1.1锐角三角函数 第一课时课件2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数正切的概念、计算及坡度坡角的应用，通过梯子陡度比较、古塔高度测量等情境导入，衔接直角三角形边角关系复习，搭建新旧知识过渡的学习支架。 其亮点在于以合作探究引导学生从梯子陡度比较抽象出正切定义，培养数学眼光，结合自动扶梯、山坡坡度等实例渗透模型意识与应用意识，通过问题链发展推理思维。学生能提升抽象与应用能力，教师可借助结构化资源高效教学。

1 锐角三角函数 第1课时 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 锐角三角函数 1.理解锐角三角函数（正切）的概念. 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算. 3.了解坡度、坡角的概念，了解坡度与正切之间的关系，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 直角三角形 边：勾股定理（a2+b2=c2） 角：两锐角互余 （∠A+∠B=90°） 直角三角形的边角关系 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 情境引入 在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗? 思考：你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗？ 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 情境引入 A 1 小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小， 再往塔的方向前进50m到B处，又测得∠2的大小， B 2 根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？ 本章我们将借助生活中的实例，探索直角三角形的边角关系，并利用三角函数解决生活中的一些简单问题。 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 探究一：正切的定义 梯子是我们日常生活中常见的物体.如图梯子、地面与墙之间形成一个直角三角形，梯子的铅直高度及梯子的水平距离（水平宽度）可以看作是它的直角边，梯子的长可以看作是斜边.梯子与地面的夹角为倾斜角 铅直高度 水平距离 你能比较两个梯子那个更陡吗？你有哪些方法？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 1、倾斜角越大——梯子越陡 梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？ 2、当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡. 3、当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡. 用梯子的顶端放在墙上位置的高低及梯子的底端离墙的远近来判断. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？ 结论：当梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.比值大的梯子陡. 你能设法验证这个结论吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 如图，小明想通过测量 B1C1及AC1 ，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2C2及AC2 ，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？ (1)Rt△AC1B1和Rt△AC2B2有什么关系? (2) 和 有什么关系? ∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2=90°， ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2， ∴ = . B1C1 AC1 B2C2 AC2 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 C2 A B1 C1 B2 B （3）如果任意改变B2在梯子上的位置呢?你有什么想法? ∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变. （4）如果改变∠A 的大小, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变吗? ∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变. 在直角三角形中，当一个锐角的角度不变，这个锐角的对边邻边的比值也会随之确定 归纳 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 探究新知 归纳总结 在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ tanA= 结论：tanA的值越大，梯子越陡. 当锐角A变化时，tanA的值叶随之变化. 思考：梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 探究新知 定义中的几点说明： 1.正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 例1：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? ∵tanα＞tanβ,∴甲梯更陡. 提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 解:甲梯中, 乙梯中, 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 探究新知 探究二：坡度、坡角 如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 100m 60m ┌ α i 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比。 说明：工程上，斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，而坡度是坡角的正切，因此要注意坡度与坡角的区别和联系，显然，坡度越大，坡面越陡. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 例2：如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶ ，若堤高BC＝20 m，则坡面AB的长为（　D　）. D A. 30 m B. 30 m C. 20 m D. 40 m 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，若tan A＝ ， 求AC＝ ⁠. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 2、如图，某人从山脚下的点A走了200 m后到达山顶的点B. 已知点B 到点A的垂直距离是55 m，求山坡的坡度. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 坡度（坡比）： 锐角三角函数 ∠A越大，tanA越大, 梯子越陡 正切的概念概念： ∠A越大，tanA越大,梯子越陡 坡面的铅直高度与水平宽度的比。 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 教科书 第4页 习题1.1 第1、2题 布置作业 探究新知 应用新知 课堂小结 巩固新知 创设情境 再见 $$