2026年中考数学高频考点一轮复习 相交线与平行线

中考数学一轮复习 相交线与平行线 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•青秀区）如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　） A．97° B．105° C．108° D．111° 2．（2025春•宜兴市）如图，AB∥CD，点E在AB的上方，G，F分别为AB，CD上的点，∠AGE，∠EFC的角平分线交于点H，∠EFD的角平分线与HG的延长线交于点M．下列结论：①HF⊥MF；②∠EFC＝∠E+∠AGE；③∠E＝2∠H；④若∠BGE﹣∠EFD＝∠M，则∠H＝30°．其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．（2025春•南沙区）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠KHD＝86°，点E和点F分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠EFC的度数为（　　） A．34°或94° B．43°或133° C．34°或113° D．43°或94° 4．（2025•介休市一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（　　） A．52° B．60° C．68° D．112° 5．（2025•南平模拟）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G在∠EFD内，若∠AEF＝50°，∠EFG＝30°，则∠GFD的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．（2025•衢州四模）如图，AB∥CD，∠DEF＝110°，则∠A的度数是（　　） A．70° B．80° C．110° D．150° 7．（2025春•郑州）数学老师在黑板上画出如图所示的图形，要求同学们添加一个条件使得AC∥DM，同学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠C＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠C 8．（2025春•洛阳）如图，已知直线AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．40° C．60° D．不能确定 9．（2025•莲湖区一模）如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（　　） A．34° B．56° C．22° D．36° 10．（2025春•渝北区）如图，AB，CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线，FO⊥DO，GO⊥EO，O为垂足，∠AOC＝38°，则∠FOG的度数是（　　） A．160° B．161° C．162° D．151° 二．填空题（共5小题） 11．（2025春•房山区）将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 　 　 °时，DE∥AB． 12．（2025春•辽中区）如图，直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC延长线于点G．点M在线段BC上，点N在线段FG上，且EM平分∠BEN，连接EG，若∠NEG＝∠NGE，∠MEG的度数为 　 　 ． 13．（2025春•黄梅县）如图，两条平行直线EF，GH之间有一点M，点A在直线EF上，连接AM，∠FAM的平分线AB交GH于点B，连接MB，过点M作MN⊥GH交GH于点N，作MI⊥AM交GH于点I，MO平分∠IMN交GH于点O，∠ABM∠OMN． （1）若∠EAM＝42°，则∠FAB＝ 　 　 ； （2）在（1）的条件下，在线段AB上有一个动点Q，当MQ最短时，∠BMQ＝ 　 　 ． 14．（2025春•天山区）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，OF平分∠AOD，且∠BOE＝55°，则∠COF＝ 　 　 °． 15．（2025春•松江区）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2025春•裕华区）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO． （1）如图1，∠CED的度数为 　 　 ； （2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO． 17．（2025春•黄梅县）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，若∠ABC＝140°，∠EDC＝110°，求∠BCD的度数； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，若∠F＝α，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）； （3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值． 18．（2025春•花都区）如图，射线AB平行射线CD，点E、F分别在射线AB、射线CD上，点P是射线CA上的一个动点，点G是射线CD上的一个动点，且∠C＝∠AEF． （1）求证：AC∥EF． （2）如图1，当点P在点A处，点G在点F左侧，若PG平分∠CAE，∠C＝60°，∠GEF＝10°，求∠AGE的度数． （3）如图2，当点P在点A上方，点G沿射线CD从左向右运动时（点G不与点F重合），求∠CPG、∠PGE、∠GEF之间的关系． 19．（2025春•扬州）完成下面的推理说明： 已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD． 求证：AB∥CD． 证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（ 　 　 ）． ∵BE∥CF （已知）， ∴∠1＝∠2（ 　 　 ）． ∴∠BCD（等量代换）． ∴∠ABC＝∠BCD（ 　 　 ）． ∴AB∥CD（ 　 　 ）． 20．（2025春•扬州）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接ME、NE，得到∠MEN，试探究∠MEN与∠AME，∠CNE之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝75°，这时展角∠ABC＝ 　 　 ． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线MF交于P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间t秒（0≤t≤10）的值． 中考数学一轮复习 相交线与平行线 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•青秀区）如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　） A．97° B．105° C．108° D．111° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】C 【分析】根据长方形纸条的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2＝∠EFG，继而求出∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得∠CFE的度数． 【解答】解：如图：延长AE到H，由于纸条是长方形， ∴EH∥GF， ∴∠1＝∠EFG， 由题意可得：∠1＝∠2， ∴∠2＝∠EFG， 又∵∠DEF＝24°， ∴∠2＝∠EFG＝24°，∠FGD＝∠2+∠EFG＝24°+24°＝48°． ∵∠GFC＝180°﹣48°＝132°， ∴∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝132°﹣24°＝108°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了翻折变换，掌握长方形纸条的性质和翻折不变性成为解题的关键． 2．（2025春•宜兴市）如图，AB∥CD，点E在AB的上方，G，F分别为AB，CD上的点，∠AGE，∠EFC的角平分线交于点H，∠EFD的角平分线与HG的延长线交于点M．下列结论：①HF⊥MF；②∠EFC＝∠E+∠AGE；③∠E＝2∠H；④若∠BGE﹣∠EFD＝∠M，则∠H＝30°．其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【考点】平行线的性质；垂线． 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识． 【答案】D 【分析】①根据角平分线定义设∠EGH＝∠AGH＝α，∠EFH＝∠CFH＝β，∠EFM＝∠DFM＝θ，则∠AGE＝2α，∠EFC＝2β，∠EFD＝2θ，∠HFM＝β+θ，根据∠EFC+∠EFD＝180°得β+θ＝90°，则∠HFM＝90°，据此可对结论①进行判断； ②过点E作EK∥AB，则EK∥AB∥CD，进而得∠KEF＝180°﹣2β，∠KEG＝180°﹣2α，则∠FEG＝∠KEG﹣∠KEF＝2β﹣2α，继而得∠FEG+∠AGE＝2β，再根据∠EFC＝2β可对结论②进行判断； ③过点H作HT∥AB，则HT∥AB∥CD，进而得∠THG＝∠AGH＝α，∠THF＝∠CFH＝β，则∠GHF＝β﹣α，由②可知∠FEG＝2β﹣2α，据此可对结论③进行判断； ④过点M作MN∥AB，则AB∥MN∥CD，进而得∠HMN＝∠AGH＝α，∠FMN＝∠DFM＝θ，则∠HMF＝∠HMN+∠FMN＝α+θ，再根据∠BGE＝180°﹣2α，∠EFD＝2θ，∠BGE﹣∠EFD＝∠M得α+θ＝60°，则∠HMF＝60°，根据①可知∠HFM＝90°，则∠H＝30°，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵GH平分∠AGE，FH平分∠EFC，FM平分∠EFD， 设∠EGH＝∠AGH＝α，∠EFH＝∠CFH＝β，∠EFM＝∠DFM＝θ， 则∠AGE＝2α，∠EFC＝2β，∠EFD＝2θ，∠HFM＝∠EFH+∠EFM＝β+θ， ∵点F在直线CD上， ∴∠EFC+∠EFD＝180°， ∴2β+2θ＝180°， ∴β+θ＝90°， ∴∠HFM＝β+θ＝90°， 即HF⊥MF， 故结论①正确，符合题意； ②过点E作EK∥AB，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴EK∥AB∥CD， ∴∠KEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣2β，∠KEG＝180°﹣∠AGE＝180°﹣2α， ∴∠FEG＝∠KEG﹣∠KEF＝180°﹣2α﹣（180°﹣2β）＝2β﹣2α， ∴∠FEG+∠AGE＝2β﹣2α+2α＝2β， 又∵∠EFC＝2β， ∴∠EFC＝∠FEG+∠AGE， ∴结论②正确，符合题意； ③过点H作HT∥AB，如图2所示： ∵AB∥CD， ∴HT∥AB∥CD， ∴∠THG＝∠AGH＝α，∠THF＝∠CFH＝β， ∴∠GHF＝∠THF﹣∠THG＝β﹣α， 由②可知：∠FEG＝2β﹣2α， ∴∠FEG＝2∠GHF， 故结论③正确，符合题意； ④过点M作MN∥AB，如图3所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠HMN＝∠AGH＝α，∠FMN＝∠DFM＝θ， ∴∠HMF＝∠HMN+∠FMN＝α+θ， ∵∠BGE＝180°﹣∠AGE＝180°﹣2α，∠EFD＝2θ， 又∵∠BGE﹣∠EFD＝∠M， ∴180°﹣2α﹣2θ＝α+θ， ∴α+θ＝60°， ∴∠HMF＝α+θ＝60°， 由①可知：∠HFM＝90°， ∴∠H＝180°﹣（∠HFM+∠HMF）＝180°﹣（90°+60°）＝30°， 故结论④不正确，不符合题意． 综上所述：正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． 3．（2025春•南沙区）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠KHD＝86°，点E和点F分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠EFC的度数为（　　） A．34°或94° B．43°或133° C．34°或113° D．43°或94° 【考点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 【专题】线段、角、相交线与平行线；展开与折叠；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】当PK在AD上方时，延长MN、KH，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当PK在AD下方时，延长MN、HK，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可． 【解答】解：当PK在AD上方时，延长MN，KH，二线交于点Q， ∵长方形纸片ABCD， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC， ∴∠EFC＝∠AEF，根据折叠的性质，得∠A＝∠FMN＝∠B＝∠ENM＝∠P＝∠C＝∠D＝∠K＝90°，∠AEF＝∠NEF， ∴∠EFC＝∠AEF＝∠NEF， ∵MN∥PK， ∴∠Q+∠K＝180°， ∴∠Q＝90°， ∴∠Q+∠ENQ＝180°， ∴EN∥QK， ∴∠NEH＝∠QHD， ∵∠KHD＝86°， ∴∠QHD＝94°， ∴∠NEH＝94°， ∴， 当PK在AD下方时，延长MN，HK，二线交于点T， ∵长方形纸片ABCD， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC， ∴∠EFC＝∠AEF，根据折叠的性质，得∠A＝∠FMN＝∠B＝∠ENM＝∠P＝∠C＝∠D＝∠HKP＝90°，∠AEF＝∠NEF， ∴∠EFC＝∠AEF＝∠NEF， ∵MN∥PK， ∴∠T＝∠TKP＝90°， ∴∠T+∠ENT＝180°， ∴EN∥TK， ∴∠NEH＝∠KHD， ∵∠KHD＝86°， ∴∠NEH＝86°， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4．（2025•介休市一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（　　） A．52° B．60° C．68° D．112° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝68°，再由三角形的内角和可求得∠ACB＝60°，再次利用平行线的性质即可求∠MAC的度数． 【解答】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD＝68°， ∴∠ABC＝∠BCD＝68°， ∵∠BAC＝52°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°， ∵AM与CB平行， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 5．（2025•南平模拟）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G在∠EFD内，若∠AEF＝50°，∠EFG＝30°，则∠GFD的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】根据“两直线平行，内错角相等”得∠EFD＝∠AEF＝50°，再根据∠GFD＝∠EFD﹣∠EFG求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∠AEF＝50°， ∴∠EFD＝∠AEF＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EFG＝30°， ∴∠GFD＝∠EFD﹣∠EFG＝50°﹣30°＝20°， 综上所述，只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 6．（2025•衢州四模）如图，AB∥CD，∠DEF＝110°，则∠A的度数是（　　） A．70° B．80° C．110° D．150° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】由AB∥CD，∠DEF＝110°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得答案， 【解答】解：由条件可知∠A＝∠DEF＝110°， 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 7．（2025春•郑州）数学老师在黑板上画出如图所示的图形，要求同学们添加一个条件使得AC∥DM，同学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠C＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠C 【考点】平行线的判定． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【解答】解：根据平行线的判定定理逐项分析判断如下： A、添加∠A＝∠3，则AM∥BF，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意； B、添加∠A+∠C＝180°，则AM∥CD，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意； C、添加∠1＝∠2，则BF∥CE，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意； D、添加∠1＝∠C，则AC∥DM，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 8．（2025春•洛阳）如图，已知直线AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．40° C．60° D．不能确定 【考点】垂线． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】根据题意得到∠AOC＝90°，由此得到∠AOF＝40°，根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：由 条件可得∠AOC＝90°，即∠AOF+∠1＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣∠1＝40°， ∴∠2＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，理解图示，掌握几何中角度的计算是关键． 9．（2025•莲湖区一模）如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（　　） A．34° B．56° C．22° D．36° 【考点】平行线的性质；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质和角平分线的概念得到∠ABH，即可得到∠AHB的值． 【解答】解：∵AD∥BC，∠BAD＝112°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣112°＝68°，∠AHB＝∠CBH， ∵BH平分∠ABC， ∴∠ABH＝∠CBH∠ABC68°＝34°， ∴∠AHB＝∠CBH＝34°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练利用平行线的性质是解题的关键． 10．（2025春•渝北区）如图，AB，CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线，FO⊥DO，GO⊥EO，O为垂足，∠AOC＝38°，则∠FOG的度数是（　　） A．160° B．161° C．162° D．151° 【考点】垂线；角平分线的定义；余角和补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】根据垂直定义可得：∠EOG＝∠DOF＝90°，再根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD＝38°，然后利用角平分线的定义可得：∠DOE＝19°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵FO⊥DO，GO⊥EO， ∴∠EOG＝∠DOF＝90°， ∵∠AOC＝38°， ∴∠AOC＝∠BOD＝38°， ∵OE为∠DOB的平分线， ∴∠DOE∠BOD＝19°， ∴∠FOG＝∠EOD+∠DOF﹣∠DOE＝90°+90°﹣19°＝161°， 故选：B． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角、根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025春•房山区）将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 　30或150　 °时，DE∥AB． 【考点】平行线的判定． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】30或150． 【分析】当DE在AB的左下方时，∠BAD＝∠ADE＝30°时，DE∥AB；当DE在AB的右上方时，当∠BAD+∠D＝180°时，DE∥AB，求出∠BAD＝150°，即可得到答案． 【解答】解：如图，当DE在AB的左下方时， ∠BAD＝∠ADE＝30°时，DE∥AB； 如图，当DE在AB的右上方时， 当∠BAD+∠D＝180°时，DE∥AB， ∵∠D＝30°， ∴∠BAD＝150°， ∴当∠BAD＝30°或150°时，DE∥AB． 故答案为：30或150． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 12．（2025春•辽中区）如图，直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC延长线于点G．点M在线段BC上，点N在线段FG上，且EM平分∠BEN，连接EG，若∠NEG＝∠NGE，∠MEG的度数为 　45°　 ． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】45°． 【分析】设∠MEC＝α，用含α的代数式表示出∠CEG＝∠NEG＝45°﹣α，再由平行线得出∠CEG＝∠NGE，进而即可得证． 【解答】解：∠MEG＝45°，理由如下： 如图，设∠MEC＝α， ∵EM平分∠BEN，∠BEC＝90°， ∴∠BEM＝∠MEN＝90°﹣α， ∴∠CEN＝∠MEN﹣∠MEC＝90°﹣2α， ∵CE FG， ∴∠CEG＝∠NGE， ∵∠NEG＝∠NGE， ∴， ∴∠MEG＝∠MEC+∠CEG＝α+45°﹣α＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性质，合理作出辅助线是解决此题的关键 13．（2025春•黄梅县）如图，两条平行直线EF，GH之间有一点M，点A在直线EF上，连接AM，∠FAM的平分线AB交GH于点B，连接MB，过点M作MN⊥GH交GH于点N，作MI⊥AM交GH于点I，MO平分∠IMN交GH于点O，∠ABM∠OMN． （1）若∠EAM＝42°，则∠FAB＝ 　69°　 ； （2）在（1）的条件下，在线段AB上有一个动点Q，当MQ最短时，∠BMQ＝ 　62°　 ． 【考点】平行线的性质；垂线；垂线段最短． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）69°； （2）62°． 【分析】（1）根据平角定义求得∠FAM＝138°，再根据角平分线的定义求解即可； （2）延长NM交AE于P，根据平行线的性质求得∠MPA＝90°，利用三角形内角和定理求得∠PMA＝48°，从而求得∠NMI＝42°，根据角平分线的定义得，由求得，当MQ最短时，则 MQ⊥AB，则∠AQB＝90°，即可由三角形内角和定理求解． 【解答】解：（1）∵∠EAM＝42°， ∴∠FAM＝180°﹣∠EAM＝180°﹣42°＝138°， ∵AB是∠FAM的平分线， ∴； 故答案为：69°； （2）如图，延长NM交AE于P， ∵MN⊥GH， ∴∠MNB＝90°， ∵EF∥GH， ∴∠MPA+∠MNB＝180°， ∴∠MPA＝90°，∠EAM＝42°，∠PMA＝48°， ∵MI⊥AM， ∴∠AMI＝90°， ∴∠NMI＝180°﹣∠PMA﹣∠AMI＝180°﹣48°﹣90°＝42°， ∵MO平分∠IMN， ∴，， ∴， 当MQ最短时，则MQ⊥AB， ∴∠MQB＝90°， ∴∠BMQ＝180°﹣∠MQB﹣∠ABM＝180°﹣90°﹣28°＝62°， 故答案为：62°． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，与角平分线有关的角的运算，垂线段最短，垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的性质，角平分的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 14．（2025春•天山区）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，OF平分∠AOD，且∠BOE＝55°，则∠COF＝ 　107.5　 °． 【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】107.5． 【分析】根据垂直和角平分线的定义，对顶角相等得到∠AOC＝∠BOD＝35°，∠AOF＝72.5°，由∠COF＝∠AOC+∠AOF即可求解． 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠DOE＝90°＝∠BOD+∠BOE， ∵∠BOE＝55°， ∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝35°， ∴∠AOC＝∠BOD＝35°，∠AOD＝180°﹣∠BOD＝145°， ∵OF平分∠AOD， ∴， ∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝107.5°， 故答案为：107.5． 【点评】本题考查了垂直的定义，角平分的定义，角度和差的计算，理解图示，掌握角度的和差计算是关键． 15．（2025春•松江区）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是 　50°　 ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力． 【答案】50°． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD＝∠D，从而得到∠CAD＝∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠D， ∴∠CAD＝∠D， ∵∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，∠ACD＝80°， ∴80°+∠D+∠D＝180°， 解得∠D＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2025春•裕华区）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO． （1）如图1，∠CED的度数为 　135°　 ； （2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO． 【考点】平行线的判定；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）135°；（2）见详解． 【分析】（1）根据已知得∠DCO+∠CDO＝90°，45°再根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据角平分线定义得45°，然后结合已知可得∠EDF＝∠GED，则答案可证； 【解答】（1）解：∵∠AOB＝90°，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO， ∴∠DCO+∠CDO＝90°，，， ∴， ∴∠CED＝180°﹣∠CDE﹣∠DCE＝135°； 故答案为：135°； （2）证明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO， ∴，． ∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠DCE+∠EDF＝45°， ∵∠CFO＝∠DCF+∠CDO＝∠DCF+2∠EDF＝∠EDF+45°， ∴∠EDF＝∠CFO﹣45°． ∵∠CFO﹣∠GED＝45°， ∴∠GED＝∠CFO﹣45°， ∴∠EDF＝∠GED， ∴GE∥DO． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，内错角相等两直线平行，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 17．（2025春•黄梅县）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，若∠ABC＝140°，∠EDC＝110°，求∠BCD的度数； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，若∠F＝α，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）； （3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值． 【考点】平行线的性质；列代数式；角平分线的定义；垂线． 【专题】整式；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）30°； （2）90°+α； （3）∠BGD﹣∠CGF＝45°． 【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠BCM＝∠ABC＝140°，再由平行线的性质得∠DCM＝∠EDC＝110°，由∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM可求得； （2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°； （3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分线的定义得，可得，结合（2）即可求解． 【解答】解：（1）过点C作CM∥AB，如图1， ∴∠BCM＝∠ABC＝140°， ∵AB∥DE， ∴CM∥DE， ∴∠DCM＝∠EDC＝110°， ∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM， ∴∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM＝140°﹣110°＝30°； （2）∠ABC﹣α＝90°，理由：过点C作CN∥AB，如图， ∴∠ABC＝∠BCN， ∵AB∥DE， ∴CN∥EF， ∴∠F＝∠FCN， ∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN， ∴∠ABC＝∠BCF+∠F， ∵CF⊥BC， ∴∠BCF＝90°， ∴∠ABC＝90°+α； （3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3， ∴∠BGD＝∠CGQ， ∵AB∥DE， ∴∠ABH＝∠EQG， ∵GP∥EF， ∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF， ∴∠PGQ＝∠ABH， ∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ． ∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF， ∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，BH平分∠ABC，FG平分∠CFD， ∴∠ABH＝∠ABC，．， 由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°， ∴，即∠BGD﹣∠CGF＝45°． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． 18．（2025春•花都区）如图，射线AB平行射线CD，点E、F分别在射线AB、射线CD上，点P是射线CA上的一个动点，点G是射线CD上的一个动点，且∠C＝∠AEF． （1）求证：AC∥EF． （2）如图1，当点P在点A处，点G在点F左侧，若PG平分∠CAE，∠C＝60°，∠GEF＝10°，求∠AGE的度数． （3）如图2，当点P在点A上方，点G沿射线CD从左向右运动时（点G不与点F重合），求∠CPG、∠PGE、∠GEF之间的关系． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）见解答； （2）70°； （3）∠PGE＝∠CPG+∠GEF或∠PGE＝∠CPG﹣∠GEF或∠PGE＝∠GEF﹣∠CPG． 【分析】（1）利用AB∥CD得角的关系，结合∠C＝∠AEF，通过同旁内角互补（方法一）或内错角相等（方法二），判定AC∥EF． （2）先由AB∥CD和∠C度数求∠CAE，再依据角平分线得∠GAE，结合∠AEF与∠GEF求∠AEG，最后用三角形内角和算∠AGE；或作GQ∥AC，利用平行线传递性及角的传递，结合角平分线求出∠AGE． （3）作GQ∥AC，根据AC∥EF得GQ∥EF，利用平行线性质得到角的等量关系，再分点G在F左侧、右侧（PG与EF有交点、无交点）三种情况，推导∠CPG、∠PGE、∠GEF 的关系． 【解答】解：（1）方法一：∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAE＝180°， ∵∠C＝∠AEF， ∴∠CAE+∠AEF＝180°， ∴AC∥EF； 方法二：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠MAE， ∵∠C＝∠AEF， ∴∠MAE＝∠AEF， ∴AC∥EF； （2）方法一：∵AB∥CD，∠C＝60°， ∴∠CAE＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°， ∵PG平分∠CAE， ∴， ∵∠AEF＝∠C＝60°， ∴∠AEG＝∠AEF﹣∠GEF＝60°﹣10°＝50°， ∴在△AGE中，∠AGE＝180°﹣∠GAE﹣∠AEG＝180°﹣60°﹣50°＝70°； 方法二：过点G作GQ∥AC， ∵AC∥EF， ∴GQ∥EF， ∴∠CAG＝∠AGQ，∠QGE＝∠GEF＝10°， ∵AB∥CD，∠C＝60°， ∴∠CAE＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°， ∵PG平分∠CAE， ∴， ∴∠AGE＝∠AGQ+∠QGE＝∠CAG+∠GEF＝60°+10°＝70°； （3）过点G作GQ∥AC， ∵AC∥EF， ∴GQ∥EF， ∴∠CPG＝∠PGQ，∠QGE＝∠GEF， 当点G在点F左侧时， ∠PGE＝∠PGQ+∠QGE＝∠CPG+∠GEF； 当点G在点F右侧，且PG与EF有交点时， ∠PGE＝∠PGQ﹣∠EGQ＝∠CPG﹣∠GEF； 当点G在点F右侧，且PG与EF无交点时， ∠PGE＝∠EGQ﹣∠PGQ＝∠GEF﹣∠CPG； 综上：∠PGE＝∠CPG+∠GEF或∠PGE＝∠CPG﹣∠GEF或∠PGE＝∠GEF﹣∠CPG． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是利用平行线的性质及判定，结合角平分线等知识进行角的推导与关系探究． 19．（2025春•扬州）完成下面的推理说明： 已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD． 求证：AB∥CD． 证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（ 　角平分线的定义　 ）． ∵BE∥CF （已知）， ∴∠1＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠BCD（等量代换）． ∴∠ABC＝∠BCD（ 　等式的性质　 ）． ∴AB∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】①角平分线的定义②两直线平行，内错角相等． ③等式的性质④内错角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2，根据角平分线的定义可得∠ABC＝∠BCD，再根据平行线的判定即可得出AB∥CD． 【解答】证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（角平分线的定义） ∵BE∥CF （已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等 ）． ∴∠BCD（等量代换）． ∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质 ）． ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行 ）． 【点评】本题考查的是平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系． 20．（2025春•扬州）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接ME、NE，得到∠MEN，试探究∠MEN与∠AME，∠CNE之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝75°，这时展角∠ABC＝ 　165°　 ． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线MF交于P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间t秒（0≤t≤10）的值． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∠MEN＝∠AME+∠CNE，理由见解答； （2）165°； （3）运动时间t秒为3或9． 【分析】（1）如图，过E点作EF∥AB，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长BC，FE相交于点P，过P作PQ∥AB，易得AB∥GH∥PQ则∠QPF＝∠EFH＝75°，∠ABC+∠BPQ＝180°，由垂直的定义可得∠BPF＝90°，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【解答】解：（1）∠MEN＝∠AME+∠CNE，理由如下： 如图，过E点作EF∥|AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF， ∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF＝∠AME+∠CNE． （2）如图：延长BC，FE相交于点P，过P作PQ∥AB， ∵AB∥GH， ∴AB∥GH∥PQ， ∴∠QPF＝∠EFH＝75°，∠ABC+∠BPQ＝180°， ∵BC⊥EF， ∴∠BPF＝90°， ∴∠BPQ＝90°﹣∠QPF＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BPQ＝180°﹣15°＝165°； 故答案为：165°； （3）将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合， 根据题意得，∠DME1＝10°t，∠DNF＝25°t， ∴∠FNE1＝∠DNF﹣∠DME1＝15°t， 由题意可得：∠FNE1＝45°， ∴15°t＝45°， 解得：t＝3； 根据题意得，∠DNM1＝10°t，∠CNE1＝25°t﹣180°， 由题意可得：∠M1NE＝45°， ∴∠CNE1+∠M1NE＝∠DNM1， ∴25°t﹣180°+45°＝10°t， 解得：t＝9； 根据题意得，∠DNM1＝10°t，∠CNE1＝360°﹣25°t， 由题意可得：∠N1NE1＝45°， ∴∠N1NE＝∠DNN1﹣∠DNE1， ∴45°＝180°﹣10°t﹣（360°﹣25°t）， 解得：t＝15＞10（不符合题意）； 综上所述，运动时间t秒为3或9． 【点评】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$