2.6 菱 形 暑假巩固 2024—2025学年湘教版数学八年级下册

湘教版八年级下册 2.6 菱 形 暑假巩固 一、菱形的性质 如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC，AD于点F，G，连结OG，则下列结论：①∠ABC＝②；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；其中正确的结论个数是（　　） 1. A.0 B.1 C.2 D.3 如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的高DE为（　　） 2. A.2.4 B.4.8 C.5 D.9.6 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） 3. A.3 B.4 C.4.5 D.5 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为　　． 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，AC＝16，BD＝12，则DE的长为　　． 5. 如图，E为菱形ABCD对角线AC上一点，直线DE交射线AB于点F，AD＝10，AC＝8． 6.（1）求此菱形的面积； （2）当△BEF是直角三角形时，求AE的长． 如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝BD＝6．求： 7.（1）∠BAD，∠ABC的度数； （2）AB，AC的长及菱形ABCD的面积． 二、菱形中动点问题 如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，若DE+DF＝2，则△BEF面积的最小值为（　　） 1. A. B. C. D. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝AB＝12，F是边BC上的一个动点，连接DF，以DF为对角线作菱形DEFG，使点E落在DC边上，当菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为（　　） 2. A.16 B.12 C. D. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝AB＝3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F，G分别是AE，CE的中点，则线段FG等于（　　） 3. A. B.3 C. D. 已知菱形ABCD中，∠A＝AB＝4，边AD，CD上有点E、点F两动点，始终保持DE＝DF，连接BE，EF，取BE中点G并连接FG，则FG的最小值是　　． 4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝AB，点E在对角线BD上，连接EC，∠ECB＝点P为直线BC上一动点．连接EP，以EP，EB为邻边构造平行四边形BEPQ，连接AQ．则AQ的最小值为　　． 5. 点E是菱形ABCD的边上的一动点，运动方向由点C到点D，连接BE，BE的垂直平分线交BE于点F，交AC于点G，试说明点E的运动过程中∠EBG的大小变化情况． 6. 如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合）．连接DP交对角线AC于E，连接BE． 7.（1）证明：∠APD＝∠CBE； （2）试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的？请说明理由． 三、用定义判定菱形 1.下列说法正确的是（　　） A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线相互垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 3.如图，两张宽度相等的长方形纸条交叉重叠在一起，交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（　　） A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.一般平行四边形 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是　　（写出一个即可）． 5.有一组邻边　　的平行四边形是菱形． 6.如图，延长平行四边形ABCD的边AD，AB．作CE⊥AB交AB的延长线于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，若CE＝CF． 求证：四边形ABCD是菱形． 7.如图，由两个全等的矩形叠合而得到的四边形ABCD是菱形吗？证明你的结论． 四、用对角线判定菱形 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是(　　) A. ∠ABC＝90° B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AB∥CD 2.下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A.AC＝BD B.AB⊥CD C.AD＝BD D.AC⊥BD 3.如图，要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　） A.AC＝AD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AC＝BD 4.在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D; (2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________． 5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________________使其成为菱形(只填一个即可)． 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF＝∠CDE， AE＝CF. (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？ 7.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F． 求证：四边形AECF是菱形． 五、菱形的判定综合 □ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定□ABCD是菱形的是(　　) A.∠A＝∠D B.AB＝AD C.AC⊥BD D.CA平分∠BCD 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是(　　) 2. A. 四边形ABCD是梯形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 对角线AC＝BD D. AD＝BC 如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是(　　) 3. A.AB⊥AC B.AB＝AC C.AB＝BC D.AC＝BC 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形． 4.小王同学写了以下证明： 第一行∵AC⊥BD，OB＝OD， 第二行∴AC垂直平分BD． 第三行∴AB＝AD，CB＝CD， 第四行∴四边形ABCD是菱形． 对于这个题目及证明，有以下结论； ①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错； ③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，正确的结论是 　　.（填序号） 如图，Rt△ABC沿某方向平移一定距离得到Rt△DEF，直角顶点C恰为DE中点，连接AD，CF，BE．给出结论：①AB∥DE；②∠CBE＝∠BCE；③四边形ACFD为菱形，其中正确结论的序号是 　　． 5. 如图，在□ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．求证：四边形AEBD是菱形． 6. 如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． 7.（1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）连接AO，直接写出当AO和 　　相等时，四边形DEFG是菱形． 六、翻折或平移中的菱形判定问题 1.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD边上的点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝. 以上结论中，你认为正确的是(　　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 2.如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为(　　) A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 一般平行四边形 3.如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　) A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分四边形是菱形 4.如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为 　　． 5.在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F，使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于点D; (2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于点E，交AC边于点F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________． 6.若以一个三角形的最长边所在直线为对称轴，把这个三角形进行翻折，则称所得的四边形为准菱形． （1）如图，在以对角线AC所在直线为对称轴的准菱形ABCD中，BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形； （2）有同学说“如果在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，AC平分BD，那么这个四边形是平行四边形”，你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例． 7.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使A点落在BC上的D点处，且FD⊥BC． （1）确定点E在AB上和点F在AC上的位置； （2）求证：四边形AEDF为菱形． 七、菱形性质和判定的综合 1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②与△EGD全等的三角形共有2个； ③S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形. A.①③④ B.①④ C.①②③ D.②③④ 2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，则四边形ABCD面积为（　　） A.20 B.24 C.28 D.48 3.如图，将长度均为2的四根细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，拉动这个四边形，改变它的形状．当∠B＝60°时，对角线BD的长是（　　） A. B. C.2 D.2 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝　 　． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C，B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD，AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝　  　． 6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若∠ACB＝60°，平行线AF与BC间的距离为，求菱形ADCF的面积． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点(点D不与点A重合)，点E是AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，CD. (1)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)当点D是AB的中点时，若AB＝4，求四边形ADCF的周长． 湘教版八年级下册 2.6 菱 形 暑假巩固（参考答案） 一、菱形的性质 如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC，AD于点F，G，连结OG，则下列结论：①∠ABC＝②；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；其中正确的结论个数是（　　） 1. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】根据菱形的性质得出BC＝CD＝AB，AB∥CD，OB＝OD，求出BC＝DC＝BD，根据等边三角形的判定得出△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BCD＝求出∠ABC＝求出∠BAG＝∠EDG，AB＝DE，根据全等三角形的判定得出△ABG≌△DEG，根据全等三角形的性质得出AG＝DG，BG＝GE，求出OG∥AB∥DE，OGAB，OG到AB之间的距离＝OG到DE之间的距离（设距离为h），求出四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，即可求解． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB，AB∥CD，OB＝OD， ∵CD＝2OB， ∴BC＝DC＝BD， ∴△BDC是等边三角形， ∴∠BCD＝ ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝ ∴∠ABC＝故①正确； ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠EDG， ∵AB＝CD，CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG，BG＝GE， ∵BO＝DO，AB∥DE， ∴OG∥AB∥DE，OGAB，OG到AB之间的距离＝OG到DE之间的距离（设距离为h）， ∵四边形ODEG的面积S四边形OBAG的面积S′AB＝DE， ∴四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故②正确，③正确； 故选：D． 如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的高DE为（　　） 2. A.2.4 B.4.8 C.5 D.9.6 【答案】B 【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积解答即可． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD， ∵BD，AC的长分别为6 cm和8 cm， ∴OA＝4 cm，OB＝3 cm， ∴AB ∵DE•ABAC•BD， 即5DE6×8， ∴DE＝4.8 cm， 故选：B． 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） 3. A.3 B.4 C.4.5 D.5 【答案】B 【解析】由菱形的性质得AD＝AB＝5，AC⊥BD，AOAC＝3，OB＝OD，由勾股定理求OD＝4，则BD＝8，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求OE的长． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AOAC6＝3，OB＝OD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得： ∴BD＝2OD＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝ ∵OD＝OB， ∴OEBD8＝4， 故选：B． 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为　　． 4. 【答案】60 【解析】根据菱形的面积的公式，即可求出阴影部分的面积． ∵菱形是中心对称图形， ∴由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半， ∵菱形的两条对角线的长分别为10和24， ∴菱形的面积为10×24＝120， ∴阴影部分的面积为60， 故答案为：60． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，AC＝16，BD＝12，则DE的长为　　． 5. 【答案】9.6 【解析】由菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16，BD＝12，可求得AB的长，菱形的面积，继而求得菱形的高． ∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16，BD＝12， ∴AC⊥BD，OAAC＝8，OBBD＝6， ∴ ∵S菱形ABCD＝AB•DEAC•BD16×12＝96， ∴DE＝9.6． 故答案为：9.6． 如图，E为菱形ABCD对角线AC上一点，直线DE交射线AB于点F，AD＝10，AC＝8． 6.（1）求此菱形的面积； （2）当△BEF是直角三角形时，求AE的长． 【答案】解：（1）连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AOAC＝4，AC⊥BD， ∴ ∴BD＝4， ∴菱形的面积•8•480． （2）①当∠EFB＝时，如图1， ∵∠EFB＝ ∴菱形的面积＝10•DF＝80， ∴DF＝8， ∴ ∴BF＝4， ∵AC垂直平分BD， ∴DE＝BE， ∵BE2＝FE2+BF2， ∴ 得EF＝3， 在△AEF中，AE3； ②当∠BEF＝时，如图2，连接BD交AC于O， 则△EDB是等腰直角三角形，BD＝4， ∴OE＝2， ∴AE＝2； ③当∠FBE＝时，如图3， 由①中解答可知AE＝5， 综上：AE的长为3或2或5． 如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝BD＝6．求： 7.（1）∠BAD，∠ABC的度数； （2）AB，AC的长及菱形ABCD的面积． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝BC，∠BCD＝2∠ACD，∠ABC＝∠ADC， ∵∠ACD＝ ∴∠BCD＝ ∴△BCD为等边三角形， ∴∠BDC＝ ∴∠ADC＝∠ABC＝ ∴∠BAD＝∠BCD＝ （2）∵四边形ABCD是菱形，△BCD为等边三角形，BD＝6， ∴BC＝DC＝AB＝6，AC⊥BD， ∵∠ACD＝ ∴ODDC＝3，OCCD＝3， ∴AC＝2CO＝6， ∴菱形ABCD的面积AC•BD＝18． 二、菱形中动点问题 如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，若DE+DF＝2，则△BEF面积的最小值为（　　） 1. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接BD，可证得△BDF≌△BAE，从而BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，进而证得△BEF是等边三角形，进一步得出结果． 如图， 连接BD， ∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝ ∴AB＝AD＝CD＝BC，∠C＝∠BAD＝ ∴△ABD与△BCD为正三角形， ∴∠FDB＝∠EAB＝AB＝BD， ∵AE+CF＝2，DF+CF＝2， ∴AE＝DF， ∴△BDF≌△BAE（SAS）， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF， ∴∠EBF＝∠ABD＝ ∴△BEF是等边三角形， ∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时， ∴边BE上的高为， ∴△BEF面积的最小值为， 故选：B． 如图，在菱形ABCD中，∠A＝AB＝12，F是边BC上的一个动点，连接DF，以DF为对角线作菱形DEFG，使点E落在DC边上，当菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为（　　） 2. A.16 B.12 C. D. 【答案】D 【解析】分析出菱形DEFG的周长最小时的边长，根据菱形的面积公式计算即可． 如图所示：过点E作EH⊥BC，垂足为H． 设DE＝EF＝x，则EC＝12﹣x， ∵∠C＝∠A＝ ∴EHEC， ∵EF≥EH， ∴x≥ ∴x≥4， ∴边长最小是4， 过F作FN⊥DC，CF＝4， FN•CF＝2， ∴菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为： DE×FN＝48． 故选：D． 如图，在菱形ABCD中，∠B＝AB＝3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F，G分别是AE，CE的中点，则线段FG等于（　　） 3. A. B.3 C. D. 【答案】A 【解析】连接AC，证出△ABC是等边三角形，得出AC＝AB＝3，再证出FG是△ACE的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果． 连接AC，如图所示， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝3， ∵∠B＝ ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝3， ∵点F，G分别是AE，CE的中点， ∴FG是△ACE的中位线， ∴FGAC； 故选：A． 已知菱形ABCD中，∠A＝AB＝4，边AD，CD上有点E、点F两动点，始终保持DE＝DF，连接BE，EF，取BE中点G并连接FG，则FG的最小值是　　． 4. 【答案】3 【解析】过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长EF交DH于点M，连接BM，根据菱形的性质证明△DEF是等边三角形，当BM最小时FG最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知：BM的最小值等于BH，在Rt△CDH中，∠HDC＝求出CH的长，进而可得BM的长，可得结论． 如图，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长EF交DH于点M，连接BM， 在菱形ABCD中，∠A＝AD∥BC， ∴∠ADC＝ ∵DH⊥BC， ∴∠HDC＝ ∵DE＝DF，∠ADC＝ ∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF＝EF，∠DEF＝ ∴∠MDF＝∠DMF＝ ∴FM＝FD＝EF， ∵EG＝BG， ∴GFBM， ∴当BM最小时FG最小， 根据点到直线的距离垂线段最短可知：BM的最小值等于BH， 在菱形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4， 在Rt△CDH中，∠HDC＝ ∴CHCD＝2， ∴BH＝BC+CH＝4+2＝6， ∴BM的最小值为6， ∴FG的最小值为3． 故答案为：3． 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝AB，点E在对角线BD上，连接EC，∠ECB＝点P为直线BC上一动点．连接EP，以EP，EB为邻边构造平行四边形BEPQ，连接AQ．则AQ的最小值为　　． 5. 【答案】18﹣3 【解析】过Q作QK∥BC，作AH⊥QK于H，交BC于F，作EM⊥BC于M，作QN⊥CB于N，由直角三角形的性质求出AFAB＝9，令EM＝CM＝x，得到MBx，因此BCx+x＝6，求出x的值，得到EM的值，即可求出AH的值，由AQ≥AH，即可解决问题． 过Q作QK∥BC，作AH⊥QK于H，交BC于F，作EM⊥BC于M，作QN⊥CB于N， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥CB，∠CBD＝∠ABD，BC＝AB＝6， ∴QK∥AD， ∴AF⊥BC， ∵∠ABC＝AB＝6， ∴AFAB＝9， ∵∠ECM＝ ∴△EMC是等腰直角三角形， 令EM＝CM＝x， ∵∠EBM∠ABC＝ ∴MBx， ∴BCx+x＝6， ∴x＝9﹣3， ∴ME＝9﹣3， ∵四边形PQBE是平行四边形， ∴QN＝ME＝9﹣3， ∴FH＝NQ＝9﹣3， ∴AH＝AF+FH＝18﹣3， ∵AQ≥AH， ∴AQ的最小值是18﹣3． 故答案为：18﹣3． 点E是菱形ABCD的边上的一动点，运动方向由点C到点D，连接BE，BE的垂直平分线交BE于点F，交AC于点G，试说明点E的运动过程中∠EBG的大小变化情况． 6. 【答案】解：如图，连接BD交AC于O，连接FO，BG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠COB＝ ∵GF是BE的垂直平分线， ∴GB＝EG，∠BFG＝∠COB＝ ∴B，F，G，O四点共圆， ∴∠FBG＝∠FOG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵BF＝FE， ∴OF∥DC， ∴∠FOG＝∠DCA∠BCD， ∴∠EBG＝∠FOG∠BCD， ∵菱形ABCD固定， ∴∠BCD的度数固定， ∴∠EBG的大小不变． 如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合）．连接DP交对角线AC于E，连接BE． 7.（1）证明：∠APD＝∠CBE； （2）试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，AB∥CD， ∴∠CDE＝∠APD， 在△CDE和△CBE中， ∴△CDE≌△CBE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDE， ∴∠APD＝∠CBE． （2）解：P点运动到AB中点时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的． 理由：连接BD， ∵P是AB的中点， ∴S△ADPS△ABD， ∵S△ABDS菱形ABCD， ∴S△ADPS菱形ABCD． 三、用定义判定菱形 1.下列说法正确的是（　　） A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线相互垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】A．对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误； B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确； C．对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误； D．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误， 故选：B． 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 【答案】B 【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC綊DE， ∴四边形ACED为平行四边形， 当AC＝BC时，则DE＝EC， ∴平行四边形ACED是菱形． 故选B. 3.如图，两张宽度相等的长方形纸条交叉重叠在一起，交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（　　） A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.一般平行四边形 【答案】A 【解析】∵两张纸条都是长方形， ∴AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 过点A作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F． ∵两张长方形纸条的宽度相等， ∴AE＝AF． 又∵□ABCD的面积＝DC•AE＝BC•AF， ∴DC＝BC， ∴□ABCD为菱形． 故选：A． 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是　　（写出一个即可）． 【答案】AE＝AB（答案不唯一） 【解析】先证四边形AEFB是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 这个条件可以是AE＝AB，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∵AE＝FB， ∴四边形AEFB是平行四边形， 又∵AE＝AB， ∴平行四边形AEFB是菱形， 故答案为：AE＝AB（答案不唯一）． 5.有一组邻边　　的平行四边形是菱形． 【答案】相等 【解析】根据菱形的判定方法可得出结论． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 6.如图，延长平行四边形ABCD的边AD，AB．作CE⊥AB交AB的延长线于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，若CE＝CF． 求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CBE＝∠A，∠CDF＝∠A， ∴∠CBE＝∠CDF， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠CEB＝∠CFD， 在△CBE与△CDF中， ∴△CBE≌△CDF， ∴CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 7.如图，由两个全等的矩形叠合而得到的四边形ABCD是菱形吗？证明你的结论． 【答案】四边形ABCD是菱形． 证明：如图， 作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S， 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵矩形BEDG和矩形BNDQ全等， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 四、用对角线判定菱形 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是(　　) A. ∠ABC＝90° B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AB∥CD 【答案】B 【解析】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故选B. 2.下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A.AC＝BD B.AB⊥CD C.AD＝BD D.AC⊥BD 【答案】D 【解析】根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． A、AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意； B、AB⊥CD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意； C、AD＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意； D、AC⊥BD，对角线垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形ABCD是菱形，符合题意； 故选：D． 3.如图，要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　） A.AC＝AD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AC＝BD 【答案】C 【解析】利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证． 对角线垂直的平行四边形为菱形． 要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是AC⊥BD． 故选：C． 4.在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D; (2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________． 【答案】CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分(答案不唯一) 【解析】如图，连接DF、DE. 根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．故答案是CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分(答案不唯一)． 5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________________使其成为菱形(只填一个即可)． 【答案】AC⊥BD 【解析】平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：AC⊥BD． 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF＝∠CDE， AE＝CF. (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？ 【答案】(1)证明　∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA.∵AE＝CF， ∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在△ABF和△CDE中，∠BAC=∠DCA，∠ABF=∠CDE，AF=CE， ∴△ABF≌△CDE(AAS)； (2)解　当四边形ABCD满足AB＝AD时，四边形BEDF是菱形． 理由如下：连接BD交AC于点O， 如图所示：由(1)得：△ABF≌△CDE， ∴AB＝CD，BF＝DE，∠AFB＝∠CED， ∴BF∥DE.∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形． ∴BD⊥AC.∵BF＝DE，BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴四边形BFDE是菱形． 7.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F． 求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥FC． ∴∠EAC＝∠FCA． ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO， 在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）． ∴EO＝FO， ∴四边形AECF为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AECF为菱形． 五、菱形的判定综合 □ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定□ABCD是菱形的是(　　) A.∠A＝∠D B.AB＝AD C.AC⊥BD D.CA平分∠BCD 【答案】A 【解析】 A．错误．∵∠A＝∠D，∠A＋∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故A错误． B．正确．∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．故B正确． C．正确．∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．故C正确． D．正确．∵CA平分∠BCD，AB∥CD∴∠BAC＝∠ACD＝∠BCA，∴BA＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．故选A. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是(　　) 2. A. 四边形ABCD是梯形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 对角线AC＝BD D. AD＝BC 【答案】D 【解析】∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG；同理，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形； A．若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH＝FE相矛盾；故本选项错误； B．若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误； C．若对角线AC＝BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误； D．当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；故选D. 如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是(　　) 3. A.AB⊥AC B.AB＝AC C.AB＝BC D.AC＝BC 【答案】B 【解析】AB＝AC，理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵D、F分别为AB和AC的中点，∴DF∥BC，∴AE⊥DF，∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，∴EF∥AD，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AE⊥DF，∴四边形ADEF是菱形，即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形，选项A、C、D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形，故选B. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形． 4.小王同学写了以下证明： 第一行∵AC⊥BD，OB＝OD， 第二行∴AC垂直平分BD． 第三行∴AB＝AD，CB＝CD， 第四行∴四边形ABCD是菱形． 对于这个题目及证明，有以下结论； ①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错； ③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，正确的结论是 　　.（填序号） 【答案】③④． 【解析】由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，BC＝DC，即可求解． ∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB＝AD，CB＝CD， 由题目条件无法证明四边形ABCD是菱形， ①推理严谨，证明正确；说法错误； ②证明时，第三行出错；说法错误； ③证明时，第四行出错；说法正确； ④题目缺少条件，需要补充条件才能证明其中，说法正确； 故答案为：③④． 如图，Rt△ABC沿某方向平移一定距离得到Rt△DEF，直角顶点C恰为DE中点，连接AD，CF，BE．给出结论：①AB∥DE；②∠CBE＝∠BCE；③四边形ACFD为菱形，其中正确结论的序号是 　　． 5. 【答案】①②． 【解析】由平移的性质得出AB∥DE，得出①正确； 由平移的性质得出AC∥DF，AC＝DF，得出四边形ACFD是平行四边形，③错误， 由四边形ACFD是平行四边形得出AD＝CF，由C恰为DE中点，得出CF＝CE，由平移的性质得出AB∥DE，AB＝DE，得出四边形ABED是平行四边形，得出AD＝BE，继而得出CE＝BE，得出∠CBE＝∠BCE，②正确； ∵Rt△ABC平移，得到Rt△DEF， ∴AB∥DE，得出①正确； ∵平移， ∴AC∥DF，AC＝DF， ∴四边形ACFD是平行四边形，得出③错误； ∴AD＝CF， ∵C恰为DE的中点， ∴CF＝CE， ∴AD＝CE， ∵平移， ∴AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AD＝BE， ∴BE＝CE， ∴∠CBE＝∠BCE，②正确； 故答案为：①②． 如图，在□ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．求证：四边形AEBD是菱形． 6. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BD＝AD，BE＝BD， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵BD＝AD， ∴四边形AEBD是菱形． 如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． 7.（1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）连接AO，直接写出当AO和 　　相等时，四边形DEFG是菱形． 【答案】（1）证明：∵点D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC的中点， ∴DG∥BC，，EF∥BC，， ∴DG∥EF，DG＝EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）解：当AO和BC相等时，四边形DEFG是菱形；理由如下： 连接AO，如图， ∵点D、E分别是AB、OB的中点， ∴， ∵，AO＝BC， ∴DE＝DG， ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴平行四边形DEFG是菱形． 故答案为：BC． 六、翻折或平移中的菱形判定问题 1.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD边上的点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝. 以上结论中，你认为正确的是(　　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD,BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质，得CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确； ②∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时，EC平分∠DCH，故②错误； ③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8－x，在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3;点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确； ④过点F作FM⊥AD于M（图略），则ME＝(8－3)－3＝2，由勾股定理，得EF＝＝，故④正确.综上所述，结论正确的有①③④共3个,故选C. 2.如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为(　　) A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 一般平行四边形 【答案】A 【解析】∵等腰△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，∴AB＝DB，AC＝DC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝DC＝DB，∴四边形ABDC为菱形．故选A. 3.如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　) A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分四边形是菱形 【答案】B 【解析】如题图所示,∵将△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD，∵AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABDC是菱形.故选B. 4.如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为 　　． 【答案】2． 【解析】由平移得 AD∥BE，AD＝BE， ∵点E为边BF的中点， ∴BE＝EF， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵∠BAF＝90°， ∴AE＝EFBF， ∴四边形AEFD是菱形， ∴四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积， ∵AE＝2， ∴BF＝2AE＝4， ∵∠B＝30°， ∴AFBF＝2，AB＝=2， ∴△ABF的面积AB•AF22＝2， ∵△ABF的面积＝2△AEF的面积， ∴四边形AEFD的面积＝△ABF的面积＝2. 故答案为：2． 5.在数学课上，老师提出如下问题： 如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F，使得四边形DECF恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于点D; (2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于点E，交AC边于点F. 老师说：“小明的作法正确．” 请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________． 【答案】CD和EF是四边形DECF 的对角线，而CD和EF互相垂直且平分.(答案不唯一) 【解析】如图，连接DF,DE. 根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF,则四边形DECF恰为菱形．故答案是CD和EF是四边形DECF 的对角线，而CD和EF互相垂直且平分(答案不唯一)． 6.若以一个三角形的最长边所在直线为对称轴，把这个三角形进行翻折，则称所得的四边形为准菱形． （1）如图，在以对角线AC所在直线为对称轴的准菱形ABCD中，BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形； （2）有同学说“如果在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，AC平分BD，那么这个四边形是平行四边形”，你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例． 【答案】（1）证明：∵AC是准菱形ABCD的对称轴， ∴OB＝OD，AC⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， 在△ABO和△CBO中， ∵ ∴△ABO≌△CBO（ASA）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）. （2）不正确，例如：筝形ABCD，满足∠ABC＝∠ADC，AC平分BD，但不是平行四边形． 7.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使A点落在BC上的D点处，且FD⊥BC． （1）确定点E在AB上和点F在AC上的位置； （2）求证：四边形AEDF为菱形． 【答案】（1）解：∵△ABC为直角三角形，∠A＝60°， ∴∠C＝30°．（1分） ∴AF＝DFFC，即AFAC．（2分） ∵FD⊥BC， ∴∠BDE与∠EDF互余． 而∠EDF＝∠A＝60°， ∴∠BDE＝30°．（3分） ∴BEEDAE，即BEAB．（4分） （2）证明：∵∠BDE＝30°，∠B＝90°， ∴∠BED＝60°＝∠A， ∴ED∥AF．（5分） ∵AB⊥BC，FD⊥BC， ∴FD∥AE．（6分） ∴四边形AEDF为平行四边形．（7分） 又∵AE＝ED， ∴平行四边形AEDF为菱形．（8分） 七、菱形性质和判定的综合 1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②与△EGD全等的三角形共有2个； ③S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形. A.①③④ B.①④ C.①②③ D.②③④ 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△CBO≌△CDO≌△ADO（SSS）， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OGCDAB，故①正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD，△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）， 在△BGA和△COD中， ∴△BGA≌△COD（SAS）， ∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确； ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△DOG， ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABG＝S△DGE， ∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确， 综上，正确的结论有①③④. 故选：A． 2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，则四边形ABCD面积为（　　） A.20 B.24 C.28 D.48 【答案】B 【解析】如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O， 由题意知，AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴AR＝AS． ∵AR⋅BC＝AS⋅CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∵A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8， ∴四边形ABCD面积为. 故选：B． 3.如图，将长度均为2的四根细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，拉动这个四边形，改变它的形状．当∠B＝60°时，对角线BD的长是（　　） A. B. C.2 D.2 【答案】C 【解析】如图，连接AC，BD，由题意可知AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABD＝∠CBD，OB＝OD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵AB＝2， ∴OAAB＝1， ∴OB， ∴BD＝2OB＝2. 故答案为：C． 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝　 　． 【答案】5 【解析】∵AG∥BD，BD＝FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵点D是AC中点， ∴BD＝DFAC， ∴四边形BGFD是菱形， 设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x， ∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°， ∴AF2+CF2＝AC2，即(13﹣x)2+62＝(2x)2， 解得x＝5 即BG＝5． 故答案为：5． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C，B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD，AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝　  　． 【答案】25° 【解析】连接CD，如图． ∵分别以C，B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D， ∴BD＝CD＝AB， ∵AB＝AC， ∴AB＝BD＝CD＝AC， ∴四边形ABDC是菱形， ∴BD∥AC，∠CAD∠BAC， ∴， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣130°＝50°， ∴∠CAD＝25°． 故答案为：25° 6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若∠ACB＝60°，平行线AF与BC间的距离为，求菱形ADCF的面积． 【答案】（1）证明 ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AFE和△DBE中， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝DB， ∵AD是BC边上的中线， ∴DC＝DB=AD， ∴AF＝DC， 又∵AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD＝CD， ∴四边形ADCF是菱形． （2）解 作AG⊥BC于点G，如图，则∠AGC＝90°，AG＝4， ∵AD＝CD，∠ACB＝60°， ∴△ACD是等边三角形，∠CAG＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴AC＝2CG，DG＝CG， ∵AGCG＝4， ∴CG＝4， ∴CD＝2CG＝8， ∴S菱形ADCF＝CD•AG＝8×432， ∴菱形ADCF的面积是32． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点(点D不与点A重合)，点E是AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，CD. (1)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)当点D是AB的中点时，若AB＝4，求四边形ADCF的周长． 【答案】(1)证明　∵点E是AC的中点， ∴AE＝EC， ∵EF＝DE， ∴四边形ADCF是平行四边形． (2)解　∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴CD＝AD＝AB＝2， ∴平行四边形ADCF是菱形， ∴菱形ADCF的周长是8. 学科网（北京）股份有限公司 $$