的向量. 3．空间向量的线性运算： （1）加法： ； （2）减法： . （3）数乘运算： 当时,; 当时,;当时,. 4.运算律： （1）交换律： ； （2）结合律： ， ； （3）分配律： . 5．一般地，对于三个不共面的向量，以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以O为起点的平行六面体的 所表示的向量. 6.空间向量的夹角：给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. 7.向量的数量积：两个非零向量，的数量积定义为 ． 8.数量积的性质： ① ⇔ ；②·= =；③|·|≤||||； ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 9.投影向量： （1）在空间，向量向向量投影：如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影：如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量 称为向量在平面上的投影向量． 自检自纠： 1．大小,方向,大小,模 2．（1）0 （2）1（3）相同 ,相反（4）平行,重合,平行（5）相同,相等 3． （1）（2） 4.（1）（2）， （3） 5．体对角线 6．，，，垂直 7. 8.·=0 ，，· ，·+· 9.， 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（22-23高二上·广东江门·期中）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体中，化简（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·河北保定·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（22-23高二上·福建三明·开学考试）如图，已知平面，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·浙江·期末）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 10．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 11．（19-20高二上·福建三明·期中）在四面体中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若Q为的重心，则 C．若，，则 D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，，则与的夹角 . 13．（23-24高二上·天津滨海新·阶段）如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 14．（22-23高二下·江苏扬州·期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高二上·天津·阶段练习）在平行六面体中，，，，是的中点，用、、表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北沧州·一模）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高二上·河北秦皇岛·期末）如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球O的半径 B．球O在正方体外部分的体积大于 C．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 D．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 13．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是 ． 14．（22-23高三上·江西萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为 . 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$专题1.1 空间向量及其运算 高中数学辅导资料 专题1.1 空间向量及其运算 一、知识归纳： 1．空间向量：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量.空间向量的 叫做空间向量的长度或 ． 2．几类特殊向量： （1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为. （2）单位向量：模为 的向量叫做单位向量. （3）相反向量：与长度 而方向 的向量叫做的相反向量，记为. （4）共线向量或平行向量：若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量；规定：零向量与任意向量 ．即对任意向量，都有. （5）相等向量：方向 且模 的向量. 3．空间向量的线性运算： （1）加法： ； （2）减法： . （3）数乘运算： 当时,; 当时,;当时,. 4.运算律： （1）交换律： ； （2）结合律： ， ； （3）分配律： . 5．一般地，对于三个不共面的向量，以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以O为起点的平行六面体的 所表示的向量. 6.空间向量的夹角：给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. 7.向量的数量积：两个非零向量，的数量积定义为 ． 8.数量积的性质： ① ⇔ ；②·= =；③|·|≤||||； ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 9.投影向量： （1）在空间，向量向向量投影：如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影：如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量 称为向量在平面上的投影向量． 自检自纠： 1．大小,方向,大小,模 2．（1）0 （2）1（3）相同 ,相反（4）平行,重合,平行（5）相同,相等 3． （1）（2） 4.（1）（2）， （3） 5．体对角线 6．，，，垂直 7. 8.·=0 ，，· ，·+· 9.， 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（22-23高二上·广东江门·期中）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C 2．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由长方体的结构特征，有，则.故选：B 3．（22-23高二上·河北保定·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B 4．（23-24高二上·天津·期末）在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故选：C 5．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为点为棱的中点，所以， 因为四面体的棱长都是2，所以，故选：B 6．（22-23高二上·福建三明·开学考试）如图，已知平面，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在中，,由余弦定理得，又因为平面，所以，所以为直角三角形，又因为,所以在直角三角形中由勾股定理可得：,所以.故选：C. 7．（21-22高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：.故选：A. 8．（21-22高二上·浙江·期末）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过和分别作，，在矩形，，，，，则，即，平面与平面所成角的余弦值为，,，，，，则，即与之间距离为，故选：C． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 10．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. 11．（19-20高二上·福建三明·期中）在四面体中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若Q为的重心，则 C．若，，则 D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 【答案】ABC 【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，由Q为的重心，得，则， 于是，即，B正确；对于C，若，，则，C正确； 对于D，由四面体的各棱长都为2，得，，则，D错误． 故选：ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，，，则与的夹角 . 【答案】/ 【详解】，由的范围为，所以.故答案为：. 13．（23-24高二上·天津滨海新·阶段）如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 【答案】 【详解】由图可得. 故答案为：. 14．（22-23高二下·江苏扬州·期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为 . 【答案】 【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等，因为，所以，又，所以，，， 即，解得，即的余弦值为.故答案为： B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（24-25高二上·天津·阶段练习）在平行六面体中，，，，是的中点，用、、表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选：B 2．（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】由题意，.故选：C 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为.故选：D. 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】由图可知，且， 所以， 所以，故选：D. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】因为，所以， 又异面直线，所成的角为，，，，故或，则或.故选：D.   6．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知，设正方形边长为2，所以， ,故选：A. 7．（2025·河北沧州·一模）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得，与的夹角为，因为， 所以， 因，，，故，所以，故选：B 8．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，显然，由题意可知， 所以的取值范围为.故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高二上·河北秦皇岛·期末）如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A：，因此本选项正确； B：，因此本选项正确； C：，因此本选项不正确； D：，因此本选项不正确， 故选：AB 10．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 11．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球O的半径 B．球O在正方体外部分的体积大于 C．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 D．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则 【答案】ABD 【详解】对于A，正方体的棱切球与正方体的每条棱相切于棱中点，如图所示， 为球的一条直径，且，故球半径，故A正确； 对于B，若球体、正方体的体积分别为， 球在正方体外部的体积，故B正确； 对于C、D，取中点，可知在球面上，可得，所以，点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，所以（当为直径时，），所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【答案】3 【详解】由题意知，所以， 即，解得，即. 故答案为：3. 13．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，即，由题意,可设.则，因为，，是空间中两两不同的三个单位向量，故，即，则有.则，即，于是，即，解得.而，所以的取值范围是，故答案为：. 14．（22-23高三上·江西萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点为，则,,所以，因为，所以，所以， 因为点P为正四面体表面上的一个动点，所以，即， 因为,因为为球O的一条直径，所以,所以，因为，所以， 所以，故答案为: . 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$