2026年中考数学高频考点一轮复习 锐角三角函数

中考数学一轮复习 锐角三角函数 一．选择题（共10小题） 1．（2025•深圳模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m．则这栋楼的高度为（　　）（参考数据：，tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，结果保留整数） A．246m B．250m C．254m D．310m 2．（2025春•肥西县）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．46° 3．（2025春•海淀区校级）春日暖阳，小宇去爬山，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在下山路线有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900．若小宇走平路的速度为73米/分，走上坡路的速度为40米/分，走下坡路的速度为45米/分．小宇从C处出发到达坡顶A后，欣赏风景停留了40分钟，随后一路下坡到山脚另一边的B处，在整个行程中，小宇共耗时（　　）（参考值1.41，1.73，2.24） A．83分钟 B．84分钟 C．123分钟 D．124分钟 4．（2025•广东校级三模）如图1是高铁受电弓装置，它是由两个四连杆BEDC和DFGH（这8根连杆在运动过程中长度保持不变）组成，工作原理是利用“四边形的不稳定性”，图2是受电弓抽象后得到的图形．已知E、A、B是定点，HG＝1cm，HD＝8.2cm，DC＝1.1cm，BC＝4.9cm，HG始终与AB垂直．当DB之间距离最大时，H运动至最高点时，这时测得∠HDC＝117°，∠CBP＝70°，则点G与水平直线AB的距离为（　　）（精确到0.1）．参考数据：sin（70°）≈0.94，cos（70°）≈0.34，sin（43°）≈0.68，cos（43°）≈0.73 A．11.6 B．10.6 C．7.1 D．10.2 5．（2025•洛阳三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为（　　） A．150° B．130° C．120° D．100° 6．（2025•扬州三模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos∠AOB的值是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•翠屏区二模）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为（　　） A．3m B． C． D．6m 8．（2025春•鹿城区校级）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米． A． B． C． D． 9．（2025•漳州模拟）某小区停车场出口处安装了“两段式道闸”，如图1所示，点A是道闸转动的支点，点E是道闸两段的连接点．当车辆经过时，道闸AEF最多只能升到如图2所示位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75），则车辆限高标志牌中适合的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025•信都区二模）如图，已知从点A看点B，仰角为22°，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B位于点A的（　　） A．南偏西68°方向上 B．南偏西22°方向上 C．北偏东22°方向上 D．北偏东68°方向上 二．填空题（共4小题） 11．（2025•椒江区校级模拟）如图，四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，BC＝CD＝3，AC＝8，AB＝x，AD＝y．则xy＝ 　 　 ． 12．（2025春•海淀区校级）在△ABC中，，则BC＝ 　 　 ． 13．（2025•南昌二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，过点A的直线l⊥AB，点P是直线l上一点，连接PB．若△PAB中有一个30°的内角，则点P到直线BC的距离为 　 　 ． 14．（2025•全椒县二模）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，点E在CD上，且EA＝EB，EB⊥BC． （1）若∠AEB＝2α，则∠CAB+∠ACB＝ 　 　 （用含α的式子表示）． （2）若DE：BC：EC＝2：3：5，则tan∠CAB的值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．（2025•西湖区校级三模）某市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中米． （1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号） （2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：1.41，1.73） 16．（2025•樊城区校级模拟）桔槔（gāo）俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，OM＝OA＝3米．当点A位于最高点时，∠BOM＝53°．求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 17．（2025春•溧阳市）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm，双翼的边缘AB＝DE＝56cm，且与闸机箱的夹角∠ABC＝∠DEF＝30°． （1）当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为　 　 cm； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的4倍，120人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约9分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 18．（2025•太康县三模）为保障小区居民安全，王老师所在的小区安装了人脸识别仪，如图，摄像头A视角的仰角、俯角均为13°（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），摄像头高度OA＝150cm．身高189cm的王老师，头部高度为24cm，当他站在点B处时，可以采取下蹲或后退两种方案进行人脸识别．若王老师采用下蹲方案，则至少需要下蹲（下蹲时身体不前倾）6.8cm才能被识别． （1）求OB的长度． （2）若王老师采用后退方案，则从B处至少后退多远，才能被仪器识别？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23） 19．（2025•斗门区校级三模）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30cm，CE＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°，图1中B、E、C三点共线，图2中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 20．（2025•柯城区校级三模）学生到工厂开展实践活动，学习制作机械零件．某零件的截面如图所示，通过测量可知，AB⊥BC，BC＝5cm，，∠C＝45°，∠D＝153°．求该零件的截面面积．（结果精确到0.1cm2，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，， 中考数学一轮复习 锐角三角函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025•深圳模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m．则这栋楼的高度为（　　）（参考数据：，tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，结果保留整数） A．246m B．250m C．254m D．310m 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝100m，再利用锐角三角函数，分别求得BD和CD的长从而可以得到BC的长． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝100m， ∵∠BAD＝36°，∠CAD＝60°， ∴BD＝AD•tan36°≈73m，CD＝AD•tan36°＝100173（m）， ∴BC＝246m． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，准确构造直角三角形． 2．（2025春•肥西县）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．46° 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】B 【分析】取格点E，连接AD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得BD，AD＝2，再证明∠ADB＝90°，进而由锐角三角函数定义证明∠DAB＝∠CDE，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：如图，取格点E，连接AD， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：BD，AD2， ∵∠ADE＝∠BDE＝45°， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，tan∠DAB， 在Rt△CDE中，tan∠CDE， ∴∠DAB＝∠CDE， ∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC， ∴∠AOC＝∠CDE+∠ADC＝∠ADE＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键． 3．（2025春•海淀区校级）春日暖阳，小宇去爬山，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在下山路线有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900．若小宇走平路的速度为73米/分，走上坡路的速度为40米/分，走下坡路的速度为45米/分．小宇从C处出发到达坡顶A后，欣赏风景停留了40分钟，随后一路下坡到山脚另一边的B处，在整个行程中，小宇共耗时（　　）（参考值1.41，1.73，2.24） A．83分钟 B．84分钟 C．123分钟 D．124分钟 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】C 【分析】易得上坡路总长为AN的长度，平路总长为CN的长度，下坡路总长为AB的长度，分别除以相应的速度，加上欣赏风景的时间，即为总耗时． 【解答】解：作AM⊥BC于点M，则∠AMC＝∠AMB＝90°， ∵斜坡AB的坡度为2：1，AB＝900米， ∴AM＝1800米， 由题意得：∠ACB＝30°， ∴CM＝1800米， ∵每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度， ∴DE+GF+AH＝AN，∠ANM＝45°， ∴MN＝AM＝1800米，AN＝1800米， ∴CN＝CM﹣MN＝（18001800）米， ∵每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行， ∴CD+EF+GH＝CN＝（18001800）米， ∴小宇共耗时4018+45+40+20＝123（分）， 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．判断出上坡路线和平路分别为哪条线段的长度是解决本题的关键． 4．（2025•广东校级三模）如图1是高铁受电弓装置，它是由两个四连杆BEDC和DFGH（这8根连杆在运动过程中长度保持不变）组成，工作原理是利用“四边形的不稳定性”，图2是受电弓抽象后得到的图形．已知E、A、B是定点，HG＝1cm，HD＝8.2cm，DC＝1.1cm，BC＝4.9cm，HG始终与AB垂直．当DB之间距离最大时，H运动至最高点时，这时测得∠HDC＝117°，∠CBP＝70°，则点G与水平直线AB的距离为（　　）（精确到0.1）．参考数据：sin（70°）≈0.94，cos（70°）≈0.34，sin（43°）≈0.68，cos（43°）≈0.73 A．11.6 B．10.6 C．7.1 D．10.2 【考点】解直角三角形的应用；三角形的稳定性． 【专题】解直角三角形及其应用；几何直观． 【答案】B 【分析】过D作直线l∥AB，DN⊥AB于N，延长HG交l于M，根据三角形三边关系可以得出当BD最大，B，C，D共线，根据三角形函数的定义求出DN的长，再根据平行线的性质求出∠DHM，再根据三角函数的定义求出HM的长，减去GH的长即为GM的长，所以点G到AB的距离就是GM+DN，由此得解． 【解答】解：过D作直线l∥AB，DN⊥AB于N，延长HG交l于M， ∵BD≤CD+BC， ∴当BD最大时，B，C，D共线， ∴BD＝BC+CD＝6（cm）， ∵∠DBP＝70°， ∴DN＝BDsin70°≈5.64（cm）， ∵DM∥AB， ∴∠MDB＝70°， ∵∠DHC＝117°， ∴∠HDM＝47°， ∵GH⊥AB， ∴GH⊥DM ∴∠DHM＝90°﹣47°＝43°， ∴HM＝DHcos43°≈5.986（cm）， ∴GM＝HM﹣GH≈4.986（cm）， ∴G到AB的距离为：GM+DN＝4.986+5.64＝10.626（cm）≈10.6（cm）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，判断出B，C，D共线是本题解题的关键． 5．（2025•洛阳三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为（　　） A．150° B．130° C．120° D．100° 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】A 【分析】由已知得∠BCD＝90°，即得∠ABC＝∠1+∠BCD＝120°，再根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．∠1＝30°，如图， ∴∠BCD＝90°，∠F1OB＝∠ABC，∠F2OF1＝90°， ∴∠ABC＝∠1+∠BCD＝30°+90°＝120°， ∴∠F1OB＝∠ABC＝120°， ∴∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°． 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2025•扬州三模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos∠AOB的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】连接AD，根据勾股定理求出AD的长度，再证明∠AOB＝∠ADO，最后利用锐角三角函数值求出cos∠AOB的值． 【解答】解：如图，连接AD． ∵OD＝1，OA＝0.8， ∴， ∵∠AOB+∠AOD＝90°，∠AOD+∠ADO＝90°， ∴∠AOB＝∠ADO， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目． 7．（2025•翠屏区二模）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为（　　） A．3m B． C． D．6m 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，根据题意可得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，从而可得∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出AP的长，再在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而求出BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F， 由题意得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN， ∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°， 在Rt△PCE中，PE3（m）， ∴AP＝2PE＝6（m）， 在Rt△PDF中，PF3（m）， ∴BP＝2PF＝6（m）， ∴AB＝BP﹣AP＝（66）m， ∴光斑移动的距离AB为（66）m， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2025春•鹿城区校级）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米． A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】B 【分析】如图，根据矩形的性质得到DE＝CF，得到AE＝DE2（米），求得CF＝2米，得到BF＝4米，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CF， ∵扶梯AD的坡比为1：1， ∴1， ∴AE＝DE2（米）， ∴CF＝2米， ∵滑梯BC的坡比为1：2， ∴， ∴BF＝4米， ∴BC2（米）， 答：滑梯CB的长为2米． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答中涉及勾股定理，理解题意，掌握坡度的含义，熟练运用勾股定理是解题的关键． 9．（2025•漳州模拟）某小区停车场出口处安装了“两段式道闸”，如图1所示，点A是道闸转动的支点，点E是道闸两段的连接点．当车辆经过时，道闸AEF最多只能升到如图2所示位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75），则车辆限高标志牌中适合的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形，在在Rt△AEN中，利用三角函数求出EN的长，即可得到EM的长，得到结果． 【解答】解：过E点作EM⊥BC于M，过A点作AN⊥EM于N点， ∵∠AEF＝143°， ∴∠AEN＝53°， ∴∠EAN＝90°﹣∠AEN＝37°， ∵在Rt△AEN中，AE＝1.2米， ∴EN＝AE•sin∠EAN＝1.2×sin37°≈0.72（米）， ∴EM＝EN+MN＝EN+AB＝0.72+1.2＝1.92（米）， ∴车辆限高的高度为1.92米， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 10．（2025•信都区二模）如图，已知从点A看点B，仰角为22°，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B位于点A的（　　） A．南偏西68°方向上 B．南偏西22°方向上 C．北偏东22°方向上 D．北偏东68°方向上 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；方向角． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】过A作水平方向射线AC，垂直方向射线AD，则∠DAC＝90°，∠BAC＝22°；由此可求得∠DAB，从而可确定点B位于点A的方向． 【解答】解：如图，过A作水平方向射线AC，垂直方向射线AD， 由条件可知∠DAC＝90°，∠BAC＝22°； ∴∠DAB＝68°， ∴点B位于点A的方向为北偏东68°方向上． 故选：D． 【点评】本题考查了仰角与方向角，熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共4小题） 11．（2025•椒江区校级模拟）如图，四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，BC＝CD＝3，AC＝8，AB＝x，AD＝y．则xy＝ 　55　 ． 【考点】解直角三角形． 【专题】三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】55． 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD延长线于点F，证明∠B＝∠CDF＝α，解Rt△BCE得CE＝3sinα，BE＝3cosα，则AE＝x﹣3cosα，由勾股定理得AE2+CE2＝AC2，则（x﹣3cosα）2+（3sinα）2＝82，整理得x2﹣6xcosα＝55①，解Rt△CDF得CF＝3sinα，DF＝3cosα，则AF＝y+3cosα，由勾股定理得AF2+CF2＝AC2，则（y+3cosα）2+（3sinα）2＝82，整理得y2+6ycosα＝55②，由①②得x2﹣6xcosα＝y2+6ycosα，由此得x﹣y＝6cosα，则x2+y2﹣2xy＝36cos2α，再由①+②得x2+y2＝110+36cos2α，进而得110+36cos2α﹣2xy＝36cos2α，由此即可得出xy的值． 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，如图所示： ∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠CDF， 设∠B＝∠CDF＝α， 在Rt△BCE中，∠B＝α，BC＝3， ∴sinα，cosα， ∴CE＝BC•sinα＝3sinα，BE＝BC•cosα＝3cosα， ∵AB＝x， ∴AE＝AB﹣BE＝x﹣3cosα， 在Rt△ACE中，AC＝8， 由勾股定理得：AE2+CE2＝AC2， ∴（x﹣3cosα）2+（3sinα）2＝82， 整理得：x2﹣6xcosα+9（sin2α+cos2α）＝64， ∵sin2α+cos2α＝1， ∴x2﹣6xcosα＝55①， 在Rt△CDF中，∠CDF＝α，CD＝3， ∴sinα，cosα， ∴CF＝CD•sinα＝3sinα，DF＝CD•cosα＝3cosα， ∵AD＝y， ∴AF＝AD+DF＝y+3cosα， 在Rt△ACF中，AC＝8， 由勾股定理得：AF2+CF2＝AC2， ∴（y+3cosα）2+（3sinα）2＝82， 整理得：y2+6ycosα+9（sin2α+cos2α）＝64， ∵sin2α+cos2α＝1， ∴y2+6ycosα＝55②， 由①②得：x2﹣6xcosα＝y2+6ycosα， ∴（x+y）（x﹣y）＝6（x+y）cosα， ∵x+y≠0， ∴x﹣y＝6cosα， ∴（x﹣y）2＝（6cosα）2， ∴x2+y2﹣2xy＝36cos2α， 由①+②得：x2﹣6xcosα+y2+6ycosα＝110， ∴x2+y2＝110+6（x﹣y）cosα＝110+6×6cosα×cosα， ∴x2+y2＝110+36cos2α， ∴110+36cos2α﹣2xy＝36cos2α， ∴xy＝55． 故答案为：55． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 12．（2025春•海淀区校级）在△ABC中，，则BC＝ 　3或1　 ． 【考点】解直角三角形． 【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】3或1． 【分析】依题意有以下两种情况：①当∠C为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，由tanB得BD＝2AD，由勾股定理求出AD＝1，则BD＝2，进而由勾股定理求出CD＝1即可得出BC的长；②当∠C为钝角是，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点E，由tanB得BE＝2AE，由勾股定理求出AE＝1，则BE＝2，再由勾股定理求出CE＝1即可得出BC的长，综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意有以下两种情况： ①当∠C为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示： 在Rt△ABD中，AB，tanB， ∴BD＝2AD， 由勾股定理得：ABAD， ∴AD， ∴AD＝1， ∴BD＝2AD＝2， 在Rt△ACD中，AC，AD＝1， 由勾股定理得：CD1， ∴BC＝BD+CD＝3； ②当∠C为钝角时，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点E，如图2所示： 在Rt△ABE中，AB，tanB， ∴BE＝2AE， 由勾股定理得：ABAE， ∴AE， ∴AE＝1， ∴BE＝2AE＝2， 在Rt△ACE中，AC，AE＝1， 由勾股定理得：CE1， ∴BC＝BE﹣CE＝1， 综上所述：BC的长为3或1． 故答案为：3或1． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理及时解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 13．（2025•南昌二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，过点A的直线l⊥AB，点P是直线l上一点，连接PB．若△PAB中有一个30°的内角，则点P到直线BC的距离为 　0或4或8　 ． 【考点】解直角三角形的应用；点到直线的距离；含30度角的直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】：0或4或8． 【分析】分图1和图2两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）当∠PBA＝30°时，如图1， 当点P在点P处时，过点P1作PE⊥BC于E，过点A作AD⊥PE于D， 则四边形ACED是矩形， ∴DE＝AC＝2， 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4， 在Rt△ABP 中，， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝∠ABC＝30°，⊥AB， ∴∠P1AB＝90°， ∴∠P1AD＝60°， ∴， P1E＝P1D+DE＝4， 当点P在点P2处时，即点P2在BC延长线上时，此时P2到BC的距离为0； （2）当∠APB＝30°时，如图2，当点P在点P3处时，则∠P3BA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠P3BC＝60°+30°＝90°， 在Rt△P3BA中，P3B＝2AB＝8， 当点P在点P4处时，过点P4作P4M⊥BC交BC延长线于M， ∴∠BP3P4＝∠BP4P3＝30°， ∴BP3＝BP4＝8，∠P3BP4＝120°， ∴P4∠BM＝30°， ∴P4MP4B＝4， 故答案为：0或4或8． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识即分类讨论． 14．（2025•全椒县二模）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，点E在CD上，且EA＝EB，EB⊥BC． （1）若∠AEB＝2α，则∠CAB+∠ACB＝ 　α　 （用含α的式子表示）． （2）若DE：BC：EC＝2：3：5，则tan∠CAB的值为 　　 ． 【考点】解直角三角形；相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）α； （2）． 【分析】（1）过点E作EF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，根据EA＝EB得∠AEF＝BEF∠AEB＝α，再根据∠BEF+∠EBF＝90°，∠EBF+∠GBC＝90°得∠GBC＝∠BEF＝α，由此即可得出答案； （2）设DE＝2a，BC＝3a，EC＝5a，由勾股定理得EB＝4a，设AF＝BF＝x，根据平行线分线段成比例定理得，则FG，进而得AG，证明△BCG和△EBF相似得，则CG，然后在Rt△ACG中，根据正切函数的定义即可得出tan∠CAB的值． 【解答】解：（1）过点E作EF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图所示： ∵EA＝EB，∠AEB＝2α， ∴∠AEF＝BEF∠AEB＝α， ∵EF⊥AB， 在Rt△BEF中，∠BEF+∠EBF＝90°， ∴EB⊥BC， ∴∠EBF+∠GBC＝90°， ∴∠GBC＝∠BEF＝α， 故答案为：α； （2）∵DE：BC：EC＝2：3：5， ∴设DE＝2a，BC＝3a，EC＝5a， 在Rt△BEC中，由勾股定理得：EB4a， ∵EA＝EB，EF⊥AB ∴设AF＝BF＝x， ∵DA⊥AB，EF⊥AB，CG⊥AB， ∴DA∥EF∥CG， 根据平行线分线段成比例定理得：， ∴， ∴FG， ∴AG＝AF+FG， ∵CG⊥AB，EF⊥AB， ∴∠G＝∠EFB＝90°， 由（1）可知：∠GBC＝∠BEF， ∴△BCG∽△EBF， ∴， ∴， ∴CG， 在Rt△ACG中，tan∠CAB． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 三．解答题（共6小题） 15．（2025•西湖区校级三模）某市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中米． （1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号） （2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：1.41，1.73） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；模型思想；应用意识． 【答案】（1）180米； （2）约为496米． 【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝3，MC＝60米，可求出AM即可； （2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝100米，可求出DN，进而求出DM和CD即可． 【解答】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知， ∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝60米， （1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝3，MC＝60米， ∴AM＝3MC＝180BN， 答：无人机的飞行高度AM为180米； （2）在Rt△BND中，tan∠BDN，即：tan30°， 解得：DN＝540， ∴DM＝DN+MN＝540+60＝600（米）， ∴CD＝DM﹣MC＝600﹣60496（米）， 答：河流的宽度CD约为496米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 16．（2025•樊城区校级模拟）桔槔（gāo）俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，OM＝OA＝3米．当点A位于最高点时，∠BOM＝53°．求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】点A位于最高点时到地面的距离为4.8米． 【分析】根据题意，结合图形，在Rt△ADO中求出AD，结合已知条件中OM的长，得到结果． 【解答】解：如图2，过A点作AC⊥MN于点C，过O点作OD⊥AC于D点， ∵AC∥OM，∠BOM＝53°， ∴∠A＝∠BOM＝53°， ∵在Rt△ADO中，∠ADO＝90°，AO＝3米， ∴AD＝AO•cos∠A＝3×cos53°≈1.8（米）， ∵四边形ODCM为矩形， ∴DC＝OM＝3米， ∴AC＝AD+DC＝1.8+3＝4.8（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为4.8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 17．（2025春•溧阳市）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm，双翼的边缘AB＝DE＝56cm，且与闸机箱的夹角∠ABC＝∠DEF＝30°． （1）当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为　66　 cm； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的4倍，120人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约9分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【考点】解直角三角形的应用；二元一次方程组的应用；勾股定理的应用；轴对称的性质． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】（1）66； （2）一个智能闸机平均每分钟检票通过40人． 【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△AMB中利用三角函数，求出AM，根据对称性，得到DN，从而得到结果； （2）根据题意，列方程，解方程得到结果． 【解答】解：（1）如图，连接AD，向两侧延长分别交BC，EF于M，N点， ∵在Rt△AMB中，∠AMB＝90°，∠ABM＝30°，AB＝56cm， ∴AM＝AB•sin∠ABM＝56×sin30°＝28（cm）， ∵智能通道闸机的双翼成轴对称， ∴DN＝AM＝28（cm）， ∵AD＝10cm， ∴MN＝AM+AD+DN＝28+10+28＝66（cm）， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为66cm， 故答案为：66； （2）设一个人工检票口每分钟检票通过个x个人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过4x个人， ， 解得x＝10， 经检验x＝10是方程的根， ∴4x＝40， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过40人． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 18．（2025•太康县三模）为保障小区居民安全，王老师所在的小区安装了人脸识别仪，如图，摄像头A视角的仰角、俯角均为13°（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），摄像头高度OA＝150cm．身高189cm的王老师，头部高度为24cm，当他站在点B处时，可以采取下蹲或后退两种方案进行人脸识别．若王老师采用下蹲方案，则至少需要下蹲（下蹲时身体不前倾）6.8cm才能被识别． （1）求OB的长度． （2）若王老师采用后退方案，则从B处至少后退多远，才能被仪器识别？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；视点、视角和盲区． 【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】（1）OB＝140cm； （2）从B处至少后退29.6cm，才能被仪器识别． 【分析】（1）过点B作BD⊥AE于点D，易得四边形AOBD为矩形，求得FD的长度，进而根据13°的正切值求得AD的长即为OB的长度； （2）设王老师后退到点M处正好被仪器识别，作MF⊥AE于点F，求得GF的长度，进而据13°的正切值求得AF的长，减去OB的长度即为后退的距离． 【解答】解：（1）如图1：过点B作BD⊥AE于点D，则∠ADF＝90°， 由题意得：AO⊥BO，AE∥BO， ∴∠AOB＝90°，∠ADB＝90°， ∴四边形AOBD为矩形， ∴AD＝OB，DB＝AO＝150cm， 由题意得：∠FAE＝∠CAE＝13°， ∴DF＝DC＝AD•tan13°， 由题意得：BF＝189﹣6.8＝182.2cm， ∴DF＝BF﹣BD＝32.2cm， ∴AD140（cm）； ∴OB＝140（cm）； （2）如图2：设王老师后退到点M处正好被仪器识别，作MF⊥AE于点F，则∠AFG＝90°，GM＝189cm， 由（1）得：FM＝AO＝150cm， ∴GF＝189﹣150＝39cm， ∵∠GAF＝13°， ∴AF169.6（cm）， ∴OM＝169.6cm， ∴BM＝169.6﹣140＝29.6（cm）． 答：从B处至少后退29.6cm，才能被仪器识别． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．根据DF或FG的长度及13°的正切值求得AD或AF的长度是解决本题的关键． 19．（2025•斗门区校级三模）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30cm，CE＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°，图1中B、E、C三点共线，图2中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别求出两个图形中BC的长度，比较后即可得出答案． 【解答】解：如图1，过点D作DF⊥BE于点F， 由题意知BD＝DE＝30cm， ∴BF＝BDcos∠ABC＝3018（cm）， ∴BE＝2BF＝36cm， 则BC＝BE+CE＝76cm， 如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N， 由题意知四边形DENM是矩形， ∴MN＝DE＝30cm， 在Rt△DBM中，BM＝BDcos∠ABC＝3018（cm），EN＝DM＝BDsin∠ABC＝3024（cm）， 在Rt△CEN中，∵CE＝40cm， ∴由勾股定理可得CN＝32cm， 则BC＝18+30+32＝80（cm）， 答：BC的长度发生了改变，增加了4cm． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 20．（2025•柯城区校级三模）学生到工厂开展实践活动，学习制作机械零件．某零件的截面如图所示，通过测量可知，AB⊥BC，BC＝5cm，，∠C＝45°，∠D＝153°．求该零件的截面面积．（结果精确到0.1cm2，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，， 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，四边形DEBF为矩形，再分别求得矩形DEBF的面积和△AFD的面积和△DEC的面积，最后相加即可得答案． 【解答】解：如下图所示， 作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F， 则四边形DEBF为矩形，∠CDE＝45°，∠ADF＝153°﹣45°﹣90°＝18°， ∵CDcm，∠DCE＝45°， ∴DE＝CE＝2cm， ∵BC＝5cm， ∴BE＝BC﹣CE＝5﹣2＝3（cm）． ∴DF＝BE＝3（cm）， 故AF＝tan∠ADF×DF≈0.32×3＝0.96（cm）． ∴矩形DEBF的面积＝BE×DE＝3×2＝6（cm2）， △AFD的面积1.44（cm2）， △DEC的面积2（cm2）． 故该零件的截面面积为6+1.44+2＝9.44≈9.4cm2． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意及构造出直角三角形是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$