1.1三角形中的线段和角（3知识点+8题型+课后练习） 同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册苏科版（2024）

第1章 三角形 1.1三角形中的线段和角 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解三角形的概念及相关线段（边、中线、高线、角平分线）和角的定义​ . 掌握三角形三边关系、内角和定理及外角性质，能进行简单计算​ . 会用尺规作图绘制三角形的重要线段，能解决基础几何问题 . . 一：三角形的三边关系 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 二：三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 三：三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 考点一： 构成三角形的条件 1．下列每组数分别是三根小棒的长度，其中能摆成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．1，5，6 C．3，3，6 D．1，5，5 3．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．3，9，13 B．6，8，15 C．5，7，12 D．4，5，6 4．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点二：确定第三边的取值范围 5．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 6．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上，两点到原点的距离分别是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 8．某款自行车的三角形车架中，有两根钢架长分别为5分米和8分米，则第三根的长可能是（   ） A．3分米 B．9分米 C．13分米 D．15分米 考点三.根据三角形中线求长度 9．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 10．如图是一张钝角三角形纸片，妙妙同学想通过折纸的方式完成如下任务：①找出线段的中点；②折出的平分线；③折出点到直线的垂线段．则她只通过折纸就能完成的任务是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．下列命题中，说法错误的个数有（   ） ①同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交； ②一个锐角的补角比这个角的余角大； ③过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离； ④两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等； ⑤三角形三条中线的交点可能在三角形的外部． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 考点四. 根据三角形中线求面积 13．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 14．如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 15．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 16．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 考点五.三角形角平分线的定义 17．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 18．下列说法中，错误的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．三角形的三条角平分线相交于一点 C．同旁内角相等，两直线平行 D．三角形任意两边之和大于第三边 19．如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 20．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 考点六.画三角形的高 21．画出的边上的高，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 23．下面三角形底边上的高画正确的是（ ） A． B． C． 24．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 考点七.与三角形的高有关的计算问题 25．如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．11 D．10 26．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 28．如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 考点八. 利用网格求三角形面积 29．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 30．如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 31．如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 32．如图，正方形中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 2．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 3．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 4．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（ ） A． B． C． D． 6．下列长度的三根木棒能围成三角形的是（     ） A．2，1，1 B．2，2，5 C．2，3，5 D．2，3，4 7．将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列长度的线段能组成三角形的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．若的周长为，则的长可能为（    ） A． B． C． D． 10．某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点，测得米，米．根据三角形三边关系，之间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7米 C．12米 D．16米 2、 填空题 11．已知三角形两边的长分别为，第三边的长为整数，则第三边的长为 ． 12．下图（单位：分米）中甲、乙两个三角形面积相差平方分米．则图中最大的直角三角形的一条直角边长为 ． 13．已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 14．已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 15．如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形 1.1三角形中的线段和角 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解三角形的概念及相关线段（边、中线、高线、角平分线）和角的定义​ . 掌握三角形三边关系、内角和定理及外角性质，能进行简单计算​ . 会用尺规作图绘制三角形的重要线段，能解决基础几何问题 . . 一：三角形的三边关系 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 二：三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 三：三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 考点一： 构成三角形的条件 1．下列每组数分别是三根小棒的长度，其中能摆成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，对各选项进行判断即可． 【详解】A、，不能摆成一个三角形，不符合题意； B、，不能摆成一个三角形，不符合题意； C、，能摆成一个三角形，符合题意； D、，不能摆成一个三角形，不符合题意； 故选：C． 2．下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．1，5，6 C．3，3，6 D．1，5，5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键． 【详解】解：A、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意； B、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意； C、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意； D、，可以组成一个三角形三边，符合题意； 故选：D． 3．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．3，9，13 B．6，8，15 C．5，7，12 D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，逐一验证各选项中较小的两边之和是否大于第三边即可． 【详解】解：A. 3，9，13：，不满足三角形三边关系，不能组成三角形； B. 6，8，15：，不满足三角形三边关系，不能组成三角形； C. 5，7，12：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； D. 4，5，6：，满足三角形三边关系，能构成三角形． 故选：D． 4．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。若存在两边之和等于或小于第三边，则无法构成三角形；逐一验证各选项是否满足三角形三边关系即可. 【详解】解：选项A：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项B：，，，最长边，，等于第三边，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形；符合题意； 选项C：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项D：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 故选：B 考点二：确定第三边的取值范围 5．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 6．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 7．如图，数轴上，两点到原点的距离分别是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 直接利用数轴得出三角形的两边长，进而得出第三边取值范围，进而得出答案． 【详解】解：由数轴可得：A到原点距离为2，B到原点距离为5， ∵数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长， ∴设该三角形第三边长为x， 则x的取值范围是：， ∴． 故选：B． 8．某款自行车的三角形车架中，有两根钢架长分别为5分米和8分米，则第三根的长可能是（   ） A．3分米 B．9分米 C．13分米 D．15分米 【答案】B 【分析】设第三根长度为分米，根据三角形三边关系定理列不等式组求出x的取值范围再在各选项中选出符合条件的即可本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键 【详解】解：设第三根长度为分米根据三角形三边关系可得： ， 解得， 因此，第三根的长度范围是，选项中只有B（9分米）满足条件， 故选B． 考点三.根据三角形中线求长度 9．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 10．如图是一张钝角三角形纸片，妙妙同学想通过折纸的方式完成如下任务：①找出线段的中点；②折出的平分线；③折出点到直线的垂线段．则她只通过折纸就能完成的任务是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，且折痕过点，则：折痕即为边上的高； 故选D． 11．下列命题中，说法错误的个数有（   ） ①同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交； ②一个锐角的补角比这个角的余角大； ③过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离； ④两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等； ⑤三角形三条中线的交点可能在三角形的外部． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题，涉及相交线与平行线，补角的定义，点到直线的距离，三角形中线，理解相关的知识逐一判断即可． 【详解】解：①：同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，并非独立关系，因此①错误； ②：设锐角为，补角为，余角为，补角比余角大，计算正确，因此②正确； ③：点到直线的距离定义为垂线段的长度，符合教材定义，因此③正确； ④：同位角相等需满足两直线平行，否则不一定相等，命题未说明平行条件，因此④错误； ⑤：三角形三条中线的交点（重心）始终在三角形内部，不可能在外部，因此⑤错误； 综上，错误的命题为①④⑤，共3个， 故选：C． 12．数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 考点四. 根据三角形中线求面积 13．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 14．如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查三角形中线的性质，根据三角形中线性质得到的面积与的面积相等，由此推出的面积的面积，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵D是的中点， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积与的面积相等， ∴的面积的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决此题的关键． 【详解】解：∵E是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 16．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 考点五.三角形角平分线的定义 17．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 18．下列说法中，错误的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．三角形的三条角平分线相交于一点 C．同旁内角相等，两直线平行 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【详解】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形的基本性质，根据平行线的性质和判定，三角形的边角关系，逐一分析各选项的正确性． 【分析】解：A．根据平行线的性质定理，两直线平行时同位角相等，故A正确，不符合题意； B．三角形的三条角平分线交于一点（内心），故B正确，不符合题意； C．同旁内角互补，两直线平行，原说法错误，故C错误，符合题意； D．三角形三边关系定理表明任意两边之和大于第三边，故D正确，不符合题意． 故选：C． 19．如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可． 【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线， ∴，，，，不一定相等， 故选项A，B，C正确，选项D错误． 故选：D． 20．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 考点六.画三角形的高 21．画出的边上的高，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可，正确理解三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作边的垂线，垂线段为边上的高， 所以选项的画法正确． 故选：． 22．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 23．下面三角形底边上的高画正确的是（ ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义． 从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高．所以，由定义知，三角形的高是一条线段．由于三角形有三条边，所以三角形有三条高；以此答题即可． 【详解】 解：A．不是三角形所标的底边上的高，不符合题意； B．是三角形所标的底边上的高，符合题意； C．不是三角形所标的底边上的高，不符合题意； 故选：B． 24．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画三角形的高，过三角形的一个顶点作其对边的垂线，顶点与垂足的连线段叫做对边上的高，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可得，四个选项中只有D选项中的图形符合题意， 故选：D． 考点七.与三角形的高有关的计算问题 25．如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度． 连接和，要求的面积，可以分成三部分来分别计算，是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得的面积． 【详解】解：连接和， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 2， 则； ； ∴． 故选A． 26．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 27．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∵，． ∴, ∴的最小值为6， 故选B． 28．如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形高有关的计算问题．根据题意求出的面积，即可得到的面积． 【详解】解：∵于点E，，， ∴， 又∵， ∴的面积． 故选：C． 考点八. 利用网格求三角形面积 29．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键．根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：满足条件的点C的个数为6个，如图所示： ， ， 故选：B． 30．如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要查了平行线间的距离．根据平行线间的距离解答，即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：满足条件的点D有，共4个． 故选：A 31．如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，根据图中各部分之间的面积关系正确列式计算是解题的关键． 用整个网格的面积减去周围三个小三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：． 32．如图，正方形中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，三角形的面积公式，整式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据“正方形中阴影部分的面积正方形面积个三角形面积”即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 正方形中阴影部分的面积为： ， 故选：． 一、单选题 1．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 2．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键．根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【详解】解：由图①的折叠方式可知，， 所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线． 由图③的折叠方式可知，， 所以是的中线． 故选：． 3．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 4．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。若存在两边之和等于或小于第三边，则无法构成三角形；逐一验证各选项是否满足三角形三边关系即可. 【详解】解：选项A：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项B：，，，最长边，，等于第三边，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形；符合题意； 选项C：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项D：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 故选：B 5．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ， ，间的距离可能是． 故选：C． 6．下列长度的三根木棒能围成三角形的是（     ） A．2，1，1 B．2，2，5 C．2，3，5 D．2，3，4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的构成条件，根据三角形较短的两边之和大于较长的第三边逐项判断即可，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故2，1，1不能构成三角形，不符合题意； B、，故2，2，5不能构成三角形，不符合题意； C、，故2，3，5不能构成三角形，不符合题意； D、，故2，3，4能构成三角形，符合题意； 故选：D． 7．将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项符合题意； D、由，此选项不符合题意； 故选：C． 8．下列长度的线段能组成三角形的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了构成三角形的条件；根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．需验证各选项中较小的两边之和是否大于最大边． 【详解】解：A.最大边为，较小两边之和为． ， 不满足三角形三边关系，不能组成三角形． B.最大边为，较小两边之和为． （两边之和等于第三边时无法构成三角形）， 不能组成三角形． C.最大边为，较小两边之和为． ， 不满足三角形三边关系，不能组成三角形． D.最大边为，较小两边之和为． ，且其他两边之和均大于第三边（如，）， 满足三角形三边关系，能组成三角形． 故选：D． 9．若的周长为，则的长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和要大于第三边进行解答即． 【详解】解：∵的周长为，其， ∴， 则四个选项中，只有A选项符合题意． 故选：A． 10．某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点，测得米，米．根据三角形三边关系，之间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7米 C．12米 D．16米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系可得，从而可得答案. 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 故选：D 2、 填空题 11．已知三角形两边的长分别为，第三边的长为整数，则第三边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，结合第三边长为整数解题． 【详解】解：三角形两边的长分别为，令第三边长为， ， ， 第三边的长为整数， ， 即第三边长为． 12．下图（单位：分米）中甲、乙两个三角形面积相差平方分米．则图中最大的直角三角形的一条直角边长为 ． 【答案】分米 【分析】本题考查了直角三角形的面积，根据长方形的面积最大直角三角形的面积甲的面积乙的面积平方分米，求出最大直角三角形的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，长方形的面积最大直角三角形的面积甲的面积乙的面积平方分米， 所以最大直角三角形的面积长方形的面积平方分米， 所以最大的直角三角形的一条直角边长为分米， 故答案为：分米． 13．已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．证明，进一步计算周长差即可. 【详解】解：如图：   是的中线， ， ∵与的周长分别为，， ①， ②， 得：， 故答案为：9． 14．已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 15．如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线平分三角形的面积，掌握这一性质是解题的关键．连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解∶连接， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴， ， ， ， ，得 ， ∴ ． 故答案为；16． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$