专题01：解一元二次方程（易错专项训练）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

专题01：解一元二次方程（易错专项训练） 【思维导图+核心考点+例题讲解+考点练习】 思维导图 核心考点 一、直接开平方法 1.适用形式：方程可化为的形式（其中、为常数）。 2.解题步骤： （1）若，则，解得，（两个不相等实根）； （2）若，则，解得（两个相等实根）； （3）若，方程无实数根（因为平方数非负）。 3.示例：解方程 解：开平方得，，。 4.注意：开平方时不要漏写“”，否则会漏根。 二、配方法 1.适用范围：所有一元二次方程（万能方法，但步骤较繁琐，常用于二次函数配方或推导公式法）。 2.解题步骤（以为例，）： （1）化1：二次项系数化为1，方程两边同除以，得； （2）移项：把常数项移到右边，得； （3）配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，得，左边化为完全平方：； （4）开平方：若右边非负（即），则开平方得，解得（即求根公式）。 3.示例：用配方法解方程 解：①化1：； ②移项：； ③配方：，即； ④开平方：，，。 4.注意： （1）二次项系数不为1时，必须先除以系数，否则配方错误； （2）配方时两边需同时加“一次项系数一半的平方”，保持等式平衡。 三、公式法 1.理论依据：由配方法推导得出，适用于所有一元二次方程（“万能公式”）。 2.求根公式：对于（），若，则方程的根为： 其中，称为根的判别式。 3.判别式与根的关系： （1）：方程有两个不相等的实数根； （2）：方程有两个相等的实数根（）； （3）：方程无实数根。 4.解题步骤： （1）化为一般形式，确定、、的值（注意符号！）； （2）计算，判断根的情况； （3）若，代入求根公式求解；若，直接写“无实数根”。 5.示例：用公式法解方程 解：，，，， ，，。 6.注意： （1）、、的符号易出错（如方程中，）； （2）时，方程无实根，无需代入公式。 四、因式分解法 1.核心思想：若，则或（“降次”思想，将二次方程化为一次方程）。 2.适用条件：方程左边能分解为两个一次因式的乘积，右边为0，即。 3.常见因式分解类型： （1）提公因式法：如，分解为，得，； （2）平方差公式：如，分解为，得，； （3）完全平方公式：如，分解为，得； （4）十字相乘法（重点）：如，分解为，得，（适用于二次项系数为1的方程，需找到、使，）。 4.解题步骤： （1）移项：将方程化为右边为0的形式（）； （2）因式分解：将左边分解为两个一次因式的乘积； （3）转化为两个一元一次方程求解：或，得根。 5.注意： （1）必须先将方程化为“右边=0”，否则易出错（如不能直接令或）； （2）因式分解要彻底（如需先提公因式）。 解一元二次方程的一般思路 1.优先考虑因式分解法：若方程能快速因式分解（如十字相乘法、提公因式），优先选用（计算简便）； 2.其次考虑直接开平方法：若方程形如，直接开平方； 3.再次考虑配方法：适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程（或需配方的场景，如二次函数顶点式）； 4.最后用公式法：以上方法均不适用时，用公式法（万能但计算量大）。 易错点与注意事项 1.漏根：用因式分解法时，忽略“0根”（如移项得，分解为，根为0和2，易漏0）； 2.符号错误：公式法中代入、、时符号错误（如方程中，，，）； 3.配方失误：二次项系数不为1时未先除以系数（如配方，需先化为）； 4.忽略Δ的判断：用公式法前未算Δ，导致无解时仍代入公式。 例题讲解 例题一：直接开平方法解一元二次方程 【例题1】方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：， ∴． 故答案为：C． 【分析】直接开平方解方程即可求出答案. 【例题2】方程的解是　 　． 【答案】， 【解析】【解答】解：两边直接开平方得：x-1=±5， 则x-1=5，x-1=-5， 解得：x1=6，x2=-4， 故答案为：x1=6，x2=-4． 【分析】首先两边直接开平方可得x-1=±5，再解一元一次方程即可． 【例题3】请你用直接开平方法解方程：． 【答案】解：， ， 则，． 【解析】【分析】根据题意，利用直接开平方法解方程即可。 例题二：配方法解一元二次方程 【例题1】用配方法解方程时，应将其变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤"首先将常数项移到等号的右侧，当二次项系数为1时，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式"即可求解． 【例题2】用配方法解方程时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式． 【答案】9 【解析】【解答】解：x2﹣6x+32=2+32， （x﹣3）2=11． 故答案为：9 【分析】根据方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可求出答案. 【例题3】把方程化成的形式，则m的值是　 　． 【答案】11 【解析】【解答】解： ． ∴． 故答案为：11． 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【例题4】解方程： （1） （2） 【答案】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 【解析】【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可. 例题三：公式法解一元二次方程 【例题1】 是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】A、 的解为 ，不符合题意； B、 的解为 ，不符合题意； C、 的解为 ，符合题意； D、 的解为 ，不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据一元二次方程的求根公式即可判断结论。 【例题2】用公式法解方程 所得的解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解： ， 这里a=1，b=-6，c=1， ∵△=36-4=32＞0， ∴x= = . 故答案为：D. 【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解. 【例题3】方程x2﹣3x＝4的根是　 　. 【答案】x1=4 x2=-1 【解析】【解答】解： ， △= ， ， . 故答案为： ， . 【分析】首先将方程整理成一般形式，找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，求出判别式的值，由判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，然后结合求根公式进行计算. 【例题4】用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， ， ， ∴，，， ∴， ∴， ，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ， ，． 【解析】【分析】（1）先将原方程整理成一般形式，然后利用”公式法“解一元二次方程即可求解； （2）直接利用”公式法“解一元二次方程即可求解. 例题四：因式分解法解一元二次方程 【例题1】方程的解是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】【解答】解：移项，得，则， ∴或， ∴，， 故答案为：C． 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【例题2】一元二次方程的解是　 　. 【答案】x1=-1，x2=2 【解析】【解答】解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0， 分解因式得：（x+1）（x-2）=0， 可得x+1=0或x-2=0， 解得：x1=-1，x2=2. 故答案为：x1=-1，x2=2. 【分析】观察方程的特点：方程两边含有公因式（x+1），因此先移项，再利用因式分解法解方程. 【例题3】关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：因为 的一个根是2，将x=2代入方程，可得a=8， 所以一元二次方程为， 方程配方可得：（x-2）（x+4）=0， 故方程的两个根为2、-4， 故答案为：-4. 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的根，先根据已知的一个根求出a=8，再使用配方法求出另一个根即可. 【例题4】解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）解：∵，∴， ∴或， ∴， （2）解：∵，∴， ∴， ∴或， ∴， 【解析】【分析】（1）运用因式分解法接一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 考点练习 一、直接开平方法解一元二次方程 1．一元二次方程 的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：x2=9， x=±3， 所以x1=3，x2=-3. 故答案为：C. 【分析】利用直接开平方法解方程即可. 2．方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：，解得x= . 故答案为：D. 【分析】根据直接开平方的方法直接求解一元二次方程；一个数开平方后，结果有正负两个结果，且互为相反数. 3．方程 的解是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为： 【分析】由于方程的左边是一个完全平方式，故可以利用直接开平方求解. 4．解方程： （1） （2） 【答案】（1）解： 方程两边直接开平方得，1+x=±1.2 所以，1+x=1.2，1+x=-1.2 解得， ， ； （2）解： 方程两边直接开平方得，2x+1=±(3x-1) 所以，2x+1=3x-1，2x+1=-3x+1 解得， ， 【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，直接运用开平方法求解方程即可； （2）根据平方根的定义，直接运用开平方法求解方程即可. 二、配方法解一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程时，方程两边都加上（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解： ， ， ， 故D正确，A、B、C错误. 故答案为：D. 【分析】配方法解一元二次方程，当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方。 2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：， ， ， 则， 即， 故答案为：A. 【分析】将方程变形为x2-x=，给两边同时加上，然后将左边的式子利用完全平方公式分解即可. 3．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵方程， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴9-q=7， 解得：q=2， ∵方程 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【分析】掌握配方法解题的步骤是关键，先求出q=2，再求出，最后配方求解即可。 4．把一元二次方程化成的形式，则的值为　 　． 【答案】9 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）可得，即，再利用待定系数法可得，，最后将其代入计算即可. 5．解方程： （1） （2）． 【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】（1）二次项系数为1，且一次项系数能被2整除，所以此题适合利用配方法求解，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可； （2）把（x+1）看成一个整体，二次项系数为1，且一次项系数能被2整除，所以此题适合利用配方法求解，在方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可. 三、公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（　　） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．1，， 【答案】C 【解析】【解答】解：， ， ， 故答案为：C 【分析】将方程转换为一般式，再根据公式法即可求出答案. 2．方程 的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； 故答案为：D. 【分析】先确定a、b、c的值，求出△的符号，利用公式法即可得到方程的解. 3．一元二次方程 的根为　 　． 【答案】 【解析】【解答】a=1，b=−3，c=1， ∵△=9−4=5， ∴ 故答案为 【分析】利用公式法求解即可。 4．解一元二次方程： （1）x2﹣5x﹣ ＝0； （2）3x2﹣4 x+1＝0． 【答案】（1）解：x2﹣5x﹣ ＝0， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：3x2﹣4 x+1＝0， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可。 四、因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：， ， 或， 即. 故答案为：C. 【分析】对原方程因式分解可得x(x-2)=0，据此求解. 2．关于x的一元二次方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】【解答】解：， ， ，， ，． 故答案为：C． 【分析】题干给出的方程是一元二次方程的一般形式，方程左边用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程可求出原方程的解. 3．一元二次方程 的根是（　　） A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2 【答案】D 【解析】【解答】 解： ， 故答案为：D. 【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，即可求出原方程的根. 4．方程3x2+6x＝0的解是　 　. 【答案】x1＝0，x2＝﹣2 【解析】【解答】解：3x2+6x＝0， 3x（x+2）＝0， 3x＝0或x+2＝0. ∴x1＝0，x2＝﹣2. 故答案是：x1＝0，x2＝﹣2. 【分析】将方程的左边利用提公因式法分解因式，然后根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，求解即可得出原方程的解. 5．方程 的解是　 　． 【答案】x1=3，x2=-1 【解析】【解答】 ， （x-3）（x+1）=0， ∴x1=3，x2=-1， 故答案为：x1=3，x2=-1. 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可。 6．用因式分解法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）解： 去括号合并同类项，， 对方程因式分解：， 故或， 解得：， （2）解： 对方程因式分解：， 故或， 解得：， 【解析】【分析】（1）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可； （2）利用十字相乘法的计算方法求解一元二次方程即可。 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01：解一元二次方程（易错专项训练） 【思维导图+核心考点+例题讲解+考点练习】 思维导图 核心考点 一、直接开平方法 1.适用形式：方程可化为的形式（其中、为常数）。 2.解题步骤： （1）若，则，解得，（两个不相等实根）； （2）若，则，解得（两个相等实根）； （3）若，方程无实数根（因为平方数非负）。 3.示例：解方程 解：开平方得，，。 4.注意：开平方时不要漏写“”，否则会漏根。 二、配方法 1.适用范围：所有一元二次方程（万能方法，但步骤较繁琐，常用于二次函数配方或推导公式法）。 2.解题步骤（以为例，）： （1）化1：二次项系数化为1，方程两边同除以，得； （2）移项：把常数项移到右边，得； （3）配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，得，左边化为完全平方：； （4）开平方：若右边非负（即），则开平方得，解得（即求根公式）。 3.示例：用配方法解方程 解：①化1：； ②移项：； ③配方：，即； ④开平方：，，。 4.注意： （1）二次项系数不为1时，必须先除以系数，否则配方错误； （2）配方时两边需同时加“一次项系数一半的平方”，保持等式平衡。 三、公式法 1.理论依据：由配方法推导得出，适用于所有一元二次方程（“万能公式”）。 2.求根公式：对于（），若，则方程的根为： 其中，称为根的判别式。 3.判别式与根的关系： （1）：方程有两个不相等的实数根； （2）：方程有两个相等的实数根（）； （3）：方程无实数根。 4.解题步骤： （1）化为一般形式，确定、、的值（注意符号！）； （2）计算，判断根的情况； （3）若，代入求根公式求解；若，直接写“无实数根”。 5.示例：用公式法解方程 解：，，，， ，，。 6.注意： （1）、、的符号易出错（如方程中，）； （2）时，方程无实根，无需代入公式。 四、因式分解法 1.核心思想：若，则或（“降次”思想，将二次方程化为一次方程）。 2.适用条件：方程左边能分解为两个一次因式的乘积，右边为0，即。 3.常见因式分解类型： （1）提公因式法：如，分解为，得，； （2）平方差公式：如，分解为，得，； （3）完全平方公式：如，分解为，得； （4）十字相乘法（重点）：如，分解为，得，（适用于二次项系数为1的方程，需找到、使，）。 4.解题步骤： （1）移项：将方程化为右边为0的形式（）； （2）因式分解：将左边分解为两个一次因式的乘积； （3）转化为两个一元一次方程求解：或，得根。 5.注意： （1）必须先将方程化为“右边=0”，否则易出错（如不能直接令或）； （2）因式分解要彻底（如需先提公因式）。 解一元二次方程的一般思路 1.优先考虑因式分解法：若方程能快速因式分解（如十字相乘法、提公因式），优先选用（计算简便）； 2.其次考虑直接开平方法：若方程形如，直接开平方； 3.再次考虑配方法：适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程（或需配方的场景，如二次函数顶点式）； 4.最后用公式法：以上方法均不适用时，用公式法（万能但计算量大）。 易错点与注意事项 1.漏根：用因式分解法时，忽略“0根”（如移项得，分解为，根为0和2，易漏0）； 2.符号错误：公式法中代入、、时符号错误（如方程中，，，）； 3.配方失误：二次项系数不为1时未先除以系数（如配方，需先化为）； 4.忽略Δ的判断：用公式法前未算Δ，导致无解时仍代入公式。 例题讲解 例题一：直接开平方法解一元二次方程 【例题1】方程的解为（　　） A． B． C． D． 【例题2】方程的解是　 　． 【例题3】请你用直接开平方法解方程：． 例题二：配方法解一元二次方程 【例题1】用配方法解方程时，应将其变形为（　　） A． B． C． D． 【例题2】用配方法解方程时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式． 【例题3】把方程化成的形式，则m的值是　 　． 【例题4】解方程： （1） （2） 例题三：公式法解一元二次方程 【例题1】 是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【例题2】用公式法解方程 所得的解正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题3】方程x2﹣3x＝4的根是　 　. 【例题4】用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 例题四：因式分解法解一元二次方程 【例题1】方程的解是（　　） A． B． C．或 D． 【例题2】一元二次方程的解是　 　. 【例题3】关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　 　． 【例题4】解下列方程： （1）． （2）． 考点练习 一、直接开平方法解一元二次方程 1．一元二次方程 的解是（　　） A． B． C． D． 2．方程的解为（　　） A． B． C． D． 3．方程 的解是　 　. 4．解方程： （1） （2） 二、配方法解一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程时，方程两边都加上（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成　 　． 4．把一元二次方程化成的形式，则的值为　 　． 5．解方程： （1） （2）． 三、公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（　　） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．1，， 2．方程 的根是（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程 的根为　 　． 4．解一元二次方程： （1）x2﹣5x﹣ ＝0； （2）3x2﹣4 x+1＝0． 四、因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．一元二次方程 的根是（　　） A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2 4．方程3x2+6x＝0的解是　 　. 5．方程 的解是　 　． 6．用因式分解法解下列方程： （1） （2） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$