2026年中考数学高频考点一轮复习 图形的旋转

中考数学一轮复习 图形的旋转 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•昌平区）福字纹样以“福”字为核心，常通过变形、组合等手法，融入祥云、蝙蝠、牡丹等吉祥元素，造型丰富多变，寓意福气盈门、幸福美满，是传统吉祥文化的生动载体．下列福字纹样是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•扬州）如图，△ABC顺时针旋转到△A'B'C'的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点A′，∠C′A′B′ B．点O，∠AOA′ C．点A′，∠A′OB D．点O，∠AOC 3．（2025春•邗江区）如图△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△AB′C′，边AB′与BC交于点D，∠B′＝28°，则∠ADC的度数是（　　） A．78° B．70° C．85° D．80° 4．（2025•富锦市二模）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Pʹ的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 5．（2025春•青秀区）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　） A．BC的中点 B．FC的中点 C．点C D．点D 6．（2025春•苏州）如图，△ABC中，∠B＝25°，将△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，BA延长线交DE于点F，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACE B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 7．（2025春•吴兴区）如图，已知四边形纸片ABCD，E，F，G，H是四条边上的中点，连结EG，分别过点H，F作HI⊥EG于点I，FJ⊥EG于点J，沿EG，HI，FJ将四边形纸片ABCD剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片ILMN（①沿BD方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转180°）．若EJ＝5cm，JG＝2cm，FJ＝3cm，则四边形ILMN的周长是（　　） A．24cm B．26cm C． D．28cm 8．（2025春•睢宁县）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（　　） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．旋转、平移 9．（2025•西湖区三模）如图，正方形ABCD中，边长为1，将边BC绕点B逆时针旋转至BE，连接CE、DE，若∠CED＝90°，则△BCE的面积是（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•泰州）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E．当点C，D，E恰好在同一条直线上时，设∠BCD＝α，则旋转角等于（　　） A． B． C．α D．180°﹣α 二．填空题（共5小题） 11．（2025春•普陀区）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝42°，将△ABC绕点B旋转得△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，线段BE交边AC于点F，连接CE、AD，如果△CEF是等腰三角形，那么∠ADE的度数是 　 　 ． 12．（2025春•杨浦区）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点A旋转α（0＜α＜180）度后，点B所对应的点D在边BC上，如果AD平分∠BAC，那么α＝　 　 度． 13．（2025春•建邺区）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为 　 　 ． 14．（2025•越秀区三模）如图，在△ABC中，，∠BAC＝45°，∠ACB＝60°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段BC中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1的最大值是 　 　 ，最小值是 　 　 ． 15．（2025春•柴桑区）已知两块相同的三角板如图摆放，点B，C，E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠D＝∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°）当旋转角为 　 　 时，DE与△ABC的边垂直． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•东胜区二模）【问题情境】 如图，在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG探究旋转的性质，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转，其中AB＝AE＝6，AD＝AG＝8． 【初步探究】 （1）如图1，连接BE，DG，在矩形纸片AEFG旋转的过程中，求的值； 【问题解决】 （2）如图2，连接BD，当点E恰好落在BD上，延长FE与交BC于点M，连接AM，交BD于点H． ①求证：AM垂直平分BE； ②如图3，取GD中点N，连接AN，HN，求线段HN的长． 17．（2025•永川区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，连接AD，E为边BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF． （1）如图1，当E在线段BD上时，若，求BF的长； （2）如图2，当E在线段CD上时（点E不与C，D重合），连接CF交AD于点G，求证：BE＝2AG； （3）在（2）的条件下，将△CAE沿AE所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△C′AE，连接C′D，C′F，C′F与BC交于点P，当C′D取得最小值时，直接写出的值． 18．（2025春•宜兴市）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少旋转 　 　 °，才能使OB落在OC上； （2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠COA'时，∠AOA'为多少度？ （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，AB所在直线与CD所在直线平行或垂直？ 19．（2025春•青岛）如图，在Rt△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PD⊥AB，交AC于点D，点D关于AB的对称点为E，连接PE，BE，PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题： （1）BP的长为　 　 cm；（用含t的代数式表示） （2）当点B在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BE∥AC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）设点P到BC的距离为y（cm），求y与t之间的关系式． 20．（2025春•蓝田县）【思路梳理】 （1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D是边AC上的动点，连接BD，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E．若BE⊥BC，CD＝2，求线段BE的长； 【操作发现】 （2）如图2，学校劳动实践基地里，有一块等边三角形的小菜园ABC，同学们开展“创意种植分区”活动，小萱打算利用对称，设计特色种植区：在边AC上选一个点D，连接BD，将△BCD沿着BD对称，这就划分出一个“对称特色区”△BDE，点C的对应点为点E，连接AE，在点E处修建一个储水池，AD与BE相交于点N，小萱在AN边合适位置修建工具站F，连接EF，现要沿AN，ED修建两条运输通道，沿ND修建一条灌溉水渠，实际施工测量时，发现DE所在直线与BC垂直，且∠EFN＝30°，现要判断线段AN，ED，ND之间的数量关系，请你帮忙判断并说明理由． 中考数学一轮复习 图形的旋转 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•昌平区）福字纹样以“福”字为核心，常通过变形、组合等手法，融入祥云、蝙蝠、牡丹等吉祥元素，造型丰富多变，寓意福气盈门、幸福美满，是传统吉祥文化的生动载体．下列福字纹样是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（2025春•扬州）如图，△ABC顺时针旋转到△A'B'C'的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点A′，∠C′A′B′ B．点O，∠AOA′ C．点A′，∠A′OB D．点O，∠AOC 【考点】旋转的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【解答】解：由题给图形得：△ABC绕着点O顺时针旋转到△A′B′C′的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和∠AOA′． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是关键． 3．（2025春•邗江区）如图△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△AB′C′，边AB′与BC交于点D，∠B′＝28°，则∠ADC的度数是（　　） A．78° B．70° C．85° D．80° 【考点】旋转的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】A 【分析】先根据旋转的性质得到∠B＝∠B′＝28°，∠BAB′＝50°，然后根据三角形外角性质计算∠ADC的度数． 【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△AB′C′， ∴∠B＝∠B′＝28°，∠BAB′＝50°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAB′＝28°+50°＝78°． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 4．（2025•富锦市二模）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Pʹ的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 【考点】坐标与图形变化﹣旋转． 【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称． 【答案】A 【分析】首先过P作PC⊥y轴于C，过P′作P′D⊥y轴于D，然后证明△PC0≌△P′DO，可得P′D＝PC＝2，OD＝C0＝3，进而可得答案． 【解答】解：过P作PC⊥y轴于C，过P′作P′D⊥y轴于D． ∵∠POP′＝90°，∠COD＝90°， ∴∠POC+∠P′OC＝90°，∠P′OD+∠P′OC＝90°， ∴∠POC＝∠P′OD， ∵∠PCO＝∠P′DO＝90°，OP＝OP′， 在△PCO和△P′DO中， ， ∴△PC0≌△P′DO（AAS）， ∴P′D＝PC＝2，OD＝C0＝3， ∴P′的坐标是（3，2）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等． 5．（2025春•青秀区）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　） A．BC的中点 B．FC的中点 C．点C D．点D 【考点】中心对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段BE中点或线段FC中点，进而得出答案． 【解答】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段FC的中点． 故选：B． 【点评】此题主要考查了对称中心的确定方法，根据其定义得出是解题关键． 6．（2025春•苏州）如图，△ABC中，∠B＝25°，将△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，BA延长线交DE于点F，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACE B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 【考点】旋转的性质；平行线的判定． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】D 【分析】BF交CE于O点，如图，根据旋转的性质得到∠ACB＝∠DCE，则可对A选项进行判断；根据旋转的性质得到∠BCE＝65°，∠E＝∠B＝25°，由于∠ACE不能确定为25°，则不能判定AC∥DE，从而可对B选项进行判断；根据旋转的性质得到AB＝DE，则可对C选项进行判断；根据三角形内角和定理可计算出∠BOC＝90°，从而可对D选项进行判断． 【解答】解：BF交CE于O点，如图， ∵△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE，所以A选项不符合题意； ∠BCE＝65°，∠E＝∠B＝25°， ∵∠ACE不能确定为25°， ∴不能判定AC∥DE，所以B选项不符合题意； ∵△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC， ∴AB＝DE，所以C选项不符合题意； ∵∠B＝25°，∠BCO＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣25°﹣65°＝90°， ∴BF⊥CE，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的判定． 7．（2025春•吴兴区）如图，已知四边形纸片ABCD，E，F，G，H是四条边上的中点，连结EG，分别过点H，F作HI⊥EG于点I，FJ⊥EG于点J，沿EG，HI，FJ将四边形纸片ABCD剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片ILMN（①沿BD方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转180°）．若EJ＝5cm，JG＝2cm，FJ＝3cm，则四边形ILMN的周长是（　　） A．24cm B．26cm C． D．28cm 【考点】旋转的性质；勾股定理；中点四边形；图形的剪拼；平移的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】由题可知FJ＝PM＝PL＝3cm，JG＝JL＝2cm，MQ＝EJ＝5cm，JI＝x cm，则NQ＝EI＝EJ﹣JI＝（5﹣x）cm，据此求解即可． 【解答】解：如图， 由题可知FJ＝PM＝PL＝3cm，JG＝JL＝2cm，MQ＝EJ＝5cm， 设JI＝x cm，则EI＝EJ﹣JI＝（5﹣x）cm， ∴NQ＝EI＝（5﹣x）cm， ∴矩形周长为＝MN+ML＝LI+NI＝5﹣x+5+6+4+x+6＝26cm； 故选：B． 【点评】本题主要考查了旋转和平移的性质以及矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（2025春•睢宁县）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（　　） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．旋转、平移 【考点】几何变换的类型． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据轴对称，平移，旋转的性质一一判断即可． 【解答】解：图形甲可以通过旋转，平移得到图形乙． 故选：D． 【点评】本题考查几何变换的类型，解题的关键是掌握轴对称，平移，旋转的性质． 9．（2025•西湖区三模）如图，正方形ABCD中，边长为1，将边BC绕点B逆时针旋转至BE，连接CE、DE，若∠CED＝90°，则△BCE的面积是（　　） A． B． C． D． 【考点】旋转的性质；三角形的面积；正方形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】作BF⊥CE于点F交CD于点L，作FH⊥BC于点H，由正方形的性质得CD＝BC＝1，∠BCD＝90°，由由旋转得BE＝BC，则CF＝EF，而∠CED＝90°，可证明BL∥DE，则1，所以CL＝DLCDBC，推导出∠CFH＝∠LBC，则tan∠CFH＝tan∠LBC，所以FH＝2CH，BH＝2FH＝4CH，由BC＝5CH＝1，求得CH，则S△BCF＝S△BEF，所以S△BCE＝2S△BCF，于是得到问题的答案． 【解答】解：作BF⊥CE于点F交CD于点L，作FH⊥BC于点H，则∠BFE＝∠BFC＝∠BHF＝∠FHC＝90°， ∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴CD＝BC＝1，∠BCD＝90°， 由旋转得BE＝BC， ∴CF＝EF， ∵∠CED＝90°， ∴∠BFE＝∠CED， ∴BL∥DE， ∴1， ∴CL＝DLCDBC， ∵∠CFH＝∠LBC＝90°﹣∠BCF， ∴tan∠CFH＝tan∠LBC， ∴FH＝2CH，BH＝2FH， ∴BH＝4CH， ∵BC＝BH+CH＝4CH+CH＝5CH＝1， ∴CH， ∴S△BCF＝S△BEF1， ∴S△BCE＝2S△BCF＝2， 故选：C． 【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．（2025春•泰州）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E．当点C，D，E恰好在同一条直线上时，设∠BCD＝α，则旋转角等于（　　） A． B． C．α D．180°﹣α 【考点】旋转的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得到AE＝AC，∠ACB＝∠E，∠EAC等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ACE，接着利用∠ACB+∠ACE＝α得到∠E+∠ACE＝α，然后根据三角形内角和定理表示出∠EAC即可． 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，C，D，E恰好在同一条直线上， ∴AE＝AC，∠ACB＝∠E，∠EAC等于旋转角， ∴∠E＝∠ACE， ∴∠ACB＝∠ACE＝∠E， ∵∠BCD＝α， 即∠ACB+∠ACE＝α， ∴∠E+∠ACE＝α， ∴∠EAC＝180°﹣（∠E+∠ACE）＝180°﹣α， 即旋转角为180°﹣α． 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 二．填空题（共5小题） 11．（2025春•普陀区）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝42°，将△ABC绕点B旋转得△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，线段BE交边AC于点F，连接CE、AD，如果△CEF是等腰三角形，那么∠ADE的度数是 　29°或43°　 ． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质． 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】29°或43°． 【分析】由图形旋转可得两个等腰三角形底角对应相等，分类讨论，根据三角形的内角和定理，分别可得每种情况下∠BEC（∠BDA）的度数，从而可得∠ADE的度数． 【解答】解：∵将△ABC绕点B旋转得△DBE，∠BAC＝45°， ∴∠BDE＝45°，AB＝AD，CB＝EB，∠ABD＝∠DBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE＝∠EBC， ∴， 由题意可得：CE＝CF或CE＝EF， 当CE＝CF时，设∠ECF＝α， ∴∠CFE＝∠BEC＝∠BCE＝42°+α， ∴由三角形的内角和可得：∠CFE+∠BEC+∠ECF＝42°+α+42°+α+α＝180°， ∴α＝32°， ∴∠BDA＝∠BEC＝42°+α＝74°， ∴∠ADE＝∠BDA﹣∠BDE＝74°﹣45°＝29°， 当EC＝EF时，设∠ECF＝β，则∠EFC＝∠ECF＝β， ∴∠BEC＝∠BCE＝42°+β， ∴∠BEC+∠CFE+∠ECF＝42°+β+β+β＝180°， ∴β＝46°， ∴∠BDA＝∠BEC＝42°+β＝88°， ∴∠ADE＝∠BDA﹣∠BDE＝43°． 故答案为：29°或43°． 【点评】本题考查了图形旋转，等腰三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 12．（2025春•杨浦区）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点A旋转α（0＜α＜180）度后，点B所对应的点D在边BC上，如果AD平分∠BAC，那么α＝　40　 度． 【考点】旋转的性质． 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】40． 【分析】如图，AB＝AD，∠BAD＝α，根据角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD＝α，根据三角形的外角性质可得∠ADB＝30°+α，即得∠B＝∠ADB＝30°+α，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【解答】解：如图，根据题意可得：AB＝AD，∠BAD＝α， 由题意可得：∠CAD＝∠BAD＝α， ∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝30°+α，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝30°+α， ∵∠C+∠CAB+∠B＝180°， ∴30°+2α+30°+α＝180°， ∴α＝40°； 故答案为：40． 【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 13．（2025春•建邺区）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为 　　 ． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的性质． 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】． 【分析】以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH＝BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH＝GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解． 【解答】解：以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M， 又∵∠ABC＝90°， ∴MH＝BN， ∵BE＝2， ∴EC＝3， 由题意可得：， ∴， ∵△FGE是等边三角形， ∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC， ∴∠FEH＝∠GEC， 在△FEH和△GEC中， ， ∴△FEH≌△GEC（SAS）， ∴FH＝GC， ∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值， ∴点F与点M重合时，， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．（2025•越秀区三模）如图，在△ABC中，，∠BAC＝45°，∠ACB＝60°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段BC中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1的最大值是 　1　 ，最小值是 　1　 ． 【考点】旋转的性质；作图﹣旋转变换；解直角三角形；勾股定理的应用． 【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】1；1． 【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，设AD＝BD＝x，通过勾股定理即可求得，，然后分情况讨论：当旋转至A1C1正好和BC垂直时，且P为A1C1与BC交点时，有最小值；当△ABC绕点B按逆时针方向旋转至A1，B，C共线时，EP1有最大值，据此解答． 【解答】解：如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足， 在Rt△ABD中 ∵∠ADB＝90°，∠A＝45°， ∴AD＝BD， 设AD＝BD＝x， 在Rt△BDC中， ∵∠BDC＝90°，BD＝x，∠C＝60°， ∴， ∵AD+CD＝AC， ∴， 解得， ∴， ∴，EC＝1； 当旋转至A1C1正好和BC垂直时，且P为A1C1与BC交点时，有最小值： ∴C1P1＝1， ∴BP1， EP1＝BP1﹣BE1； 当P点与A点重合时，EP有最大值， ∴△ABC绕点B按逆时针方向旋转至A1，B，C共线时，EP1有最大值，如图3： 此时，EP1＝AB+BE1； 故答案为：1；1． 【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形，最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． 15．（2025春•柴桑区）已知两块相同的三角板如图摆放，点B，C，E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠D＝∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°）当旋转角为 　60°或120°或150°　 时，DE与△ABC的边垂直． 【考点】旋转的性质；余角和补角． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】60°或120°或150°． 【分析】分三种情况画图分别进行解答． 【解答】解：如图，当DE⊥AB时，过点B作BG⊥EC延长线于点G， ∵∠ABC＝∠DCE＝90°， ∴AB⊥BC， ∵BC∥DE， ∴∠BCG＝∠DEC＝60°， 即此时旋转角为60°； 如图，当DE⊥AC时， ∴∠ACE＝90°﹣∠E＝30°，∠A'CB'＝∠ACB＝30°， ∴∠BCB'＝180°﹣∠A'CE﹣∠A'CB'＝120°， 即此时旋转角为120°； 当BC⊥DE时， ∴∠B'CD＝90°﹣∠D＝60°， ∴∠BCB'＝∠BCD+∠DCB'＝150°， 即此时旋转角为150°； 综上所述：当旋转角为60°或120°或150°时，DE与△ABC的边垂直． 故答案为：60°或120°或150°． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解题关键是利用分类讨论思想解答． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•东胜区二模）【问题情境】 如图，在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG探究旋转的性质，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转，其中AB＝AE＝6，AD＝AG＝8． 【初步探究】 （1）如图1，连接BE，DG，在矩形纸片AEFG旋转的过程中，求的值； 【问题解决】 （2）如图2，连接BD，当点E恰好落在BD上，延长FE与交BC于点M，连接AM，交BD于点H． ①求证：AM垂直平分BE； ②如图3，取GD中点N，连接AN，HN，求线段HN的长． 【考点】几何变换综合题． 【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】【初步探究】（1）； 【问题解决】（2）①证明见解析； ②8． 【分析】【初步探究】（1）证明△BAE∽△DAG，得出； 【问题解决】（2）①证明Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），得出∠BAM＝∠EAM，则可得出答案； ②求出DH和DN，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：【初步探究】（1）∵两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG，AB＝AE＝6，AD＝AG＝8， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAD﹣∠EAD＝∠EAG﹣∠EAD，即∠BAE＝∠DAG， ∴， ∴△BAE∽△DAG， ∴； 【问题解决】（2）①在矩形ABCD和矩形AEFG中，∠ABC＝∠AEF＝90°， ∴∠AEM＝90°， 在Rt△ABM和Rt△AEM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△AEM（HL）， ∴∠BAM＝∠EAM， ∵AB＝AE， ∴AM⊥BE，BH＝EH， ∴AM垂直平分BE； ②由【初步探究】知，∠ABD＝∠ADG， ∴∠ADG+∠ADB＝90°， ∵AB＝6，AD＝8． ∴DB10， ∵AM垂直平分BE， ∴AH， ∴BH， ∴DH＝BD﹣BH＝10，BE， 由【初步探究】知，， ∴DG， ∵GD的中点为N， ∴DN， ∴HN8． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等，综合运用相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（2025•永川区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，连接AD，E为边BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF． （1）如图1，当E在线段BD上时，若，求BF的长； （2）如图2，当E在线段CD上时（点E不与C，D重合），连接CF交AD于点G，求证：BE＝2AG； （3）在（2）的条件下，将△CAE沿AE所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△C′AE，连接C′D，C′F，C′F与BC交于点P，当C′D取得最小值时，直接写出的值． 【考点】几何变换综合题． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）6； （2）证明过程详见解答； （3）． 【分析】（1）可证明△BAF≌△CAE，从而得出BF＝CE，进一步得出结果； （2）作FH⊥AD于H，可证明△AFH≌△EAD，从而AH＝DE，FH＝AD，进而证明△FGH≌△CGD，从而GH＝AH，进一步得出结论； （3）不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AC，可得出AC′＝AC，∠C′AE＝∠CAE，从而点C′在以A为圆心，AC为半径的圆上，CD＝AC′﹣AD，从而得出点A、D‘C′共线时，C′D最小，根据AE平分∠CAD，得出，从而求得CE，根据△BAF≌△CAE得出BF＝CE＝2，∠ABF＝∠ACB＝45°，可证得△PBF∽△PDC′，从而，进一步得出结果． 【解答】（1）解：∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BCAB＝8， ∵DE＝2， ∴CE＝BC﹣DE＝6， ∵AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAF＝∠CAE， ∴△BAF≌△CAE（SAS）， ∴BF＝CE＝6； （2）证明：如图1， 作FH⊥AD于H， ∴∠AHF＝∠FHG＝90°， ∵AB＝AC，点D是BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD， ∴∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠AHF，∠DAE+∠AED＝90°， 由（1）知， ∠EAF＝90°，AF＝AE， ∴∠DAE+∠FAH＝90°， ∴∠FAH＝∠AED， ∴△AFH≌△EAD（AAS）， ∴AH＝DE，FH＝AD， ∴FH＝CD， ∵∠ADE＝∠AHG＝90°，∠FGH＝∠CGD， ∴△FGH≌△CGD（AAS）， ∴GH＝AH， 设DE＝AH＝a，GH＝AH＝b， ∴BD＝AD＝AH+GH+DG＝2+2b， ∴BE＝2（a+b）＝2AG； （3）解：如图2， 不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AC， ∵△CAE沿AE所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△C′AE， ∴AC′＝AC，∠C′AE＝∠CAE， ∴点C′在以A为圆心，AC为半径的圆上，CD＝AC′﹣AD， ∴点A、D‘C′共线时，C′D最小， ∴点C′在AD的延长线上， ’∴AE平分∠CAD， ∴， ∴CE2， 由（1）知， △BAF≌△CAE， ∴BF＝CE＝2，∠ABF＝∠ACB＝45°， ∴∠FBC＝∠ABF+∠ABC＝90°， ∴∠FBC＝∠ADC， ∴△PBF∽△PDC′， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 18．（2025春•宜兴市）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少旋转 　75　 °，才能使OB落在OC上； （2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠COA'时，∠AOA'为多少度？ （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，AB所在直线与CD所在直线平行或垂直？ 【考点】作图﹣旋转变换；平行线的判定． 【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）75； （2）112.5°； （3）旋转的角度为105°或285°时，AB所在直线与CD所在直线平行．：旋转的角度为15°或195°时，AB所在直线与CD所在直线垂直． 【分析】（1）由图可知，当△OAB以O为中心顺时针旋转过∠BOC，即可得到OB 与OC重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）设∠AOA＝∠BOB＝α，分别表示出∠COA，∠DOB，然后根据列方程求解； （3）平行和垂直各分两种情况，画出图形求解即可． 【解答】（1）由图可知，当△OAB以O为中心顺时针旋转过∠BOC，即可得到OB与OC重合，由三角板的性质可知： ∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴至少旋转75°，OB与OC重合． 故答案为：75； （2）由旋转的性质得∠AOA′＝∠BOB′，设∠AOA′＝∠BOB′＝α， 则∠COA′＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，∠DOB'＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α， ∵∠COA′∠DOB ∴120°﹣α（135°﹣α）， ∴α ＝112.5°， ∴∠AOA′＝α＝112.5°； （3）当△A′OB′在点O的右侧时，如图： ∵A′B′∥CD， ∴∠D＝∠A′FO＝60°， ∵∠B'＝45°， ∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BOB′＝90°+15°＝105°； 当△A′OB′在点O的左侧时，如图： ∵A′B′∥CD， ∴∠D＝∠A′FO＝60°， ∴∠A′OF＝180°﹣∠A′FO﹣∠A′＝75°， ∴旋转的角度＝360°﹣75°＝285°， 综上所述：旋转的角度为105°或285°时，AB所在直线与CD所在直线平行． 当△A′OB′在点O的上侧时，如图，延长A′B′交CD于点E， ∵A′B′⊥CD， ∴∠CEF＝90°， ∴∠CFE＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠BOB′＝∠CFE﹣∠A′B′O＝15°， 当△AOB在点O的下侧时，如图，延长BA，CD，相交于点E， ∵A′B′⊥CD， ∴∠DEA′＝90°， ∵∠CDO＝60°，∠OA′B'＝45°， ∴∠EDO＝120°，∠OA′E＝135°， ∴∠DOA′＝360°﹣90°﹣120°﹣135°＝15°， ∴∠BOB'＝∠COD+∠DOA′+∠A′OB'＝195°， 综上所述：旋转的角度为15°或195°时，AB所在直线与CD所在直线垂直． 【点评】本题考查了旋转的性质，垂线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，以及四边形内角和，分类讨论是解（3）的关键． 19．（2025春•青岛）如图，在Rt△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PD⊥AB，交AC于点D，点D关于AB的对称点为E，连接PE，BE，PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题： （1）BP的长为　（10﹣2t）　 cm；（用含t的代数式表示） （2）当点B在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BE∥AC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）设点P到BC的距离为y（cm），求y与t之间的关系式． 【考点】几何变换综合题． 【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）（10﹣2t）； （2）t＝2.5； （3）存在，t＝2.5； （4）yt+8． 【分析】（1）根据线段的和差列式即可； （2）根据线段垂直平分线的性质；列方程即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到∠E＝∠ADE，∠A＝∠PBE，根据线段垂直平分线的性质得到PD＝PE，根据全等三角形的性质即可得到结论； （4）过P作PH⊥BC于H，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝10cm，AP＝2t cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， 故答案为：（10﹣2t）； （2）∵点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴BQ＝BPM ∴2t＝10﹣2t， ∴t＝2.5； （3）存在，理由如下： ∵BE∥AC， ∴∠E＝∠ADE，∠A＝∠PBE， ∵点D关于AB的对称点为E， ∴PD＝PE， ∴△BPE≌△APD（AAS）， ∴BP＝AP， ∴2t， ∴t＝2.5； （4）过P作PH⊥BC于H， ∴∠PHB＝∠C＝90°， ∴PH∥AC， ∴△PBH∽△ABC， ∴， ∴， ∴yt+8． 【点评】本题几何变换综合题，考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质吗熟练掌握各知识点是解题的关键． 20．（2025春•蓝田县）【思路梳理】 （1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D是边AC上的动点，连接BD，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E．若BE⊥BC，CD＝2，求线段BE的长； 【操作发现】 （2）如图2，学校劳动实践基地里，有一块等边三角形的小菜园ABC，同学们开展“创意种植分区”活动，小萱打算利用对称，设计特色种植区：在边AC上选一个点D，连接BD，将△BCD沿着BD对称，这就划分出一个“对称特色区”△BDE，点C的对应点为点E，连接AE，在点E处修建一个储水池，AD与BE相交于点N，小萱在AN边合适位置修建工具站F，连接EF，现要沿AN，ED修建两条运输通道，沿ND修建一条灌溉水渠，实际施工测量时，发现DE所在直线与BC垂直，且∠EFN＝30°，现要判断线段AN，ED，ND之间的数量关系，请你帮忙判断并说明理由． 【考点】几何变换综合题． 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）1； （2）AN＝ED+ND，理由见解． 【分析】（1）过D作DH⊥BC于H，利用含30°的直角三角形的性质、勾股定理等求出CH，DH，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出∠BDH＝∠DBC＝45°，利用等角对等边可求出BH，即可求解； （2）如图2，延长ED交BC于点M，根据等边三角形的性质得到∠DMC＝∠DMB＝90°，∠C＝60°，求得∠CDM＝∠EDN＝∠EFN＝30°，根据轴对称的性质得到∠EBD＝∠CBD，∠BED＝∠C＝60°，BE＝BC，求得，根据线段垂直平分线的性质得到FN＝DN，∠FEN＝∠BED＝60°，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，过D作 DH⊥BC 于点H， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠ABC＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC， ∴∠HDC＝30°， ∴， ∴， ∵将△BCD沿BD翻折， ∴BE＝BC，∠EBD＝∠CBD， ∵BE⊥BC， ∴∠EBC＝90°， ∴， ∴∠BDH＝45°＝∠DBC， ∴， ∴； （2）AN＝ED+ND，理由如下： 如图2，延长ED交BC于点M， ∵DE⊥BC，△ABC为等边三角形， ∴∠DMC＝∠DMB＝90°，∠C＝60°， ∴∠CDM＝∠EDN＝∠EFN＝30°， ∴EF＝ED， ∴△EFD为等腰三角形， ∵△BED与△BCD关于BD对称， ∴∠EBD＝∠CBD，∠BED＝∠C＝60°，BE＝BC， ∴， ∴BE平分∠ABC， ∵AB＝BC， ∴BE⊥AC，即∠ANE＝∠DNE＝90°， ∴BE垂直平分FD， ∴FN＝DN，∠FEN＝∠BED＝60°， ∵AB＝BE， ∴， ∵∠BAC＝60°，∠FEN＝60°， ∴∠EAF＝∠BAE﹣∠BAC＝15°，∠AEF＝∠AEB﹣∠FEN＝15°， ∴∠EAF＝∠AEF， ∴AF＝EF＝ED， ∴AN＝AF+FN＝ED+ND． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，翻折变换﹣折叠问题，正确地添加辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$