2.6 菱 形 暑假巩固练习2024-2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 2.6 菱 形 暑假巩固 一、菱形性质和判定的综合 1.如图，在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，∠F＝30°，DC是BF边上的中线，把线段CD沿着CB方向平移得到AB，使得点C与点B重合，连接AD，AC，AC与BD相交于点O，则下列结论：①四边形ABCD为菱形；②OCDF；③BF＝4OD；④△DCF的面积为四边形ABCD面积的一半．其中正确结论的个数为（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　) A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 3.如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形ABCD，AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（　　） A.AB＝AD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.AC＝AD 4.两个全等的矩形纸片按如图所示的位置重叠在一起， （1）重叠的四边形是 　   ； （2）若矩形的长和宽分别是8和6，则重叠的四边形周长是 　 　，AC＝　 　． 5.邻边长分别为2，a（a＞2）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值为　　　　　　　． 6.已知，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E. (1)如图1，求证：四边形AMEN是菱形； (2)如图2，连接AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形． 7.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E. (1)求证：四边形BCED′是菱形； (2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值． 二、用对角线判定菱形 1.如图，要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　） A.AC＝AD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AC＝BD 2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是(　　) A. ∠ABC＝90° B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AB∥CD 3.如图，□ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得□ABCD是菱形（　　） A.AB＝AC B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AC＝BD 4.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件____________________________，使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可) 5.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是____________________________． 6.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F． 求证：四边形AECF是菱形． 7.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE. (1)求证：四边形BFCE是平行四边形； (2)当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 三、菱形的性质 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） 1. A.3 B.4 C.4.5 D.5 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AB边的中点，若菱形的周长为24，则OE的长是（　　） 2. A.1 B.20 C.3 D.4 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6 cm，BD＝8 cm，则菱形ABCD的周长为（　　） 3. A.10 cm B.20 cm C.12 cm D.24 cm 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，AC＝16，BD＝12，则DE的长为　　． 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为　　． 5. 如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝点E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝ 6.（1）求证：△ABE≌△DBF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm，如图所示，已知每个菱形图案的边长为10 cm，其中一个内角为 7. (1)求一个菱形图案水平方向的对角线长． (2)若d＝26，则该纹饰要用231个菱形图案，求纹饰的长度L. 四、菱形的判定综合 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是(　　) 1. A. 四边形ABCD是梯形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 对角线AC＝BD D. AD＝BC 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A. B. C. D. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，要使四边形AECF为菱形，现有甲、乙、丙三种方案： 3.甲：只需要满足∠ABE＝∠CBE； 乙：只需要满足AE＝CF； 丙：只需要满足AC⊥EF． 则正确的方案是（　　） A.甲、乙、丙 B.甲、丙 C.甲、乙 D.乙、丙 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形． 4.小王同学写了以下证明： 第一行∵AC⊥BD，OB＝OD， 第二行∴AC垂直平分BD． 第三行∴AB＝AD，CB＝CD， 第四行∴四边形ABCD是菱形． 对于这个题目及证明，有以下结论； ①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错； ③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，正确的结论是 　　.（填序号） 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　　（写出一个即可）． 5. 如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． 6.（1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）连接AO，直接写出当AO和 　　相等时，四边形DEFG是菱形． 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CM∥AB，CM与∠BAC的角平分线相交于M，AM与BC相交于N，且AN＝BN．点D为边AB的中点，连接DM． 7.（1）判断并证明四边形ADMC的形状； （2）∠MNC＝　　°． 五、用定义判定菱形 1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 2.下列说法正确的是（　　） A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线相互垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 3.如图，两张宽度相等的长方形纸条交叉重叠在一起，交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（　　） A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.一般平行四边形 4.如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH为______________． 5.如图，□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，则添加一个条件:　　可使四边形AECF为菱形． 6.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. (1)求证：∠CEB＝∠CBE； (2)四边形CEDB是什么四边形？并说明理由． 7.如图，已知AB∥CD，∠BAC的平分线AE与CD交于点E，∠ACD的平分线CF与AB交于点F，试说明：四边形ACEF是菱形． 六、菱形中动点问题 如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　） 1. A.2 B. C.4 D. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，若DE+DF＝2，则△BEF面积的最小值为（　　） 2. A. B. C. D. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为(　　) 3. A.1 B. C. D. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AC＝8 cm，点E是边AD上一个动点，EG∥CD交AC于点G，GF∥BC交AB于点F，P是AG的中点，Q是CD的中点，QH⊥AC于点H，当点E是边AD的三等分点时，PH的长为　　cm． 4. 如图，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝E，F分别是AD，BD上的动点，DE＝BF，连AF，CE，则AF+CE的最小值为　　． 5. 点E是菱形ABCD的边上的一动点，运动方向由点C到点D，连接BE，BE的垂直平分线交BE于点F，交AC于点G，试说明点E的运动过程中∠EBG的大小变化情况． 6. 如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． 7.（1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 七、翻折或平移中的菱形判定问题 1.如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　) A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分四边形是菱形 2.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（　　） ①△BDF是等腰三角形；②DEBC； ③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A． A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC边上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC边上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．若使四边形AECF是菱形，的度数为(　　) A.30° B.40° C.45° D.50° 4.在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F，使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于点D; (2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于点E，交AC边于点F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________． 5.如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为 　　． 6.如图1，两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，固定△ABC，将△DEF沿线段AB向右平移（即点D在线段AB上）．回答下列问题： （1）如图2，连接CF，四边形ADFC的形状一定是 　   　形； （2）如图3，当点D移动到AB的中点时，连接DC，CF，FB．求证：四边形CDBF是菱形． 7.已知△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形，且点B，C，D，E在同一直线上，连接AD，CF．若BD＝3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t． （1）当t为何值时，四边形ADFC是菱形； （2）当t为何值时，平行四边形ADFC是矩形，并求其面积； （3）当t为何值时，平行四边形ADFC的面积是100cm2． 湘教版八年级下册 2.6 菱 形 暑假巩固（参考答案） 一、菱形性质和判定的综合 1.如图，在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，∠F＝30°，DC是BF边上的中线，把线段CD沿着CB方向平移得到AB，使得点C与点B重合，连接AD，AC，AC与BD相交于点O，则下列结论：①四边形ABCD为菱形；②OCDF；③BF＝4OD；④△DCF的面积为四边形ABCD面积的一半．其中正确结论的个数为（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵把线段CD沿着CB方向平移得到AB， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△BDF中， ∵DC是BF边上的中线， ∴DC＝BC＝CF， ∴四边形ABCD为菱形，故①正确； ∵四边形ABCD为菱形， ∴OB＝ODBD，OC＝OAAC，AD∥BC，AC⊥BD， ∵∠BDF＝90°， ∴AC∥DF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴DF＝AC， ∴OCDF，故②正确； 在Rt△BDF中，∠F＝30°， ∴BF＝2BD＝4OD，故③正确； ∵△DCF的面积DF•ODAC•BD四边形ABCD面积，故④正确． 综上，正确的结论有①②③④，共4个. 故选：A． 2.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　) A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】连接EF，AE与BF交于点O，如图， ∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE， ∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3， ∴AB＝EB， 又∵AB＝AF,∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝BE, ∴四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE， 在Rt△AOB中，由勾股定理得OA＝＝＝8， ∴AE＝2OA＝16.故选A. 3.如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形ABCD，AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（　　） A.AB＝AD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.AC＝AD 【答案】D 【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵两张纸条宽度相同， ∴AE＝AF， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， 又∵AE＝AF， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，OA＝OC，AC⊥BD， 不能得出AC＝AD，故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意. 故选：D． 4.两个全等的矩形纸片按如图所示的位置重叠在一起， （1）重叠的四边形是 　   ； （2）若矩形的长和宽分别是8和6，则重叠的四边形周长是 　 　，AC＝　 　． 【答案】（1）菱形 （2）25　 【解析】如图所示，连接AC，BD， 由题意得，矩形BFDE≌矩形BHDG， ∴AD∥BC，AB∥CD，DE＝DG， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形的面积＝AD×DG＝CD×DE， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， 设AB＝BC＝CD＝AD＝x，则CG＝8﹣x， 在Rt△CDG中，由勾股定理可得DG2+CG2＝CD2， 则62+（8﹣x）2＝x2， 解得， 即， ∴四边形ABCD的周长， ∵， ∴， ∴AC×106， 解得AC. 故答案为：25，． 5.邻边长分别为2，a（a＞2）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值为　　　　　　　． 【答案】或 【解析】①如图1，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝2， ∴DF＝CE＝a﹣2， ∵四边形GCEH为菱形， ∴GC＝CE＝a﹣2， ∴DG＝FH＝2﹣（a﹣2）＝4﹣a， ∵四边形DGJI为菱形， ∴DI＝DG＝4﹣a， ∴IF＝a﹣2﹣（4﹣a）＝2a﹣6， ∵四边形IJHF为菱形， ∴IF＝HF，即4﹣a＝2a﹣6， 解得a； ②如图2，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝2， ∴DF＝CE＝a﹣2， ∵四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形， ∴DI， ∴a﹣2， 解得a＝； ③如图3，经历三次折叠后，∵四边形ABCD，DCEF为菱形， ∴ AB=AD=BC=CD=CE=DF=EF=2， ∴ FH=a-4， ∵ 四边形FIJH，IEGJ都为菱形， ∴ FH=FI=IE=1， ∴ a-4=1， 解得a=5； ④如图4，经历三次折叠后，∵四边形ABCD，DCEF，FEGH，HGIJ都为菱形， ∴ AB=AD =DF=FH=2， ∴ HJ= a-6， ∴ HJ= IJ， ∴ a-6=2，解得a=8. 综上，a的值为或或5或8. 故答案为：或． 6.已知，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E. (1)如图1，求证：四边形AMEN是菱形； (2)如图2，连接AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形． 【答案】(1)证明　∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵BM＝DN， ∴AB－BM＝AD－DN， ∴AM＝AN， ∴四边形AMEN是菱形. (2)解 ∵四边形AMEN是菱形， ∴S△AEM＝S△AEN，同理，四边形CGEF是菱形， ∴S△CEF＝S△CEG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴S△ABC＝S△ADC， ∴S四边形MBFE＝S四边形DNEG， S四边形MBCE＝S四边形DNEC， S四边形MBCG＝S四边形DNFC， S四边形ABFE＝S四边形ADGE， S四边形ABFN＝S四边形ADGM. 7.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E. (1)求证：四边形BCED′是菱形； (2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值． 【答案】(1)证明　∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处， ∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E， ∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′， ∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA， ∴∠DAD′＝∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形， ∴DE＝AD′， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴CE＝D′B，CE∥D′B， ∴四边形BCED′是平行四边形, ∵AD＝AD′，AB＝2，AD＝1， ∴AD＝AD′＝BD′＝CE＝BC＝1， ∴▱BCED′是菱形. (2)解　∵四边形DAD′E是菱形， ∴D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，如图， 则BD的长即为PD′＋PB的最小值，过D作DG⊥BA于G， ∵CD∥AB， ∴∠DAG＝∠CDA＝60°， ∵AD＝1， ∴AG＝，DG＝， ∴BG＝， ∴BD＝＝， ∴PD′＋PB的最小值为. 二、用对角线判定菱形 1.如图，要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　） A.AC＝AD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AC＝BD 【答案】C 【解析】利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证． 对角线垂直的平行四边形为菱形． 要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是AC⊥BD． 故选：C． 2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是(　　) A. ∠ABC＝90° B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AB∥CD 【答案】B 【解析】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故选B. 3.如图，□ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得□ABCD是菱形（　　） A.AB＝AC B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AC＝BD 【答案】B 【解析】由菱形的判定可直接求解． 当AC⊥BD时，□ABCD是菱形， 故选：B． 4.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件____________________________，使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可) 【答案】AC、BD互相平分(答案不唯一) 【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是AC、BD互相平分． 5.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是____________________________． 【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【解析】∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON，∵AD∥BC，∴∠AMO＝∠CNO，在△AOM和△CON中，∠AMO=∠CNO，∠AOM=∠CON，AO=CO，∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM＝CN，又∵AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形，又∵MN⊥AC，∴四边形AMCN是菱形． 6.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F． 求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥FC． ∴∠EAC＝∠FCA． ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO， 在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）． ∴EO＝FO， ∴四边形AECF为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AECF为菱形． 7.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE. (1)求证：四边形BFCE是平行四边形； (2)当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 【答案】(1)证明　∵在△ABC中，D是BC边的中点， ∴BD＝CD， ∵CF∥BE，∴∠CFD＝∠BED， 在△CFD和△BED中， ∠CFD=∠BED，CD=BD，∠FDC=∠EDB， ∴△CFD≌△BED(AAS)， ∴CF＝BE， ∴四边形BFCE是平行四边形； (2)解　当AB＝AC时，四边形BECF是菱形； 理由如下： ∵AB＝AC，D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴EF⊥BC， ∴四边形BECF是菱形． 三、菱形的性质 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） 1. A.3 B.4 C.4.5 D.5 【答案】B 【解析】由菱形的性质得AD＝AB＝5，AC⊥BD，AOAC＝3，OB＝OD，由勾股定理求OD＝4，则BD＝8，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求OE的长． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AOAC6＝3，OB＝OD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得： ∴BD＝2OD＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝ ∵OD＝OB， ∴OEBD8＝4， 故选：B． 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AB边的中点，若菱形的周长为24，则OE的长是（　　） 2. A.1 B.20 C.3 D.4 【答案】C 【解析】直接利用菱形的性质得出其边长以及对角线关系，进而利用直角三角形的性质得出OE的长． ∵菱形ABCD的周长为24， ∴，AC⊥BD， ∴∠AOB＝ ∵E为AB边中点， ∴． 故选：C． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6 cm，BD＝8 cm，则菱形ABCD的周长为（　　） 3. A.10 cm B.20 cm C.12 cm D.24 cm 【答案】B 【解析】首先根据题意画出图形，由四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6 cm，BD＝8 cm，则可求得OA，OB的长，然后由勾股定理即可求得边AB的长，继而求得答案． 如图，AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6 cm，BD＝8 cm， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OAAC6＝，OBBD8＝，AC⊥BD， ∴AB， ∴菱形ABCD的周长为：5×4＝． 故选：B． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，AC＝16，BD＝12，则DE的长为　　． 4. 【答案】9.6 【解析】由菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16，BD＝12，可求得AB的长，菱形的面积，继而求得菱形的高． ∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16，BD＝12， ∴AC⊥BD，OAAC＝8，OBBD＝6， ∴ ∵S菱形ABCD＝AB•DEAC•BD16×12＝96， ∴DE＝9.6． 故答案为：9.6． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为　　． 5. 【答案】96 【解析】由Rt△BED中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OE＝6，则，根据勾股定理求出AO＝8，得出AC＝16，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝ ∴BD＝2OE＝2×6＝12， ∴， ∵∠AOB＝ ∴， ∴AC＝2OA＝16， ∴菱形ABCD的面积为：． 故答案为：96． 如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝点E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝ 6.（1）求证：△ABE≌△DBF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∵∠ADB＝60° ∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形， ∴AB＝BD，∠ABD＝∠A＝∠BDC＝ ∵∠ABD＝∠EBF＝ ∴∠ABE＝∠DBF， 在△ABE和△DBF中， ∴△ABE≌△DBF（ASA）． （2）解：结论：△BEF是等边三角形． 理由：∵△ABE≌△DBF， ∴BE＝BF， ∵∠EBF＝ ∴△EBF是等边三角形． 学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm，如图所示，已知每个菱形图案的边长为10 cm，其中一个内角为 7. (1)求一个菱形图案水平方向的对角线长． (2)若d＝26，则该纹饰要用231个菱形图案，求纹饰的长度L. 【答案】解：(1)菱形图案水平方向的对角线长为×2＝30(cm). (2)L＝30＋26×(231－1)＝6 010 (cm). 四、菱形的判定综合 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是(　　) 1. A. 四边形ABCD是梯形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 对角线AC＝BD D. AD＝BC 【答案】D 【解析】∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG；同理，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形； A．若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH＝FE相矛盾；故本选项错误； B．若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误； C．若对角线AC＝BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误； D．当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；故选D. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可． 根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，要使四边形AECF为菱形，现有甲、乙、丙三种方案： 3.甲：只需要满足∠ABE＝∠CBE； 乙：只需要满足AE＝CF； 丙：只需要满足AC⊥EF． 则正确的方案是（　　） A.甲、乙、丙 B.甲、丙 C.甲、乙 D.乙、丙 【答案】B 【解析】先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相垂直证明即可作答． 在平行四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝OD，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴EO＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 甲：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠ADB＝∠ABE， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥DB， ∴平行四边形AECF是菱形，甲符合要求； 乙：平行四边形AECF中存在AE＝CF， 根据乙而无法确定平行四边形AECF是菱形，乙不符合要求； 丙：∵平行四边形AECF中，AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形，丙符合要求． 故选：B． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形． 4.小王同学写了以下证明： 第一行∵AC⊥BD，OB＝OD， 第二行∴AC垂直平分BD． 第三行∴AB＝AD，CB＝CD， 第四行∴四边形ABCD是菱形． 对于这个题目及证明，有以下结论； ①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错； ③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，正确的结论是 　　.（填序号） 【答案】③④． 【解析】由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，BC＝DC，即可求解． ∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB＝AD，CB＝CD， 由题目条件无法证明四边形ABCD是菱形， ①推理严谨，证明正确；说法错误； ②证明时，第三行出错；说法错误； ③证明时，第四行出错；说法正确； ④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，说法正确； 故答案为：③④． 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　　（写出一个即可）． 5. 【答案】AE＝AB（答案不唯一）． 【解析】先证四边形AEFB是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 这个条件可以是AE＝AB，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∵AE＝FB， ∴四边形AEFB是平行四边形， 又∵AE＝AB， ∴平行四边形AEFB是菱形， 故答案为：AE＝AB（答案不唯一）． 如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． 6.（1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）连接AO，直接写出当AO和 　　相等时，四边形DEFG是菱形． 【答案】（1）证明：∵点D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC的中点， ∴DG∥BC，，EF∥BC，， ∴DG∥EF，DG＝EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）解：当AO和BC相等时，四边形DEFG是菱形；理由如下： 连接AO，如图， ∵点D、E分别是AB、OB的中点， ∴， ∵，AO＝BC， ∴DE＝DG， ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴平行四边形DEFG是菱形． 故答案为：BC． 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线CM∥AB，CM与∠BAC的角平分线相交于M，AM与BC相交于N，且AN＝BN．点D为边AB的中点，连接DM． 7.（1）判断并证明四边形ADMC的形状； （2）∠MNC＝　　°． 【答案】解：（1）四边形ADMC是菱形， 理由：如图：连接CD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠1+∠2＝90°， ∵AN＝BN， ∴∠B＝∠1， ∵AM平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠B＝∠1＝∠2＝30°， ∴∠BAC＝∠1+∠2＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴CD＝ADAB， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD＝CD＝AC， ∵AB∥CM， ∴∠1＝∠AMC， ∴∠2＝∠AMC， ∴AC＝CM， ∴AD＝CM， ∴四边形ADMC是平行四边形， ∵AC＝CM， ∴四边形ADMC是菱形； （2）∵∠B＝∠1＝30°， ∴∠ANB＝180°﹣∠B﹣∠1＝120°， ∴∠ANB＝∠MNC＝120°， 故答案为：120． 五、用定义判定菱形 1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 【答案】B 【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC綊DE， ∴四边形ACED为平行四边形， 当AC＝BC时，则DE＝EC， ∴平行四边形ACED是菱形． 故选B. 2.下列说法正确的是（　　） A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线相互垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】A．对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误； B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确； C．对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误； D．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误， 故选：B． 3.如图，两张宽度相等的长方形纸条交叉重叠在一起，交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（　　） A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.一般平行四边形 【答案】A 【解析】∵两张纸条都是长方形， ∴AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 过点A作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F． ∵两张长方形纸条的宽度相等， ∴AE＝AF． 又∵□ABCD的面积＝DC•AE＝BC•AF， ∴DC＝BC， ∴□ABCD为菱形． 故选：A． 4.如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH为______________． 【答案】菱形 【解析】由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∴HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，∵矩形的对角线相等，∴AC＝BD，∴EH＝HG，∴平行四边形EFGH是菱形． 5.如图，□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，则添加一个条件:　　可使四边形AECF为菱形． 【答案】AE＝EC 【解析】容易证△ABE≌△CDF，所以BE＝DF，再由AF，CE平行且相等判定四边形AFCE是平行四边形．当AE＝EC时，四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD， 而AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线， ∴∠BAE＝∠FCD， 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝DF， 而AD＝BC， ∴AF＝CE，而AF∥CE， ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵AE＝EC， ∴平行四边形AECF是菱形． 6.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. (1)求证：∠CEB＝∠CBE； (2)四边形CEDB是什么四边形？并说明理由． 【答案】(1)证明　∵△ABC≌△ABD， ∴∠ABC＝∠ABD， ∵CE∥BD， ∴∠CEB＝∠DBE， ∴∠CEB＝∠CBE. (2)解　四边形CEDB是菱形． 理由：∵△ABC≌△ABD， ∴BC＝BD， ∵∠CEB＝∠CBE， ∴CE＝CB， ∴CE＝BD， ∵CE∥BD， ∴四边形CEDB是平行四边形， ∵BC＝BD， ∴四边形CEDB是菱形． 7.如图，已知AB∥CD，∠BAC的平分线AE与CD交于点E，∠ACD的平分线CF与AB交于点F，试说明：四边形ACEF是菱形． 【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠ECF， ∵CF平分∠ACD， ∴∠ECF＝∠ACF， ∴∠ACF＝∠AFC， ∴AF＝AC， 同理，AC＝CE， ∴AF＝CE＝AC， 又∵AF∥CE， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∵AF＝AC， ∴四边形ACEF是菱形． 六、菱形中动点问题 如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　） 1. A.2 B. C.4 D. 【答案】B 【解析】连接DP，连接PF，连接DF，证明MNDF，求出DF的最小值，可得结论． 连接DP，连接PF，连接DF， ∵MA＝CM，EN＝BN， 四边形APCD，四边形PBFE是菱形， ∴点M是DP中点，点N是PF中点， ∴MN是△PDF的中位线， ∴MNDF， 当DF最小时，MN最小， DF的最小值为DF垂直BF时， ∵∠DAB＝ ∴DF的最小值为4， ∴MN的最小值为2． 故选：B． 如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，若DE+DF＝2，则△BEF面积的最小值为（　　） 2. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接BD，可证得△BDF≌△BAE，从而BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，进而证得△BEF是等边三角形，进一步得出结果． 如图， 连接BD， ∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝ ∴AB＝AD＝CD＝BC，∠C＝∠BAD＝ ∴△ABD与△BCD为正三角形， ∴∠FDB＝∠EAB＝AB＝BD， ∵AE+CF＝2，DF+CF＝2， ∴AE＝DF， ∴△BDF≌△BAE（SAS）， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF， ∴∠EBF＝∠ABD＝ ∴△BEF是等边三角形， ∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时， ∴边BE上的高为， ∴△BEF面积的最小值为， 故选：B． 如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为(　　) 3. A.1 B. C. D. 【答案】D 【解析】延长AB至M，使BM＝AE，连接FM， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝ ∴AB＝AD，∠A＝ ∵BM＝AE， ∴AD＝ME，∵△DEF为等边三角形， ∴∠DAE＝∠DFE＝DE＝EF＝FD， ∴∠MEF＋∠DEA＝ ∴∠MEF＝∠ADE， ∴在△DAE和△EMF中，AD=ME，∠MEF=∠ADE，DE=EF， ∴△DAE≌EMF(SAS)， ∴AE＝MF，∠M＝∠A＝ 又∵BM＝AE，∴△BMF是等边三角形， ∴BF＝AE，∵AE＝t，CF＝2t， ∴BC＝CF＋BF＝2t＋t＝3t， ∵BC＝4， ∴3t＝4，∴t＝，故选D. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AC＝8 cm，点E是边AD上一个动点，EG∥CD交AC于点G，GF∥BC交AB于点F，P是AG的中点，Q是CD的中点，QH⊥AC于点H，当点E是边AD的三等分点时，PH的长为　　cm． 4. 【答案】或 【解析】由平行线分线段成比例定理和菱形的性质分别求出CH，AP的长，即可求解． 连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，COAC＝4 (cm)， ∵Q是CD中点， ∴DQ＝CQ， ∵QH⊥AC，DB⊥AC， ∴DB∥QH， ∴， ∴CHCO＝2(cm)， ∵EG∥DC， ∴， ∵点E是边AD的三等分点， ∴或， ∴AGAC(cm)或AGAC(cm)， ∵P是AG中点， ∴APAG(cm)或(cm)， ∴PH＝AC﹣CH﹣AP(cm)或(cm)， 故答案为：或． 如图，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝E，F分别是AD，BD上的动点，DE＝BF，连AF，CE，则AF+CE的最小值为　　． 5. 【答案】 【解析】过点B作BT⊥AB，使BT＝AB，连接TF，AT，根据菱形性质得AB＝DC＝BT＝2，∠ABC＝∠ADC＝BD平分∠ABC，由勾股定理可求出AT，证△EDC和△FBT全等得CE＝TF，则AF+CE＝AF+TF，根据“两点之间线段最短”得AF+TF≥AT，即AF+TF≥从而得AF+TF的最小值为，据此可得出AF+CE的最小值． 过点B作BT⊥AB，使BT＝AB，连接TF，AT，如图所示， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝ ∴AB＝DC＝2，∠ABC＝∠ADC＝BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝ ∵BT⊥AB，BT＝AB＝DC＝2， 在Rt△ABT中，由勾股定理得：AT， ∵BT⊥AB，∠ABD＝ ∴∠FBT＝∠ABD＝ ∴∠ADC＝∠FBT＝ 在△EDC和△FBT中， ∴△EDC≌△FBT（SAS）， ∴CE＝TF， ∴AF+CE＝AF+TF， 根据“两点之间线段最短”得：AF+TF≥AT， 即AF+TF≥ ∴AF+TF的最小值为， ∴AF+CE的最小值为． 故答案为：． 点E是菱形ABCD的边上的一动点，运动方向由点C到点D，连接BE，BE的垂直平分线交BE于点F，交AC于点G，试说明点E的运动过程中∠EBG的大小变化情况． 6. 【答案】解：如图，连接BD交AC于O，连接FO，BG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠COB＝ ∵GF是BE的垂直平分线， ∴GB＝EG，∠BFG＝∠COB＝ ∴B，F，G，O四点共圆， ∴∠FBG＝∠FOG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵BF＝FE， ∴OF∥DC， ∴∠FOG＝∠DCA∠BCD， ∴∠EBG＝∠FOG∠BCD， ∵菱形ABCD固定， ∴∠BCD的度数固定， ∴∠EBG的大小不变． 如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． 7.（1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2， ∴BC＝BD＝CD＝AD＝2， ∴∠C＝∠CDB＝ ∵∠BDE＝∠BDC， ∴∠BDE＝∠C， ∵AE+DE＝AD＝2，AE+CF＝2， ∴DE＝CF， 在△BDE和△BCF中， ∴△BDE≌△BCF（SAS）． （2）解：等边三角形． 理由：∵△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠CBF＝∠DBE， ∵∠CBF+∠DBF＝ ∴∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝ ∴△BEF是等边三角形． 七、翻折或平移中的菱形判定问题 1.如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　) A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分四边形是菱形 【答案】B 【解析】如题图所示,∵将△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD，∵AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABDC是菱形.故选B. 2.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（　　） ①△BDF是等腰三角形；②DEBC； ③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断． ①∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD， 又∵△ADE≌△FDE， ∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝FE， ∴∠B＝∠BFD， ∴△BDF是等腰三角形，故①正确； 同理可证，△CEF是等腰三角形， ∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC，故②正确； ∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°， ∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确； 而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误． 所以一定正确的结论个数有3个， 故选C． 3.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC边上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC边上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．若使四边形AECF是菱形，的度数为(　　) A.30° B.40° C.45° D.50° 【答案】A 【解析】当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形， 理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°， ∵∠B＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°， 即∠CAE＝∠ACE， ∴EA＝EC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形. 故选A． 4.在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F，使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于点D; (2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于点E，交AC边于点F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________． 【答案】CD和EF是四边形DECF 的对角线，而CD和EF互相垂直且平分.(答案不唯一) 【解析】如图，连接DF,DE. 根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF,则四边形DECF恰为菱形．故答案是CD和EF是四边形DECF 的对角线，而CD和EF互相垂直且平分(答案不唯一)． 5.如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为 　　． 【答案】2． 【解析】由平移得 AD∥BE，AD＝BE， ∵点E为边BF的中点， ∴BE＝EF， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵∠BAF＝90°， ∴AE＝EFBF， ∴四边形AEFD是菱形， ∴四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积， ∵AE＝2， ∴BF＝2AE＝4， ∵∠B＝30°， ∴AFBF＝2，AB＝=2， ∴△ABF的面积AB•AF22＝2， ∵△ABF的面积＝2△AEF的面积， ∴四边形AEFD的面积＝△ABF的面积＝2. 故答案为：2． 6.如图1，两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，固定△ABC，将△DEF沿线段AB向右平移（即点D在线段AB上）．回答下列问题： （1）如图2，连接CF，四边形ADFC的形状一定是 　   　形； （2）如图3，当点D移动到AB的中点时，连接DC，CF，FB．求证：四边形CDBF是菱形． 【答案】（1）解：由平移的性质得AC＝DF，AC∥DF， ∴四边形ADFC是平行四边形. 故答案为：平行四边形． （2）证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CDAB＝AD＝BD． ∵AD＝CF， ∴BD＝CF． ∵AD∥FC， ∴四边形CDBF是平行四边形． 又∵CD＝BD， ∴平行四边形CDBF是菱形． 7.已知△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形，且点B，C，D，E在同一直线上，连接AD，CF．若BD＝3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t． （1）当t为何值时，四边形ADFC是菱形； （2）当t为何值时，平行四边形ADFC是矩形，并求其面积； （3）当t为何值时，平行四边形ADFC的面积是100cm2． 【答案】解：（1）当t＝3秒时，四边形ADFC是菱形．理由如下： ∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形， ∴AC＝DF，∠ACD＝∠FDE＝60°， ∴AC∥DF， ∴四边形ADFC是平行四边形. 当t＝3秒时，ADFC是菱形． 此时B与D重合，∴AD＝DF， ∴ADFC是菱形. （2）当t＝13秒时，ADFC是矩形．理由如下： 此时点B与点E重合， ∴AF＝CD， ∴▱ADFC是矩形， ∴∠CFD＝90°，CF=10cm. ∴S矩形ADFC＝10×10100cm2). （3）①点B，D重合前，即0＜t＜3时，CD＝7+t， ∴（7+t）×52×2＝100，解得t＝13（不合题意）； ②点B，D重合时，t＝3，10×52×2＝50（不合题意）； ③点B，D重合后，即t＞3时，（t+7）×52×2＝100，解得t＝13． 综上所述，当t为13秒时，平行四边形ADFC的面积是100cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $$